2027届新高考数学热点精准复习直线与圆锥曲线

数学

高考总复习2027届新高考数学热点精准复习直线与圆锥曲线1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.课标要求1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与圆锥曲线的位置关系有______、______、______;相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ>0时，直线l与曲线C______;Δ＝0时，直线l与曲线C______;Δ<0时，直线l与曲线C______.②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的_________平行;若C为抛物线，则直线l与抛物线的_________平行或重合.相交相切相离相交相切相离渐近线对称轴2.圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=____________或=__________________________|AB|=_____________=______________________________,k为直线斜率且k≠0.

(1)易知点P(b，0)在椭圆C的内部，因此过点P作不出椭圆的切线.诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√×(3)当“直线l与双曲线C只有一个公共点”时，有与渐近线平行的直线l和与双曲线相切的直线l两种情况，因此“直线l与双曲线C相切是直线l与双曲线C只有一个公共点”的充分不必要条件.(4)直线与抛物线的对称轴平行时也只有一个交点.×√(3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”.(

)(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.(

)(5)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.(

)×2.(人教B选修一P178T13改编)已知M(4，2)是直线l被椭圆x2＋4y2＝36所截得的弦AB的中点，则直线l的方程为(

)A.x＋2y－8＝0 B.2x－y－6＝0C.2x＋y－10＝0 D.x－2y＝0A

2

B考点一直线与圆锥曲线的位置关系

感悟提升1.在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程;如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形.2.双曲线中与渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点;抛物线中与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点.

C

(2)(2026·西安调研)已知抛物线方程为y2＝4x，过点P(0，2)的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有(

)A.0条 B.1条C.2条 D.3条D因为点P(0，2)不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为x＝0，满足题意;当直线斜率k＝0时，易知y＝2满足条件;当直线斜率存在且k≠0时，设直线方程为y＝kx＋2，

角度1

弦长问题例2(1)已知直线l:y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是(

)A.2 B.4C.8 D.16考点二弦的有关问题C

B

(2)(2026·太原调研)已知直线l交抛物线C:x2＝－18y于M，N两点，且MN的中点为(3，－2)，则l的斜率为____________.

感悟提升1.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系:直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点;(2)点差法:利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.感悟提升2.弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.(2)当直线的斜率存在时，可利用弦长公式求解.(3)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p，其中A(x1，y1)，B(x2，y2).

C设抛物线的方程为x2＝2ay，则抛物线与直线x－2y＝1联立消去y，得x2－ax＋a＝0，所以x1＋x2＝a，x1x2＝a，

x+2y-3=0

考点三直线与圆锥曲线的综合

由题意得l的斜率存在且不为0，设l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx－2，

感悟提升1.解答直线与圆锥曲线相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和圆锥曲线的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解.2.涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.

D由题意得F(2，0)，抛物线的准线方程为x＝－2，因为过抛物线C:y2＝8x焦点F的直线与抛物线C交于两点，且与抛物线的准线相交，所以直线的斜率存在且不为0，设直线方程为y＝k(x－2)，

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A直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.

C

C

C则Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，

A

D

易得过P点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线(图1)，有两条双曲线右支的切线(图2)，共4条.

D

BCD

ABD

由题可知，抛物线的焦点为F(0，1)，因为直线FA的斜率为1，所以直线AP的方程为y＝x