全国卷Ⅰ高考压轴卷数学（文）2

2021新课标I高考压轴卷

数学（文）

第।卷（选择题）

一，选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目

要求的.

1.已知集合人={司04工<2},集合B={Hlgx>0},则人口3=（）

A.（F』U（2,+OO）B.（r,0）U（l,2）

C.[1,2）D.（1,2]

2.复数z满足（z+i）j=-3+i,i为虚数单位，则z等于（）

A.l+2zB.1-2/C.-1+2/D.-1-2/

3.执行如图所示的程序框图，若输入〃的值是30,则输出的〃的值是（）

A.2B.3C.6D.7

4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

1

左视图

俯视图

3

A.-71

8

7D.L

C.一兀

1224

5.已知|3|=2,彷|=1,且［与B的夹角为?，则(3+〃)/=()

A.V3+1B.1C.2D.3

6.等差数列｛〃〃｝前〃项和为S”，生+卬+。"=12,则工3=()

A.32B.42C.52D.62

7.设机，〃是空间中两条不同的直线，6,产是空间中三个不同的平面，给出下列四个命题:

(1)若,则〃?_L〃；

(2)若a///，夕//y,〃z_La,则〃?JLy；

(3)若〃?//a,〃〃a,则机〃〃；

(4)aJL民/JLy,则a//〃.

其中正确命题的序号是()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)

8.甲、乙、丙、丁四人等可能分配到A、8、C三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在

同一工厂工作的概率为().

()2/18

A.1B.1D-i

63u7

依一》+*-1..0

9.已知实数苍y满足•x-1<0,若z=2x+y的最大值为8,则Z的值为（

y+1..0

A.1B.1

C.1D.3

22

10.2为双曲线;■一工=1（。>0,b>0）左支上一点,鸟，居，为其左右焦点，若辱]的最小值为10。,

a1b2V7\PF]

则双曲线的离心率为（）

A.4+&B.4-75C.4±6D.4

11.已知awR,若函数/（x）=g/-k-24有3个或4个零点，则函数g（»=4ox?+2x+l的零点

个数为

A.1或2B.2C.1或0D.0或1或2

S[S,SRSq

12.已知数列｛为｝的前〃项和S.,且满足q+S〃=1,则」+=+」+-+」=（）

Q\a9

A.1013B.1022C.2036D.2037

第H卷（非选择题）

二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

13.在AA6c中，角AB,C所对应的边分别为a,b,c,已知。cosC+ccosB=»,则，=_____.

b

14.已知A（m+1,-1）,网疗斗2,同，若直线施与斜率为2的直线平行，则m的值为

15.数式1+■；~中省略号“…”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式

1+--------

1+•••

=t，贝口+；=，，则/--1=0,取正值得i=与1.用类似方法可得J12+Ji?二.

16.己知AABC为等腰直角三角形，A=y,AB=20,。为8C中点，现将AA/C沿A。翻折，

冗

使得二面角区一AO-C为彳，则三棱锥A-BCO的外接球的表面积为___________.

3

A

A

三、解答题（共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.地17・21为必做题，每个试题都必须作

答第22、23题为选做题，考生按要求作答）

（一）必做题

17.己知8c中，角A、B、C的对边分别是b、c,已知2〃cosC+c=2Z?.

<1）求角A的大小；

（2）若AASC的面积为百，若AABC的周长为6,求三角形的边长

18.如图1,在宜角AA3C中，乙43。=90,4。=46,43=26,。,£1分别为4。,3。的中点，连结

AE，将AA8C沿8。折起，使平面平面3C。，如图2所示.

（1）求证：AE_LCO；

（2）求三棱锥A—BCD的体积.

19.宁夏西海固地区，在1972年被联合国粮食开发署确定为最不适宜人类生存的地区之一.为改善这一地

区人民生活的贫困状态，上世纪90年代，党中央和自治区政府决定开始吊庄移民，将西海固地区的人口

成批地迁移到更加适合生活的地区.为了帮助移民人口尽快脱贫，党中央作出推进东西部对口协作的战略部

署，其中确定福建对口帮扶宁夏，在福建人民的帮助下，原西海固人民实现了快速脱贫，下表是对2016

年以来近5年某移民村庄100位移民的年人均收入的统计：

年份20162017201820192020

年份代码X12345

人均年收入）'（千元）1.32.85.78.913.8

现要建立了关于x的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一卞⑴=Bx+G；模型二y（2）=cx2+d,

即使画出）‘关于/的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一

04/18

的方程为£=3.卜一2.8.

（1）请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数

点后一位）；

（2）用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为

£（凹-犷=3.7.

/=|

5_

附：参考数据：丹---------RO.52,其中4=j=],2,3,4,5.

尸

1=1

参考公式：对于一组数据（%,H）,（4，岭）....（凤，匕），其回归直线£=&+/〃的斜率和截距的最小

二乘法估计公式分别为/=弓-------,a=v-fiu.

1=1

20.椭圆C:=十二=1（4>〃>0）的离心率为1，其左焦点到点尸（2,1）的距离为J方.

a,lr2

（1）求椭圆C的标准方程：

（2）若直线/：y=履+〃?与椭圆C相交于A，8两点（A，8不是左右顶点），且以A〃为直径的圆过椭

圆。的右顶点，求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.

21.已知函数/（x）=alnx—x+2,其中〃工0.

（1）求“X）的单调区间；

（2）若对任意的看41,e],总存在使得/（内）+/（%）=4,求实数。的值.

（-）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

24.

x=nr+—7-4

22.在平面直角坐标系为。>，中，曲线。的参数方程为・（加为参数，且相>0）,以坐标原

y=m----

fn

点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕cose-3psine-1=0.

（1）写出曲线。和直线/的直角坐标方程：

(2)若直线/与x轴交点记为M，与曲线C交于只。两点，求两］十两j的值.

23.已知函数〃x)=x+5+卜一水。>0).

(1)当a=l时,求不等式/(%)之4的解集;

(2)证明：/(A)>2.

06/18

2021新课标I高考压轴卷数学(文)参考答案

1.(答案】D

［解析】因为集合A={H0GW2},集合8={x|lgx>0}={小>1},因此,AnB=(l,2］.

故选：D.

2.［答案】A

【解析】解：v(z+/)/=-3+/,

.•,-/./(z+0=-/(-3+/),

化为z+i=3i+l,

/.z=2z+l,

故选：A.

3.(答案】C

【解析】第一次循环，/?=30,5=30,否，〃=15,否，

第二次循环，〃=15,5=45,是，H=14,否，

第三次循环，〃=14,5=59,否，〃=7,否，

第四次循环，〃=7,5=66,是，〃=6,是，输出〃=6,

故选：C.

4.［答案】D

［解析】观察三视图发现：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半

的一半即上，下方挖去半个球，

x2-lxlx.x

故几何体的体积为：V=^xx2--X4X—

23

故选：D.

5.［答案】C

01/18

［解析］+=+=4•Bcos工+恸=2xlx—4-12=2,

32

故选：C

6.【答案】C

【解析】凡+4+4［=(4+d］+(4+7d)+(4+10t/)=3〃+1&/=12

.o.q+6d=4,即％=4

，片」3(i3)

=13%=13x4=52

故选：C.

【点睛】

思珞点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题思路如下：

(1)根据题中所给的条件，结合等差数列通项公式，将其转化为关于首项与公差的式子；

(2)化简求得数列的某一项；

(3)结合等差数列求和公式，得到和与项的关系，求得结果.

7.［答案】A

［解析］解：对于(1),因为〃//a,所以经过〃作平面夕，使4ca=/,可得〃/〃，

又因为〃z_La,lua，所以帆_L/,结合〃/〃得加，力.由此可得(1)是真命题；

对于(2),因为a///7且〃///,所以a///,结合用_La,可得〃1_Ly,故(2)是真命题；

对于(3),设直线〃？、〃是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，

而平面a是正方体下底面所在的平面，

则有〃?//a且〃//a成立，但不能推出小〃〃，故(3)不正确;

对于(4),设平面。、B、7是位于正方体经过同一个顶点的三个面，

则有a_Ly日£J.y.但是。_L/C推不出a//£.故(4)不正确.

综上所述，其中正确命题的序号是(1)和(2)

故选：A

【点睛】

本题考查空间点线面的位置关系判断，考查空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于

熟练的掌握线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识.

8.［答案】D

02/18

【解析】解；甲、乙、丙、丁四人等可能分配到A、〃、。三个工厂工作，每个工厂至少一人,

基本事件总数〃==36,

甲、乙两人在同一工厂工作包含的基本事件个数m=CM；=6,

则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为〃=1-里=1-三=：.

n366

故选：D.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

9.［答案】B

,7

由弱及线性规划知识可推测直线任一丁+4-1=0必过点4(1,6),得&=一，经验证符合题目条件

2

故选：B

【点睛】

本预主要考查了根据最值求参数，属于中档题.

10.［答案】A

［解析】设|尸闾二闻尸耳|=儿则由双曲线的定义得:m-n=2af

.归耳『_(2〃+/?)2一41

+〃+4。,nG[c-a,+x>).

|PF】|nn

记/(〃)——-+/z+4(7,nw[c-a,+8)

03/18

4〃24〃2

l------,令/'（〃）=1-=0»得〃=±2々

（1）当。一。<幼时，

〃4<:一4,2々），=1一土<0,y=〃鹿）单减;

nG（2a,+oo）,广⑺=i一空->o,），=/（〃）单增，

・'/（〃）min寸（2）=8々，不合题意,舍去；

2

（2）当c-a>2a时，/'（〃）=1一上葭>0恒成立，，），=/（〃）单增，

J/（〃上加=f［c-a］=c+3a+^-

・•・c+3a+上-=104,・•・/-8呢+11a?=o

c-a

解得：。=（4+石）〃或（?=（4-石）4

,.・c=（4一后,不满足。一〃>2〃，应舍去

,当c=（4+逐）。时，离心率e=4+石.

故选：A

【点睛】

求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a、b、c的关系，消去b,构造离心率e的

方程或（不等式）即可求出离心率.

11.［答案】A

［解析］;f二|戈一2。|,画出左右两边图象如下图所示，由图象可知当直线），=x+Z是抛物线），

的切线是，斜率为I,切点为［1,；］,即攵=—；,y=x—4，与x轴交点为要使函数有3个或4

个交点，则需一342〃《3，-；（〃<；.对且（1）=40¥2+2工+1,判别式△=4-16〃£［0,8］,故有1个

或2个零点.

04/18

考点：函数导数与零点问题.

【思路点睛】研究函数的零点问题，其中一个方法就是将原函数化为两个函数，如本题中令/(x)=0,

将函数化为;/二卜-2。|,然后我们就可以画出左右两边函数的图象.右边上-24图象是两条直线，含

有绝乂寸值的直线画法比较简单，只需将凶的图象向左或者向右平移就可以.考虑到要图象有3或4交点，

那么相切的时候就是3个交点，中间有4个交点.

12.[答案】A

【解析】由数列｛为｝的前〃项和S“，且满足q,+S“=I,

当〃N2时，见T+S〃T=1,

两式相减，可得凡-q_1+(5“-邑“)=2q-〃1=0,即旦=；(〃22),

an-\L

令〃=1,可得q+S=2q=1,解得q=；,

所以数列｛4｝表示首项为:，公比为;的等比数列，所以4=(g)"，

]s1-(；)

则S“=2——=l-(-r,所以口=—_=2"-1,

1-124(%

22

所以'+*+邑+…+邑=(2+2?+---+29)-(1+1---+1)

qa24佝

—~2，)-9=210-ll=1013.

1-2

故选：A.

【点睛】

本邈考查了等比数列的定义，等比数列的通项公式以及等比数列的前〃项和公式的综合应用，着重考查推

05/18

理与计算能力，属于中档试题.

13.［答案］2

【分析】

已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即

可得到结果.

【详解】

将儿05。+恒053=2/7,利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCeosB=2sinB,

即sin(B+C)=2sin8,

Vsin(^+C)=sin/4,/.sinA=2sinB»

利用正弦定理化简得：a=2b,

则f=2.

b

故答案为：2.

14.［答案］1或一

2

,tn+\

【解析】由题可知：直线析8的斜率为心=/+2_(加+1)

"7+1

即L=

in2一+1

又直线AB与斜率为2的直线平行

m+\

所以

m2-/w+1

则2"?2—3〃?+1=0

明以根=1或〃2='

2

故答案为：1或1

2

【点睛】

本题考查直线斜率的坐标表示以及直线的平行关系，掌握直线平行的斜率关系，属基础题.

15.［答案］4

【解析】根据题意类比，令二=/(/>0)，

06/18

两边平方得，12+112+与二=产,即12+，=/,

则尸一，一］2=0,解得f=4,或r=—3（舍去）.

故答案为：4

【点睛】

本题主要考查类比推理，根据题意类比写出方程求解即可，属于基础题.

人28万

16.［答案］——

3

【解析】解：由题可得，AB=AC=26,AD=BD=CD=2,

JT7T

因为二面角8—4）—C为一，所以/3。。=一

33

所以△68为正三角形，将三棱锥补成如图所示的三棱柱,

则易知外接球的球心为上下底面正三角形中心连线的中点。，

设尸为八义②的中心,

BD

=2CP

由正弦定理得:

si.n71

3

CP=31与=空

2sin^2且3

32

则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为：S=4兀R?=—.

3

故答案沏号

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球的表面积，以及二面角和正弦定理的应用，考查计算能力.

07/18

71

17.［答案］(1)4=一；(2)a=2.

3

［解析】(1)由正弦定理得：2sinAcosC+sinC=2sin3,

VA+B+C=^»/.sinB=sin(A+C),

:.2sinAcosC+sinC=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC,

整理可得：sinC=2cosAsinC,

71

AsinC^O,cosA=一,又Aw(0,〃)，A=—

23

(2)由(1)知A=C,若△A8C的面积为G，••・S4A8c='/?csinA=G，

3

若AASC的周长为6,•••《△八比=。+8+。=6,

由余弦定理，得片二尸+^一%ccosA，

解得4=2.

【点睛】

本题考查了解三角形问题，解题的关键点是要熟练掌握正弦定理、余弦定理、面积公式，考查了学生的计

算能力.

18.［答案］(1)证明见解析；12)36.

［解析】(1)证明：由条件可知人8=4)，而E为8。的中点/.AEYBD

又面45。_1_面6。7)，面A3£)c面BC7)=B。，且AEu面AB£>

.•.A£_L平面88,又因为COu平面BCD

：.AE1CD

(2)由题给数据知3c=6,AABO为等边三角形，而E为50中点

因比R/AA8E中，AE=/4Bsin600=3

又底面BCD中BD=CD=26S、BCD=；x6x百=3后

故三棱锥体积V=lx3>/3x3=3^

3

【点睛】

本题考查立体几何中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，锥体体积的求解问题，属于基础

08/18

19.［答案］（1）与=0.5f+0.8；⑵模型二的拟合效果更好.

［解析］（1）令/=/,则模型二可化为y关于/的线性回归问题，

.-1+4+9+16+25—1.3+2.8+5.7+8.9+13.8

则/=----------------=11,v=--------------------------------=6.5,

5

J

则由参考数据可得0=-----------h0.52P（）.5,

》-5产

t=l

d=y-cz=6.5-0.52x11»0.8♦

则模型二的方程为q=0.5£+0.8；

（2）由模型二的回归方程可得，5/2,=0.5x14-0.8=1.3*=0.5x4+（）.8=2.8，

0（2）八①（2）~八八①⑵

丸=0.5x9+0.8=53，丸=0.5x16+0.8=8.8»%=0.5x25+0.8=13.3,

5

222

Z（y-叉2））2=02+02+04+0.1+0.5=0.42<3.7,

f=l

故模型二的拟合效果更好.

【点睛】

本题考杳线性回归方程和残差平方和的计算，解题的关犍是正确计算出各个值，避免计算出错，正确应用

公式.

X~y22

20.［答案】（1）—+^=1;（2）证明详见解析，（一,（））.

437

［解析】（1）由题：e二工二1①

a2

左焦点（一c,0）到点P（2,1）的距离为：d=J（2+C）2+12二加②

由①②可解得c=l,a=2,h2=a2-c2=3-

22

•••所求椭圆C的方程为三十二二1.

43

<2）设A（芭,凹）、8（上,%），将N="+5代入椭圆方程得

09/18

（较2+3）£++W-12=0,

.8km4nr-12

•4r+3।-必2+3

且y=kxx+m,y2=kx2+m

♦・.AB为直径的圆过椭圆右顶点4（2,0）,所以石•还=0.

所以（N一2,yJ.（七一2,%）=（%-2＞（七一2）+乂%

=（%-2＞（公-2）+（依i+m）•（仇+m）

2

=（公+1）玉工2+（灯〃-2＞（西+x2）+m+4

4/K2-128k，n

=（公+1）.（km-21+nV+4=0.

4r+34r+3

整理得7m2+16km+4"?=0-

2

m-一一二或m=-2k都满足J＞0.

7

若利二一2攵时，直线/为），=依-24=Z（x-2）,

恒过定点4（2，。），不合题意舍去；

22（2、

若加=一亍左时，直线/为），=履一亍4=4[/一,）

恒过定点

【点晴】

本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质应用、直线与圆锥曲线的综合问题的求解及圆的形式

和两点间距离公式等基础知识的综合应用,其中把自线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关

系，利用一元二次方程的韦达定理是解答此类问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及

转化与化归数学思想的应用，试题有一定的难度，属于难题.

21.[答案】（1）详情见解析；（2）e+1.

【解析】（1）・・・/'（"二色一1=匕，x＞0,

xx

当4＜0时，对VX£（0,+OO）,.r（x）＜。,

10/18

所以/(X)的单调递减区间为(0,+8).

当〃>0时，令/'(x)=0，得X=。，

,・，x£(0,a)时，//(x)>0,xe(4,+oo)时，/(x)<0,

所以/(x)的单调递增区间为(0M)，单调递减区间为(G+8)

综上所述,时,”X)的单调.递减区间为(0,+8)：〃>0时，“X)的单调递增区间为单调

递减区间为W，+8).

(2)讨论：

①当且awO时，由(1)知，/(x)在[l,e