分类汇编：圆的综合题

2013中考全国100份试卷分类汇编

圆的综合题

1、（2013•温州）在△ABC中，/C为锐角，分别以AB,AC为直径作半圆，过点B,A,

C作就，如图所示.若AB=4,AC=2,Si-S2=?L则S3-S4的值是（）

4

A.29兀B.23兀C.11兀D.5冗

444"I"

考圆的认识

八占I、・.

分首先根据AB、AC的长求得Si+S3和S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论.

析：

解解：•.•AB=4,AC=2,

答：/.Si+S3=2n,S2+S4=—,

2

VSi-S2=—,

4

（S1+S3）-（S2-S4）=（Si-S2）+（S3-S4）

2

/.S3-S4=—7I»

4

故选D.

点本题考查了圆的认识，解题的关键是正确的表示出S1+S3和S2+S4的值.

评：

2、（2013•孝感）下列说法正确的是（）

A.平分弦的直径垂直于弦

B.半圆（或直径）所对的圆周角是直角

C.相等的圆心角所对的弧相等

D.若两个圆有公共点，则这两个圆相交

考圆与圆的位置关系；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.

点：

分利用圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识进行判断即可

析：

解解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项错误；

答：B、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项正确；

C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；

D、两圆有两个公共点，两圆相交，故本选项错误，

故选B.

点本题考查了圆与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识，牢记这些

评：定理是解决本题的关键.

3、（2013•温州）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面,

要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上.木工师傅想了一个巧妙的办法,

他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据（单位：cm）,从点N沿折线NF-

FM(NFIIBC,FMIIAB)切割，如图1所示.图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼

接成符合要求的矩形桌面示意图(不重叠，无缝隙，不记损耗)，则CN,AM的长分别是—

18cm、31cm.

考圆的综合题

点：

分如图，延长0K交线段AB于点M，，延长PQ交BC于点G,交FN于点N，，设圆孔

析：半径为r.在RSKBG中，根据勾股定理，得r=l6(cm).根据题意知，圆心O在

矩形EFGH的对角线上，则KN=AB=42cm,OM=KM,+r=^CB=65cm.则根据图中

2

相关线段间的和差关系求得CN=QG-QNZ=44-26=18(cm),AM=BC-PD-

KMZ=13O-50-49=31(cm).

解解：如图，延长OK交线段AB于点M一延长PQ交BC于点G,交FN于点N-

答：设圆孔半径为r.

在Rt/kKBG中，根据勾股定理，得

BG2+KG2=BK2,即(130-50)2+(44+r)2=I(X)2,

解得，r=16(cm).

根据题意知，圆心0在矩形EFGH的对角线上，则

KN'=lAB=42cm,OM'=KM'+r=1cB=65cm.

22

QN・KN'-KQ=42・16=26(cm),KM=49(cm),

/.CN=QG-QNZ=44-26=18(cm),

/.AM=BC-PD-KM^ISO-50-49=31(cm),

综上所述，CN,AM的长分别是18cm、31cm.

故填：18cm、31cm.

图1图2

点本题以改造矩形桌面为载体，让学生在问题解决过程中，考查了矩形、直角三角形

评：及圆等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了图形变换思想，

体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值.

4、(2013四川宜宾)如图，48是。。的直径，弦。。_LA8于点G,点尸是CO上一点，且

满足殳二，连接A尸并延长交。。于点£,连接A。、DE,若CF=2,AF=3.给出下列结论:

FD

@△ADF-AED,②尸G=2；③〃〃叱£=近：④SAD*=4%.

2

其中正确的是①②④(写出所有正确结论的序号).

考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理.

分析：①由A3是。。的直径，弦CO_L44,根据垂径定理可得：AD=CD，DG=CG,继

而证得△ADF^△AED',

②由里，CF=2,可求得。尸的长，继而求得CG=DG=4,则可求得FG=2；

FD

③由勾股定理可求得4G的长，即可求得心〃N4Z）尸的值，继而求得勿叱£=《；

④首先求得△AO厂的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△AQF的面

枳，继而求得DEF=电

解答：解：①是OO的直径，弦CO_LAB,

/.AD=CD.DG=CG,

ZADF=Z.AED,

/ZFAD=ADAE（公共角），

AADF^△AED\

故①正确；

②•.・里，CF=2,

FD

FD=6,

：.CD=DF+CF=8,

/.CG=DG=4,

...FG=CG-CF=2；

故②正确；

③•.7尸=3,FG=2,

•••AG=4小_FG』而

在RmAGD中，tar^AOG二炮二近，

DG4

/.tanZ.

4

故③错误；

=2

④•••DF=DG+FG=6,AD7AG+DG

SAW=Z2AG=X6X在=3证，

△AO尸一△AED,

,△ADF_(AF)2,

2△AED虹

^△AED

SAA£D=7A/^，

SADE尸S&AED~5AA/)r=4V^;

故④正确.

故答案为：①②④.

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函

数等知识.此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

5、(2013年武汉)如图，在平面直角坐标系中，△ABC是。。的内接三角形，A8=AC,点

。是和的中点，连接PA,PB,PC.

(I)如图①，若NBPC=60°,求证：AC=6AP；

74

(2)如图②，若sin/8PC=—,求tanZPAB的值.

25

解析：A人

(1)证明：•洌：.ZBAC=ZBPC=60°.

P

XVC,・\B为等边三角形

是弧AB的中点，二

叼c=/ARr=,.'.AC=V3AP.B

(2)解：连接AO中延_10任FF,过点E作EG_LAC于

VAB=AC,••逊题因QBF=CF.第22题图②

■:点P是弧AB中点，/.ZACP=ZPCB,・・・EG=EF.

VZBPC=ZFOC,

AsinZFOC=sinZBPC=—.

25

设FC=24。，则OC=OA=25”，

：,OF=7a,AF=32a.

在RlZ\AFC中，AC2=AF2+FC2,.,.AC=40«.

PGFC

在Rlz2\AGE和RlZ\AFC中，sinZFAC——-=-

AEAC

———=—./.EG=12«.

32a-EG40。

FF12«1

/.IanZPAB=tanZPCB=-----=------=—.

CF24。2

6、(2013•常州)在平面直角坐标系xOy中，己知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以

半径为3的0O上，连接OC,过O点作OD_LOC,OD与。O相交于点D(其中点C、O、

D按逆时针方向排列)，连接AB.

(1)当OCIIAB时，zBOC的甫数为45。或135。：

（2）连接AC,BC,当点C在OO上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC

的面积的最大值.

（3）连接AD,当OCIIAD时，

①求出点C的坐标；②直线BC是否为。。的切线？请作出判断，并说明理由.

考圆的综合题.

点：

专综合题.

题：

分（1）根据点A和点B坐标易得^OAB为等腰直第三角形，则NOBA=45。，由于

析：OCIIAB,所以当C点在y轴左侧时，有NBOC=NOBA=45。；当C点在y轴右侧时，

有NBOC=180°-ZOBA=135°；

（2）由AOAB为等腰直角三角形得AB二亚OA=6加，根据三角形面积公式得到当

点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE_LAB于E,OE的反向

延长线交OO于C,

此时C点到AB的距离的最大值为CE的氏然后利用等腰直角三角形的性质计算出

OE,然后计算△ABC的面积；

（3）①过C点作CF_Lx轴于F,易证RSOCFsRsAOD,则殳=5,即W,

OD0A36

解得CF',再利用勾股定理计算出OF=&Zi则可得到C点坐标；

22

②由于OC=3,OF=>|所以NCOF=30。，则可得到二BOC=60。，ZAOD=60°,然后

根据"SAS”判断△BO8△AOD,所以NBCO=/ADC=90。，再根据切线的判定定理

可确定

直线BC为。O的切线.

解解：（1）..•点A（6,0）,点B（0,6）,

答：/.OA=OB=6,

△OAB为等腰直角三角形，

ZOBA=45°,

•/OCIIAB,

当C点在y轴左侧时，ZBOC=ZOBA=45°；当C点在y轴右侧时，ZBOC=180°

-ZOBA=135°；

（2）•••△OAB为等腰直角三角形，

AB=V2OA=6V2，

当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，

过O点作OE_LAB于E,OE的反向延长线交。。于C,如图，此时C点到AB的距

离的最大值为CE的长，

・「△OAB为等腰直角三角形，

AB=V2（）A=6V2*

OE='AB=3&,

・•.CE=OC+CE=3+3近，△ABC的面积=」CE・AB」x（3+3亚）心区

22

当点C在＜30上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最

大，最大值为分18.

（3）①如图，过C点作CFJLx轴于F,

,/OCIIAD,

/.ZAD0=ZCOD=90%

/.ZDOA+ZDAO=90°

而NDOA+ZCOF=90°,

NCOF=NDAO,

RIAOCFSRSAOD,

.•.里5,即丝上解得CF=g,

ODOA362

在R^OCF中，OF=GC2

・•.C点坐标为（-",3；

22

②直线BC是0O的切线.理由如下：

在RQOCF中，0C=3,OF=g

2

AZCOF=30°,

ZOAD=30°,

ZBOC=60°,zAOD=60°,

在aBOC和4AOD中

OC=OD

<NBOO/AOD，

BO二AO

「.△BOC合△AOD（SAS），

ZBCO=ZADO90。，

OC±BC,

直线BC为OO的切线.

y

点本题考查了圆的综合题：掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的

评：判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算.

7、（2013•宜昌）半径为2cm的与OO边长为2cm的正方形ABCD在水平直线1的同侧.OO

与1相切于点F,DC在1上.

（1）过点B作的一条切线BE,E为切点.

①填空：如图1,当点A在。O上时，NEBA的度数是一30。：

②如图2,当E,A,D三点在同一直线上时，求线段OA的长；

（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3〕，至

边BC与OF重合时结束移动，M,N分别是边BC,AD与。O的公共点，求扇形M0N的

面积的范围.

考圆的综合题.

"占八、.•

分（1）①根据切线的性质以及直角三角形的性质得出/EBA的度数即可；

机：②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出器黑，进而求

出OA即可；

（2）设NMON=n%得出S扇形MON=^x22=_^n进而利用函数增减性分析①些N,

M,A分别与D,B,O重合时，MN最大，②当MN二DC=2时，MN最小，分别求

出即可.

解解：（1）①.•半径为2cm的与0O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线1的同

答：侧，当点A在。O上时，过点B作的一条切线BE,E为切点，

OB=4,EO=2,ZOEB=90°,

「.NEBA的度数是：30°；

②如图2,

•直线1与。O相切于点F,

/.ZOFD=90°,

•「正方形ADCB中，ZADC=90°,

OFIIAD,

•「OF=AD=2,

四边形OFDA为平行四边形，

ZOFD=90°,

平行四边形OFDA为矩形，

/.DA_LAO,

•.正方形ABCD中，DA±AB,

O,A,B三点在同一条直线上；

/.EA±OB,

ZOEB=ZAOE,

△EOA-△BOE,

.QA-QE

OFOB,

OE2=OA«OB,

OA(2+OA)=4,

解得：OA=-1土的，

/OA>0,AOA=V5-1；

方法二：

在RsOAE中，coszEOA二弛皂，

OE2

在RtAEOB中，cosZEOB=-25——,

OBOA+2

•Gt2

"20A+2'

解得：OA=・1士的，

/OA>0,AOA=V5-h

方法三：

OE±EB,EA±OB,

•••由射影定理，得OE2=OA・OB,

OA(2+OA)=4,

解得：OA=-1士的，

OA>0,

OA=V5-h

(2)如图3,设NMON=n°,S总形MON二P兀x22=2Ln(cm2)，

36090

S随n的增大而增大，/MON取最大值时，SR州MON最大，

当NMON取最小值时,S照形MON最小,

过O点作OK_LMN于K,

ZMON=2ZNOK,MN=2NK,

在RlZkONK中，sin/NOK二弛业，

ON2

AZNOK随NK的增大而增大，NMON随MN的增大而增大,

当MN最大时NMON最大，当MN最小时NMON最小，

①当N,M,A分别与D,B,O重合时，MN最大，MN=BD,

ZMON=ZBOD=90°,S端形MON最大=7i(cm2),

②当MN二DC=2时，MN最小，

ON=MN=OM,

ZNOM=60°,

S崩形MON鼓小=n(cm-),

nWS即ZMONSTI.

故答案为：30。.

点此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，

评：得出扇形MON的面积的最大值与最小值是解题关键.

8、(2013•包头)如图，已却在△ABP中，C是BP边上一点，/PAC=/PBA,OO是△ABC

的外接圆，AD是。O的直径，且交BP于点E.

(1)求证：PA是OO的引线；

(2)过点C作CF±AD,垂足为点F,延长CF交AB于点G,若AG«AB=I2,求AC的长;

(3)在满足(2)的条件下，若AF：FD=1：2,GF=1,求。O的半径及sinNACE的值.

考圆的综合题.

点：

分(1)根据圆周角定理得出NACD=9()。以及利用NPAC=ZPBA得出

析：ZCAD+ZPAC=90。进而得出答案；

(2)首先得出△CAG-△BAC,进而得出AC?:AG・AB,求出AC即可；

(3)先求出AF的长，根据勾股定理得：AG=A/AF2+GF2,即可得出

sin/ADB」在，利用NACE=NACB=NADB,求出即可.

5

解(I)证明：连接CD,

答：:AD是OO的直径，

ZACD=90°,

/.ZCAD+ZADC=90°,

又/ZPAC=ZPBA,ZADC=ZPBA,

/.ZPAC=ZADC,

ZCAD+ZPAC=90。，

APA±OA,而AD是OO的直径，

「.PA是。O的切线；

(2)解：由(1)知，PA±AD,X/CF±AD,；.CFIIPA,

ZGCA=ZPAC,又丁ZPAC=ZPBA,

ZGCA=ZPBA,而/CAG=ZBAC,

△CAGs△BAC.

«.•AC,AG,

ABAC

即AC2=AG«AB,

AG・AB=12,

/.AC2=12,

AC=2%：

(3)解：设AF=x,/AF：FD=1：2,/.FD=2x,

AD=AF+FD=3x,

在RtaACD中，/CF±AD,/.AC2=AF*AD,

即3x2=12,

解得；x=2,

AF=2,AD=6,OO半径为3,

在RsAFG中，/AF=2,GF=1,

A

根据勾股定理得：G=A/A{r2+GF2=^22+12=V5,

由(2)知,AG・AB=12,

...AB二驾里1

AG5

连接BD,

AD是。O的直径，

NABD=90°,

在RSABD中,,「sin/ADB=些，AD=6,

AE

/.sinzADB=^/^，

5

ZACE=ZACB=ZADB,

点此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知

评：得出AG的长以及AB的长是解题关键.

9、（2013•荆门）如图1,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点，P是线段MC上

的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作0O,过点P作。。的切线，交AD于点F,

切点为E.

（1）求证：OFIIBE；

（2）设BP=x,AF=y,求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）延长DC、FP交于点G,连接OE并延长交直线DC与H（图2）,问是否存在点P,

使^EFO~△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的

值；如果不存在，请说明理由.

考圆的综合题.

点：

分(1)首先证明RtAFAO合RtAFEO进而得出NAOF=ZABE,即可得出答案；

析：(2)过F作FQ_LBC于Q,利用勾股定理求出y与x之间的函数关系，根据M是

BC中点以及BC=2,即可得出BP的取值范围；

(3)首先得出当NEFO=ZEHG=2zEOF时，即NEOF=3()°时，

RtAEFO-RtAEHG,求出y=AF=OA・lan3(『二q,即可得出答案..

解(1)证明：连接OE

答：FE.FA是OO的两条切线

/.ZFAO=ZFEO=90°

在RtAOAF和RtAOEF中,

'FO=FO

,0A=0E

...R(AFAOMRtAFEO(HL),

ZAOF=ZEOF=lzAOE,

2

ZAOF=ZABE,

.•・OFIIBE,

(2)解：过F作FQJ_BC于Q

/.PQ=BP-BQ=x-y

PF=EF+EP=FA+BP=x+y

在RIAPFQ中

FQ2+QP2=PF2

22+(x-y)2=(x+y)2

化简得：尸工，(i<x<2)；

x

(3)存在这样的P点，

理由：•••NEOF=NAOF,

/.ZEHG=ZEOA=2ZEOF,

当NEFO=ZEHG=2zEOF时，

即/EOF=30°时，RIAEFO-RtAEHG,

此时RtAAFO中，

y=AF=OA”an30°=虫.

3

y

•二当x=V3，寸，△EFO△EHG.

(®1)(图2)

点此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定

评：与性质等知识，得出FQ?+QP2=PF2是解题关键.

1（）、（2013•莱芜）如图，。。的半径为I,直线CD经过圆心O,交。。于C、D两点，直

径AB_LCD,点M是直线CD上异于点C、0、D的一个动点，AM所在的直线交于。0于

点N,点P是直线CD上另一点，且PM=PN.

（1）当点M在。O内部，如图一，试判断PN与OO的关系，并写出证明过程；

（2）当点M在OO外部，如图二，其它条件不变时，（1〉的结论是否还成立？请说明理由；

（3）当点M在。O外部，如图三，ZAMO=15°,求图中阴影部分的面积.

考圆的综合题.

点：

分（1）根据切线的判定得出/PNO=ZPNM+ZONA=ZAMO+ZONA进而求出即可；

析：（2）根据已知得出NPNM+ZONA=90°,进而得出NPNO=180°-90。=90。即可得出答

案；

（3）首先根据外角的性质得出/AON=3（）。进而利用扇形面积公式得出即可.

解（1）PN与OO相切.

答：证明：连接UN,

则/ONA=ZOAN,

,.PM=PN,ZPNM=ZPMN.

/ZAMO=NPMN,/.ZPNM=ZAMO.

ZPNO=ZPNM+ZONA=ZAMO+ZONA=90°.

即PN与OO相切.

(2)成立.

证明：连接ON,

则NONA=ZOAN,

•/PM=PN,「.ZPNM=ZPMN.

在RSAOM中，

ZOMA+ZOAM=90°,

ZPNM+ZONA=90°.

...ZPNO=I80°-90°=90°.

即PN与OO相切.

（3）解：连接ON，由（2）可知NONP=90。.

•••ZAMO15°,PM=PN,ZPNM=15°,ZOPN=30°,

ZPON=60。，ZAON=30°.

作NE_LOD,垂足为点E,

则NE=ON・sin6()°=lx返=近.

22

S阴影:SAAOC+SliiffMON-SACON=OC*OA+-^_XJTXI2_—CO»NE

3602

=xlxl+_Ln-x1

122

=+。空.

124

点此题主要考查了扇形面积公式以及切线的判定等知识，熟练根据切线的判定得出对

评：应角的度数是解题关键.

11、（2013•遂宁）如图，在OO中，直径AB_LCD,垂足为E,点M在OC上，AM的延长

线交。0于点G,交过C的直线于F,Z1=Z2,连结CB与DG交于点N.

（I）求证：CF是。0的切线；

（2）求证：△ACM-△DCN；

（3）若点M是CO的中点，OO的半径为4,cos/BOC=,，求BN的长.

4

考圆的综合题.

点：

分（1）根据切线的判定定理得出N1+ZBCO=90°,即可得出答案；

析：（2）利用已知得出N3=N2,Z4=ZD,再利用相似三角形的判定方法得出即可；

（3）根据已知得出OE的长，进而利用勾股定理得出EC,AC,BC的长，即可得出

CD,利用（2）中相似三角形的性质得出NB的长即可.

解（1）证明：BCO中，BO=CO,

答：/.NB=ZBCO,

在RtABCE中，Z2+ZB=90°,

又•••Z1=Z2,/.Z1+ZBCO=90°,即NFCO=90°,

CF是。O的切线；

(2)证明：JAB是。O直径，NACB=NFCO=90。

ZACB-ZBCO=ZFCO-ZBCO,

即N3=Zi,AZ3=z2,

Z4=ZD,「.△ACM-△DCN；

(3)解：•「。0的半径为4,BPAO=CO=BO=4,

在RiaCOE中，cosZBOC=—，

4

OE=CO*cosZBOC=4x—=1,

4

由此可得：BE=3,AE=5,由勾股定理可得:

CE=VcO2-EO2=742-12"V15«

ACWCI+AE」（715）2+5笈2疝,

BC=22

VCE+BE=7（715）2+32=2V6»

.AB是。O直径，AB±CD,

・•・由垂径定理得：CD=2CE=2限，

△ACM-△DCN,

•.•CJL—AC,

CNCD

,•,点M是CO的中点，CM=AO=x4=2,

...CN&I坦丝”词

AC2,国

：.BN=BC-CN=2a-V6=V6-

点此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应用等知

评：识，根据已知得出△ACM-△DCN是解题关键.

12、（2013济宁）如图1,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=U（x

x

>0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B.

（I）求证：线段AB为GP的直径；

（2）求^AOB的面积；

（3）如图2,Q是反比例函数丫=卫（x>0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO

x

为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D.

求证：DO・OC=BO・OA.

考点：反比例函数综合题.

分析：（1）NAOB=90。，由圆周角定理的推论，可以证明AB是。P的直径；

（2）将^AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；

（3）对于反比例函数上另外一点Q,G）Q与坐标轴所形成的△COD的面积，依然不变，与

△AOB的面积相等.

解答：（1）证明：・•・NAOB=90。，且NAOB是OP中弦AB所对的圆周角，

一•AB是OP的直径.

（2）解：设点P坐标为（m,n）（m>0,n>0）,

丁点P是反比例函数y=丝（x>0）图象上一点，「•mn=12.

x

如答图，过点P作PMJ_x轴于点M,PN_Ly轴于点N,则OM=m,ON=n.

由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，

OA=2OM=2m,OB=2ON=2n,

SAAOB=BO*OA=x2nx2m=2mn=2x12=24.

（3）证明：若点Q为反比例函数y=芷（x>0）图象上异于点P的另一点，

x

参照（2）,同理可得:SACOD=DO.CO=24,

则有：SACOD=SAAOB=24,即BO・OA=DO・CO，

DO*OC=BO«OA.

点评：本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大.试

题的核心是考查反比例函数系数的几何意义.对本题而言，若反比例函数系数为k,则可以

证明OP在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于4k；对于另外一点Q所形成的OQ,此结论

依然成立.

13、（2013•攀枝花）如图，PA为。。的切线，A为切点，直线PO交。。与点E,F过点A

作PO的垂线AB垂足为D,交OO与点B,延长B0与。0交与点C,连接AC,BF.

（I）求证：PB与相切；

（2）试探究线段EF,OD,OP之间的数量关系，并加以证明；

（3）若AC=I2,tanzF=l,求coszACB的值.

2

考圆的综合题.

点：

分（I）连接OA,由OP垂直于AB,利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直

析：平分AB,可得出AP=BP,再由OA=OB,OP=OP,利用SSS得出三角形AOP与三

角形BOP全等，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP,利用全等三角形的对应角

相等及垂直的定义得到OB垂直于BP,即PB为圆O的切线；

（2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD与三角形OAP相似，由相似

得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证.

（3）连接BE,构建直角ABEF.在该直角三角形中利用锐知三角函数的定义、勾股

定理可设BE=x.BF=2x,进而可得EF=J^x：然后由面积法求得BD=2^x.所以根

5

据垂径定理求得AB的长度，在RSABC中，根据勾股定理易求BC的长；最后由余

弦三角函数的定义求解.

解（1）证明：连接0A,

答：TPA与圆O相切，

PAJLOA,EPzOAP=90°,

•「OP±AB,

」.D为AB中点，即OP垂直平分AB,

二PA=PB,

,.在AOAP和△OBP中，

rAP=BP

<OP=OP，

OA=OB

△OAP^△OBP(SSS),

ZOAP=/OBP=90°,

/.BP±OB,

则直线PB为圆O的切线；

(2)答：EF2=4DO«PO.

证明：.••NOAP=/ADO=90°,ZAOD=ZPOA,

/.△(DAD-△OPA,

空段即OA2=OD・OP,

OPOA

EF为圆的直径，即EF=2OA,

1EF2=OD«OP,即EF2=4OD«OP；

(3)解：连接BE,则NFBE=90°.

tanZF=—»

2

.Bg__l

1BF~2

可设BE=x,BF=2x,

则由勾股定理.，得

EF=VBF2+BE2=^X,

lBE・BF=1EF・BD,

22

BD=-?2Z1X.

5

又AB±EF,

AB=2BD=^^x,

5

」.RiaABC中，BC=A/5X>

AC2+AB2=BC2,

222

...I2r+(-^^x)=(小),

解得：*=4的，

/.BO4MxM=20,

coszACB丝旦

BC205

点此题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数

评：关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.

14、（2013年南京）如图，是圆。的切线，切点为A,48是圆O

的弦。过点B作BC〃A。,交圆。于点C,连接人C,过

点C作CD7A8,交AD于点。。连接A。并延长交BC

于点M，交过点C的直线于点P,且NBCP=NAC£＞。

（1）判断直线尸C与圆O的位置关系，并说明理由：

（2）若AB=9,BC=6,求尸C的长。

解析：解法一：（I）直线尸。与圆。相切。

如图①，连接CO并延长，交圆O于点M连接5N。

•：ABHCD,：.ZBAC=ZACDO

•：NBAC=4BNC,.•"BNC=NACD。

,./BCP=/ACD,：./BNC=/BCP.

.「CN是圆。的直径，...NC8N=90。。

2BNC+/BCN=9。。,，NBCP+/BCN=9。。。

：.ZPCO=90°,即PC1OC。

又点C在圆。上，.•.直线PC与圆O相切。（4分）

（2）\'AD是圆O的切线，「.ATZLQA,即NO4D=90。。

•:BCHAD,：.^OMC=1800-Z0/AD=90U,即OM_L8C'。

：.MC=MBO：.AB=ACO

在RtZVIMC中，ZAA/C=90°,AC=AB=9,MC=y^C=3,

由勾股定理，得AM大AC^-MC?大92-3?=6巾。

设圆O的半径为人

在RtZ\OWC中，NOMC=90°,OM=AM-AO=6巾-r,MC=3,OC=r,

由勾股定理，得O"2+MC2=OC2,即（6机_,）2+32=/。解得

在△OMC和△OCP中，

：NOMC=/OCP,NMOGNCOP,

L27/—

/F/6v2—0^/2i

fII_____8—工

「.△OMCYOCH''OC-PCfu27r--PC°

：.PC=-y-o（8分）

解法二：（1）直线PC与圆。相切。如图②，连接OC。

•「A。是圆。的切线，「.ADLOA,

即/OW=90°。

:BCHAD,：.ZOMC=180°-ZOAD=90°,

即OM1BC.

：.MC=MBO：.AB=AC0：.ZMAB=ZMAC.

.,.ZHAC=2ZMAC.yL\'ZMOC=2ZMAC,：.ZMOC=^BAC.②

\AB//CD,：.ZBAC=ZACDO：.ZMOC=ZACD.又YNBCPNACD,

:"MOC=NBCP。,/ZMOC+ZOGW=90°,：.ZBCP+^OCM=9（）°o

.-.ZPCO=90°,KPPCLOC.又二点C在圆O上，...直线PC与圆。相切。

（2）在Rt/VIMC中，/AMO90。，AC=AB=9,MC=yfiC=3,

由勾股定理，得AM大AC2—MC2=yj9?-3?=6小。

设圆。的半径为八

在Rt/SOMC中，ZOMC=90°,OM=AM-AO=6yf2-r,MC=3,OC=r,

由勾股定理，得（加2+加。2=。。2,即（6近-/）2+32=应解得L孑W。

在△OMC和△OCP中，•.•/OMC=NOCP,/MOC=NCOP,

，BJ一芸一点

.,.△OMC〜AOCP,,~

.,.PC=—o（8分）

15、（2013•曲靖）如图，OO的直径AB=10,C、D是圆上的两点，且标二而二位.设过

点D的切线ED交AC的延长线于点F.连接OC交AD于点G.

（1）求证：DFJ_AF.

（2）求OG的长.

考切线的性质.

点：

-■*****

上（1）连接1^,根据AC二CD二DB，可得NCAD=NDAB=30。，NABD=60。，从而可得

析：

ZAFD=90°；

（2）根据垂径定理可得OG垂直平分AD,继而可判断OG是△ABD的中位线，在

RSABD中求出BD,即可得出OG.

解解：（1）连接BD.

答：.—.

AC=CD=DB>

/.ZCAD=ZDAB=30°,NABD=60°,

...ZADF=ZABD=60°,

ZCAD+ZADF=90°,

DF_LAF.

（2）在RtaABD中，ZBAD=30°,AB=10,

BD=5,

•••AC=CD，

二.OG垂直平分AD,

OG是^ABD的中位线，

/.OG=lBD=&.

22

点本题考查了切线的性质、圆周角定理及垂径定理的知识，解答本题要求同学们熟练

评：掌握各定理的内容及含30。角的直角三角形的性质.

16、（2013•六盘水）（1）观察发现

如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小，做

法如下：

作点B关于直线m的对称点B，，连接AB，，与直线m的交点就是所求的点P,线段AB，

的K度即为AP十BP的最小值.

如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在AD上找

一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点

P,故BP+PE的最小值为_加_.

（2）实践运用

如图（3）：已知OO的直径CD为2,菽的度数为60。，点B是记'的中点，在直径CD

上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为_亚_.

（3）拓展延伸

如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M,点N,使PM+PN

的值最小，保留作图痕迹，不写作法.

考圆的综合题；轴对称最短路线问题.

八占・•

分（I）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2,点E是AB

析：的中点，根据等边三角形的性质得到CEJLAB,ZBCE=ZBCA=30°,BE=1,再根据

含30度的直角三角形三边的关系得CE=V3：

（2）实践运用：过B点作弦BE_LCD,连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、

PB,根据垂径定理得到CD平分BE,即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是

BP+AP的最小值；

由于位的度数为60。，点B是萧的中点得到/B0030。，ZAOC=60°,所以

ZAOE=600+30°=90%「是可判断△OAE为等腰直角三角豚则AE=\^OA=M；

（3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F,然后连结EF,EF交

AB于M、交BC于N.

解解：3）观察发现

答：如图（2）,CE的长为BP+PE的最小值，

・•・在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的口点

CE±AB,ZBCE=ZBCA=30°,BE=1,

CE=V3BE=V3；

故答案为J5；

(2)实践运用

如图(3),过B点作弦BEJ_CD,连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB,

BEJ_CD,

「.CD平分BE,即点E与点B关于CD对称，

黄的度数为60。，点B是萧的中点，

ZBOC=30°,ZAOC=60%

ZEOC=30°,

・•.zAOE=600+30*=90%

・•OA=OE=1,

••・AE=VZ)A=V2>

・「AE的长就是BP+AP的最小值.

故答案为班;

(3)拓展延伸

如图(4).

点本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几

评：何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称・最短路径问题.

17、(2013•衡阳压轴题)如图，在平面直角坐标系中，已知A(8,0),B(0,6),OM经

过原点O及点A、B.

(1)求OM的半径及圆心M的坐标；

(2)过点B作。M的切线1,求直线1的解析式；

(3)NBOA的平分线交AB于点N,交OM于点E,