解析已知P(a,b)、Q(c,d)两点求与之相关性的10个问题的详细求解步骤A1

已知P(5,1)、Q(3,1)，求解以下有关问题。(1)求线段PQ中点坐标P1。(2)求线段PQ中间某点P2的坐标，使得3PP2=2P2Q。(3)求线段PQ延长线上，且在Q点右边的点P3坐标，使得PQ:QP3=1:3。(4)计算PQ两点的距离。(5)求PQ所在直线的方程L1及直线的斜率k1，以及经过点P1垂直PQ的直线方程L2。(6)求以P,Q两点长轴为焦点，离心率e=eq\f(1,3)时的椭圆方程。(7)求以P,Q两点长轴为顶点，离心率e=eq\f(2,5)时的椭圆方程。(8)求以P,Q两点为实轴焦点，离心率e=eq\f(3,2)时的双曲线方程。(9)求以P,Q两点为实轴顶点，离心率e=eq\f(3,2)时的双曲线方程。(10)求以P为焦点，Q为顶点的抛物线方程。(1)求线段PQ中点坐标P1。解：设中点P1的横坐标为x0，纵坐标为y0，根据题意，有：x0=eq\f(5+3,2)=eq\f(8,2)=4;y0=eq\f(1+1,2)=eq\f(2,2)=1.即中点P1的坐标为P1(4,1).(2)求线段PQ中间某点P2的坐标，使得3PP2=2P2Q。解：介绍两种方法来求P2点坐标。思路一：两点间距离公式法。设P2(x2,y2),由两点间距离公式有：|PP2|=eq\r((5-x2)2+(1-y2)2);|P2Q|=eq\r((3-x2)2+(1-y2)2).32[(5-x2)2+(1-y2)2]=22[(3-x2)2+(1-y2)2]225-90x2+9x22+9-18y2+9y22=36-24x2+4x22+4-8y2+4y22-5x22-5y22+66x2+10y2-194=0.又因为点P2和P,Q在一条直线上，P2P与PQ的斜率相等，则：eq\f(y2-1,x2-5)=eq\f(1-1,3-5),即：y2-1=0,y2=1,代入距离关系式方程有：-5x22-5(0+1)2-66x2-10(0+1)+194=0,化简得：-5x22+66x2-189=0,即：(5x-21)(-4x+36)=0,由于5<x2<3,求出x2=eq\f(21,5)，进一步代入求出y2=1.思路二：定比分点法。因为eq\f(PP2,p2Q)=eq\f(2,3)，所以定比分点λ1=eq\f(2,3).则所求P2的横坐标x2=eq\f(5+3λ1,1+λ1),同理，坐标轴y2=eq\f(1+1λ1,1+λ1)。即可求出x2=eq\f(21,5)，y2=1。所以所求点的坐标P2(eq\f(21,5)，1).(3)求线段PQ延长线上，且在Q点右边的点P3坐标，使得eq\f(PQ,QP3)=eq\f(1,3)。解：用定比分点法求解。因为eq\f(PQ,QP3)=eq\f(1,3)，所以定比分点λ2=-eq\f(4,3);则所求P3的横坐标x3=eq\f(5+3λ2,1+λ2);同理，坐标轴y3=eq\f(1+1λ2,1+λ2)，即可求出x3=-3，y3=1。所以所求点的坐标P2(-3,1).(4)计算P、Q两点的距离。解：根据两点间距离公式有：d=|PQ|=eq\r((5-3)2+(1-1)2);=eq\r(4+0)=2.即P、Q两点的距离为2。(5)求PQ所在直线的方程L1及直线的斜率k1，以及经过点P1垂直PQ的直线方程L2。解：由P(5,1)、Q(3,1)知P,Q两点所在直线的斜率k1为：k1=eq\f(1-1,3-5)=0.则P,Q的直线方程L1的方程为：y-1=0。由题意知，直线L2的斜率k2不存在，即可求出所求的直线L2的方程为：x-4=0。(6)求以P,Q两点为长轴焦点，离心率e=eq\f(1,3)时的椭圆方程。解：根据题意设椭圆的半焦距为c，则有2c=|PQ|=2，即c=1，此时c2=1;又因为离心率e=eq\f(1,3)=eq\f(c,a)，则:a=3，此时a2=9，此时b2=a2-c2=9-1=8,故此时椭圆方程为：eq\f((x-8)2,9)+eq\f((y-1)2,8)=1。(7)求以P,Q两点为长轴顶点，离心率e=eq\f(2,5)时的椭圆方程。解：根据题意设椭圆的半焦距为c，长半轴为a，则有：2a=|PQ|=2，此时a=1，进一步得a2=1.由离心率e=eq\f(2,5)=eq\f(c,a),则：c=eq\f(2,5)，此时c2=eq\f(4,25);由b2=a2-c2=1-eq\f(4,25)=eq\f(21,25)，故此时椭圆方程为：eq\f((x-4)2,1)+eq\f((y-1)2,eq\f(21,25))=1。(8)求以P,Q两点为实轴焦点，离心率e=eq\f(3,2)时的双曲线方程。解：根据题意设双曲线的半焦距为c，则有2c=|PQ|=2，即c=1，此时c2=1;由离心率e=eq\f(3,2)=eq\f(c,a),则：a=eq\f(2,3)，此时a2=eq\f(4,9);由a2+b2=c2得：b2=c2-a2=1-eq\f(4,9)=eq\f(5,9),故此时双曲线的方程为：eq\f((x-4)2,eq\f(4,9))-eq\f((y-1)2,eq\f(5,9))=1.(9)求以P,Q两点为实轴顶点，离心率e=eq\f(3,2)时的双曲线方程。解：根据题意设双曲线的半焦距为c，长半轴为a，则有：2a=|PQ|=2，此时a=1，进一步得a2=1.由离心率e=eq\f(3,2)=eq\f(c,a),则：c=eq\f(3,2)，此时c2=eq\f(9,4);由a2+b2=c2得：b2=c2-a2=eq\f(9,4)-1=eq\f(5,4)，故此时双曲线方程为：eq\f((x-4