2025-2026学年江西师大附中2026高三下册数学周考数学卷三 含答案

/江西师范大学附属中学2026届高三下学期数学周考三一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∥x∣≤2},A.3B.4C.5D.62."b2=ac"是"aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知随机变量ξ∼N3,σ2,且PξA.8aB.164.函数fx=eA.B.C.D.5.在ABC中,∠BAC=60∘,BC=4,D为BCA.32B.534C.6.某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高H(单位:cm)进行了测量，发现株高H近似服从正态分布.已知测量的向日葵平均株高为172.0cm，标准差为14.5.现按株高将这批向日葵划分为四个等级:过矮(后10%)、正常偏矮(10%～50%)、正常偏高(50%～90%)、过高(前10%).若PH−172.0A.184.6cmB.186.6cmC.188.6cmD.190.6cm7.已知正实数a,b满足aea−2=A.e2028<C.e2026<8.已知函数fx=−2x2+a,gx=x2ex,若对任意的xA.(e,8]B.(e二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知异面直线l1,l2,l1⊥l2,A∈l1,B∈lA.当AP=2时，BQ=22B.当AP=2C.点O到直线AB的距离为3D.三棱锥A−BPQ10.双曲线具有丰富的光学性质.例如,从双曲线的一个焦点F2处发出的光线,经过双曲线在点P处反射后,反射光线所在直线经过另一个焦点F1，且双曲线在点P处的切线平分∠F1PF2.如图，已知等轴双曲线C经过点23,2,其左、右焦点分别为F1,F2.若从F2发出的光线经双曲线右支上一点P反射后的光线为PQ,双曲线CA.双曲线C的方程为x2−y2=16B.过点P且垂直于C.若F2P⊥PQ,则PF1⋅PF2=1611.已知抛物线y2=2pxp>0的焦点F1,0，A，B为抛物线上的两个动点，MA.p=2B.若AF+BF=10C.AN+AF的最小值为4D.若AF=2FB三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.设曲线y=e2x+b在点0,eb13.已知数列an满足a1=−15,an+114.一个不均匀的骰子,掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次,所得的点数分别记为a,b.若事件“a+b=7”发生的概率为17四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,(1)求角A；(2)若2SaABC≤ta216.(15分)为促进消费，某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动.活动规则如下:消费者成功闯过第一关获得基础券(获得10元基础券的概率为0.6，获得20元基础券的概率为0.4).闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶券20元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品.已知消费者闯过第一关的概率为p0，闯过第二关的概率为p.某生产商将商品定价100元，成本41元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的30%，进阶券面额的(1)若p0=0.8，p=0.5，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为X(单位:元)，求X(2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券，推出活动后商品购买概率为rp=0.2+0.4p+0.2(i)求fp关于p(ii)证明:fp在0,1内存在唯一极大值点,并求当p为何值时,商家期望利润fp最大?最大期望利润是多少?17.(15分)设函数fx(1)求fx(2)若fx存在极值点x0,且存在t∈Rt≠x0,使得ft18.(17分)如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，AB为底面直径，四边形POBC是梯形，且PC//OB,PC=1(1)若点M在线段AD上，且AM=3MD，求证:PM//平面(2)当直线PD与平面PAB所成的角为30∘时，求二面角A−19.(17分)在直角坐标系xOy中，设F为抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，M为抛物线C上位于第一象限内的点.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线FM与抛物线C的另一个交点为N，点M，N在直线x=−1上的射影分别为点M′，N′，过点F且与FM垂直的直线与直线x=−1相交于点P,证明:P(3)设过定点6,−4的直线l与抛物线C交于A,B两点.若FO⋅FM=−3，且A,B两点的横坐标均与点M答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.【正确答案】C因为集合A={x∥x∣≤2}={x∣−2≤x≤2},集合2.【正确答案】B当b2=ac=0时,如a=0,b=0,c=1,此时a,b,c不能成等比数列,故充分性不成立,当a3.【正确答案】C因为ξ∼N3,σ2，正态曲线关于直线x=3对称，又Pξ≤a=Pξ≥5，所以a+52=3，解得a=1.所以4.【正确答案】Afx=ex−e−xx定义域为−∞,0∪0,+∞,又f−x=e−x−ex−x=ex−e−xx5.【正确答案】D在ABC中,由余弦定理得16=BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos60∘=A6.【正确答案】D因为PH−172.014.5≤−可得H−172.014.5≥1.28即“过高”等级中的株高H≥190.56 cm，结合选项可知D正确，ABC7.【正确答案】A由aea−2=e2025>0,两边取对数,lnaea−2=lne2025,即lna+a=2027,又由blnb−2=e2028>0,两边取对数,lnb+lnlnb−2=2028,即lnb−2+lnlnb−28.【正确答案】B由gx=x2ex可得g′x=2xex+x2ex=xx+2ex,当−1<x<0时,g′x<0;当0<x<1时,gfx=−2x2+a,的对称轴为x=0,f0=−2×02+a=a,f2=a−8,所以函数fx若对任意的x2∈−1,1，存在唯一的x1∈−1,2，使得fx1=gx2，则A二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.【正确答案】ABC过B点作Bx//l1，根据题意，以设Pa,0,2,Q0,b,0,易知A0,0,2,Oa2,b2,1,PQ=−a,b,−2,若AP=2,则a=±2,由PQ=a2+b2+4=4,此时b2=8,所以b=±22;对于A,易知BQ=b=2210.【正确答案】BCD对于A,因为双曲线为等轴双曲线,设双曲线方程为x2a2−y2a2=1a>0,对于B,如图,由题知∠F1PT=∠F若HP⊥TM,所以∠F2PH=∠QPH,B正确;对于所以F1又F1F2=2c,m−n所以S△F1PF2=12×2b21−cos∠F1PF2×sin∠F1PF2=b2tan∠F1PF2211.【正确答案】ACD对于A,因为抛物线的焦点F1,0,所以2p=4,得p对于B,分别过点A,B作准线的垂线,垂足为则由抛物线的定义可知AF+因为M为线段AB的中点,所以点M到准线的距离为AD+BE2=5对于C,因为AN+AF=AD+AN,则当A,D,N三点共线时,AN延长AB交准线于点H，由AF=2FB以及抛物线定义可知，AD=2EB，则BE为△ADH的中位线，设BF=BE=m,AF=AD=2m,则BH=AB=3m,三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.【正确答案】-1:y′=2e2x+b,∴y′13.【正确答案】−由an+1=an2an+1,可得1an+1=1an+2,n∈N∗,所以1an为等差数列,首项为1a1=−5,公差为2,所以1a14.【正确答案】4设掷出1,2,⋯,6点的概率分别为p1,p2,⋯,p6;由于p1,p2,⋯,p6成等差数列,且p1+p2+⋯+p6=1,故p1+p6=p四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)【正确答案】(1)A(1)由2acosC+c=2b,由正弦定理得,2sinAcosC+sinC=2sinB,又sinB=sinA+C=sinAcosC+cosA(2)2S△ABC≤ta2+2b由余弦定理得a2=2S△ABCa2所以32×bc3b2+12c2−bc232+12cb−116.(15分)(1)分布列见解析，80.8(2)(i)fp=−4p3+p2+4(1)由题可知，X的可能取值为100,90,80,70,60，PPPX=X10090807060P0.20.240.160.240.16数学期望为:EX(2)(i)∵期望利润=购买概率×(支付金额的期望一商品成本)一优惠券成本的期望,则支付金额的期望为:EY=100−10×0.6(ii)f′p=−12p2+2p+40≤p≤1,令f′p=−12p2+2p+4=0.解得p=23,当p∈0,23时f′p>0,fp17.(15分)(1)b≤0时,fx的增区间为−∞,+∞,无减区间;b>0时,增区间为−∞,a(1)解:f′x=3x−a2−b，当b≤0时，f′x≥0(不恒为零)，fx的增区间为−∞,+∞，无减区间;若b>0,则当x∈−∞,a−3b综上:b≤0时,fx的增区间为b>0时,fx的增区间为−∞,a−(2)证明:因为x0是fx的极值点，故f′x0=0，故因为存在t∈Rt≠x0,使得ftt−a3−x所以t−x0t−所以t−a2+所以t−a2+t所以t−a+2x因为t≠x0,所以t−318.(17分)(1)证明见解析(2)4(1)解法一:取线段OB的中点N，连接MN，PN.因为PC//OB，PC=12OB，所以PC//NB且PC=NB，因此四边形PCBN是平行四边形，所以PN//CB.又CB⊂平面CDB，PN⊄平面CDB，所以PN//平面CDB.因为AN=3NB，AM=3MD，所以MN//，于底过于CDB，MN⊄平面CDB，所以MN又PM⊂平面PMN，所以PM//平面解法二:在线段BD上取点E,使得BE=3DE,连接CE,ME,又AM=3MD,所以ME//AB,且ME=14AB,又所以四边形PCEM是平行四边形,所以PM//CE,又CE⊂平面CDB,PM⊄平面CDB,所以PM//(2)由圆锥的对称性不妨取点D为如图所示位置，在圆锥底面内过点D作DF⊥AB于点F，连接PF，因为平面PAB⊥平面ABD,平面PAB∩平