初中数学九年级下册《位似图形》概念探究教案

初中数学九年级下册《位似图形》概念探究教案

一、教材与内容深度析解

1.教材定位与知识结构网络

本节课选自人教版九年级数学下册第二十七章“相似”中的第七节“位似”。从知识体系的宏观架构审视，“相似”这一单元是初中阶段“图形与几何”领域的核心内容之一，它上承“全等三角形”、“图形的变换（平移、旋转、轴对称）”，下启高中阶段的“相似三角形进一步性质”、“平面向量”乃至“射影几何”的初步思想。位似，作为一种特殊的相似变换，是连接“形”的相似与“数”的坐标表示的关键桥梁，也是将静态几何性质动态化、模型化的重要认知飞跃点。

在本节之前，学生已经系统掌握了相似多边形的定义、判定与性质，以及相似三角形的系列定理。位似图形是相似图形集合中的一个真子集，它除了满足所有相似图形的共性（对应角相等，对应边成比例）外，还具有其独特的个性——所有对应点的连线相交于同一点（位似中心）。这种“共性中的个性”认知，是培养学生数学抽象和逻辑推理素养的绝佳素材。

2.核心概念解构与数学本质

位似的数学本质是一种变换。它隶属于“相似变换”，而相似变换又是“仿射变换”的特例。在初中阶段，我们将其理解为一种“缩放+定位”的复合操作。其核心要素有三：

1.位似中心（O）：变换的基准点，所有变换行为的“锚点”。

2.位似比（k）：缩放的比例因子，决定了图形放大或缩小的程度及方向（k>0与k<0蕴含了图形方位的深刻差异）。

3.对应关系：图形上每一点A，通过射线OA（或反向延长线）定位，按比例|k|缩放至A‘，形成一一对应。

特别需要引导学生辨析的是“位似”与“相似”、“位似”与“中心投影”的关系。位似图形必定相似，但相似图形未必位似（除非满足“连线共点”的条件）。位似模型实质上抽象自物理世界中的“小孔成像”、幻灯机投影、地图绘制等中心投影现象，但当投影面与物体平面平行时，中心投影即退化为位似变换。这一关联揭示了数学源于现实、高于现实并用于解释现实的基本脉络。

二、学情分析与认知起点诊断

九年级下学期的学生，其思维发展正从具体运算阶段向形式运算阶段深化，具备了一定的抽象逻辑推理能力和空间想象能力，但面对高度抽象和需要多重联系的概念时，仍可能产生认知障碍。

已知基础与优势：

1.知识储备：熟练掌握了相似多边形、相似三角形的相关知识与技能；熟悉平面直角坐标系，能够进行点的坐标运算；对平移、旋转、轴对称等全等变换有清晰认知。

2.能力基础：具备一定的观察、比较、归纳能力；能够进行简单的几何证明；初步形成了运用数学语言表达和交流的习惯。

3.经验基础：在生活中接触过放大镜看物体、电影放映、地图等类似位似的现象，具备一定的感性经验。

潜在障碍与挑战：

1.概念混淆：极易将“位似”与“一般的相似”或“中心对称”（可视为位似比k=-1的位似）混淆，难以准确把握“对应点连线共点”这一核心判定条件。

2.符号理解：对位似比k的理解容易片面化，只关注其绝对值（缩放倍数），忽视其符号（k>0与k<0）所决定的图形与位似中心的相对方位关系，这是本节课的最大难点之一。

3.双向建构困难：从“图形”角度识别位似关系，与从“坐标”角度定量刻画位似变换，这是两种不同的数学表征方式。学生需要在二者间灵活转换，建立双向心理表象，存在思维跨度。

4.应用迁移：如何将抽象的位似概念应用于解决实际问题和复杂的几何证明中，对学生分析问题和建模能力要求较高。

三、素养导向的教学目标设计

基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养要求，结合教材与学情，设定如下三维教学目标：

（一）知识与技能

1.理解位似图形、位似中心、位似比的概念，能准确阐述位似图形的本质特征。

2.掌握识别两个图形是否位似的方法，并能根据条件画出已知图形的位似图形。

3.探索并掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的坐标规律。

4.能综合运用位似知识解决简单的几何证明和实际问题。

（二）过程与方法

1.经历“观察实例—抽象特征—形成概念—辨析深化—应用拓展”的完整概念形成过程，体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学思想方法。

2.通过动手画图、几何软件（如GeoGebra）动态演示、小组合作探究等活动，发展几何直观和空间观念。

3.在探究坐标系中位似变换规律的过程中，感悟“数形结合”思想的威力，提升数学建模和逻辑推理能力。

（三）情感、态度与价值观

1.通过展示位似在摄影、测绘、艺术（如分形）、电影特效等领域的广泛应用，感受数学的实用价值与美学价值，激发学习兴趣。

2.在探究活动中体验克服困难、获得成功的喜悦，培养严谨求实的科学态度和合作交流的意识。

3.初步领会变换思想在认识客观世界中的重要性，形成用运动的、变化的眼光观察世界的哲学视角。

四、教学重难点及突破策略

1.教学重点：位似图形的概念及其本质特征（对应点连线交于一点，且对应边平行或共线）。

2.教学难点：

1.3.难点一：对位似比k的全面理解（绝对值表示大小，符号表示方位）。

2.4.难点二：在平面直角坐标系中，熟练运用位似变换的坐标规律解决问题。

5.突破策略：

1.6.针对难点一：采用“对比+动态演示”策略。利用几何画板或GeoGebra，制作可交互的位似变换模型。让学生亲手拖动“位似比k”的滑动条，观察当k从正到负、绝对值从小于1到大于1连续变化时，原图形与位似图形的动态关系。特别定格k>0（同侧位似）和k<0（异侧位似）的典型画面，引导学生归纳“符号定方位，绝对值定大小”的规律。辅以“照哈哈镜”（变形）与“平面镜成像”（k=-1）的生活比喻，加深理解。

2.7.针对难点二：采用“特殊到一般，操作促理解”策略。先从以原点为位似中心、位似比为简单整数（如2，-1/2）开始，让学生在坐标系中描点、连线，亲自“创造”一个位似图形，并记录对应点坐标，观察规律。然后引导学生用代数式（x，y）→（kx，ky）进行猜想和验证。再通过变式练习，如位似中心不在原点的情形（通过平移转化思想解决），层层递进，最终实现规律的自主建构和内化。

五、教学准备与资源整合

1.技术资源：

1.2.多媒体课件（PPT/Keynote）。

2.3.交互式几何软件：GeoGebra（预先制作位似变换动态模型、坐标系探究工具）。

3.4.实物投影仪。

5.学具准备：直尺、圆规、量角器、坐标方格纸、学习任务单。

6.素材资源：

1.7.生活图片：显微镜下的细胞图、不同比例尺的地图、电影《蚁人》大小对比剧照、分形艺术图片（如曼德博集）。

2.8.数学史链接：介绍摄影中的“透视”原理与位似的关系，或早期地图绘制中的“比例缩放”思想。

六、教学过程实施与环节设计（两课时，共90分钟）

第一课时：概念生成与性质探究

环节一：情境激疑，问题导学（预计时间：8分钟）

1.展示现象，激活经验：

1.2.播放一组图片：①用放大镜阅读报纸上的小字；②同一建筑物在不同比例尺城市地图中的轮廓；③电影中人物突然变大或变小的特效镜头；④通过小孔成像实验形成的倒立烛焰像。

2.3.提问：“这些现象中，变化前后的图形有什么共同特点？”（引导学生回顾“形状相同，大小不同”——相似）

4.聚焦差异，引发冲突：

1.5.展示两组几何图形：

组1：两个大小不同的相似三角形，其对应顶点连线明显不交于同一点（仅为一般相似）。

组2：两个大小不同的相似三角形，其对应顶点连线明显交于同一点（位似）。

2.6.追问：“它们都相似。但仔细观察，两组图形在‘生成方式’上有什么关键区别？”（引导学生关注“对应点连线的交点”）

7.揭示课题：今天，我们就来深入研究这种“特殊”的相似——位似。它有什么严格的定义？又有哪些独特的性质？

环节二：操作探究，概念建构（预计时间：20分钟）

1.活动1：我是位似图形“创造者”。

1.2.任务：在学习单上给定一个△ABC和一个点O。请尝试画出一个新的△A‘B’C‘，使得△A’B‘C’∽△ABC，并且满足：点A‘在射线OA上，点B’在射线OB上，点C‘在射线OC上。你可以选择让新图形比原图形大或小。

2.3.学生动手画图（允许使用直尺测量、比例计算等方法）。

3.4.展示与交流：选取不同“放大倍数”的学生作品进行投影展示。

4.5.引导归纳：所有成功的作品，都满足：（1）△A‘B’C‘∽△ABC；（2）点O、A、A‘共线，O、B、B’共线，O、C、C‘共线。这个公共点O非常关键。

6.活动2：动态演示，抽象本质。

1.7.教师运行GeoGebra预制的模型。固定△ABC和点O，拖动控制“缩放比”的滑动条k。

2.8.观察与思考：

a.当k>0时，△A‘B’C‘与△ABC在点O的同侧；当k<0时，它们在点O的异侧。|k|>1时，图形放大；|k|<1时，图形缩小。

b.除了对应点连线共点，观察对应边（如AB与A‘B’）的位置关系？（多数情况下平行，当对应点连线恰好穿过该边时，两边共线）。

3.9.引导抽象：谁能用最精炼的数学语言，描述这种特殊的图形关系？

10.形成定义：

1.11.在学生尝试表述的基础上，给出严谨定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A‘的连线都经过同一个点O，且满足OA’/OA=k（k为常数，k≠0），那么这两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，k叫做位似比。

2.12.关键解读：

1.3.13.“对应顶点连线共点”是位似的核心特征和判定依据。

2.4.14.位似比k：当k>0时，位似图形在位似中心同侧（同向位似）；当k<0时，在位似中心异侧（反向位似）。

3.5.15.|k|：两图形对应边的相似比。

环节三：辨析巩固，深化理解（预计时间：12分钟）

1.概念辨析题（小组讨论后抢答）：

1.2.判断并说明理由：

a.所有的位似图形都是相似图形。（√）

b.所有的相似图形都是位似图形。（×，缺少“对应点连线共点”条件）

c.位似中心一定在位似图形上。（×，可以在图形外部、内部或边上）

d.位似比k=1时，两图形全等且关于位似中心对称。（√，此时是特殊的位似）

e.位似比k=-1时，两图形全等且关于位似中心中心对称。（√）

3.例题精讲（课本例1改编）：

1.4.如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形？如果是，指出位似中心。

（提供三幅图：①明显的同侧位似；②明显的异侧位似；③对应点连线看似平行，实际延长后交于一点的一般相似图形）

2.5.教学方法：引导学生掌握判定步骤：（1）先判断是否相似；（2）再连接几组对应点，看连线是否交于同一点。

3.6.强调：判断“共点”时，有时需要将对应点所在的直线延长。

环节四：课堂小结与作业布置（预计时间：5分钟）

1.小结：引导学生从“是什么（定义）”、“有什么（要素：中心、比）”、“怎么认（特征）”三个方面回顾本节课核心内容。强调位似比k的双重意义。

2.作业布置：

1.3.基础题：课本课后练习，巩固概念识别。

2.4.探究题：（为下节课铺垫）在平面直角坐标系中，已知△ABC顶点A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)。以原点O为位似中心，分别画出位似比为2和-0.5的位似图形△A‘B’C‘，并尝试写出新顶点的坐标，看看坐标变化有什么规律？

第二课时：坐标规律与应用拓展

环节一：复习导入，温故知新（预计时间：5分钟）

1.快速提问回顾：位似图形的定义、核心特征、位似比k的意义。

2.展示上节课探究题的几种学生作图作品（坐标纸绘制），引出问题：“如果每次画图都要靠描点连线，太麻烦了。既然在坐标系中，图形由点构成，点的坐标决定位置，那么位似变换这种图形运动，能否用坐标的某种运算规律来简洁描述呢？”

环节二：探究发现，建构模型（预计时间：18分钟）

1.活动：坐标寻宝——发现位似变换的“密码”。

1.2.任务：以学习小组为单位，针对探究题中位似比k=2和k=-0.5两种情况，完成下表：

原顶点坐标

k=2时对应点坐标

k=-0.5时对应点坐标

A(1，2)

A‘（，）

A’‘（，）

B(3，1)

B‘（，）

B’‘（，）

C(2，3)

C‘（，）

C’‘（，）

2.3.观察与猜想：比较原坐标与变换后的坐标，你能发现什么运算规律？请用一句话或一个公式表达你的猜想。（引导学生发现：新点的横纵坐标分别是原坐标的k倍）

3.4.验证猜想：利用GeoGebra的“输入”功能，直接输入公式（k*x，k*y）定义新点，观察这些新点是否恰好构成所求的位似图形。改变k值，动态验证。

5.规律总结与证明：

1.6.规律：在平面直角坐标系中，如果以原点O为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。即：若点P(x，y)的对应点为P’(x‘，y’)，则x‘=kx，y’=ky。

2.7.思路引导（证明）：从位似的定义出发。因为O(0，0)，P(x，y)，P‘(x’，y‘)共线，且OP’/OP=|k|，同时根据P，P‘相对于O的位置（同侧或异侧）决定坐标符号相同或相反。结合相似三角形或向量思想（初中可直观理解），可以推导出上述关系。

8.变式与拓展：

1.9.提问：如果位似中心不是原点，而是平面内任意一点Q(a，b)，规律又会怎样？

2.10.引导转化思想：我们可以通过平移，将整个图形连同位似中心Q一起平移，使Q与原点O重合。在这个新坐标系下应用上述规律，然后再平移回去。推导出一般公式（可作为选学内容，供学有余力者探究）：

若位似中心为Q(a，b)，位似比为k，则点P(x，y)的对应点P’(x‘，y‘)满足：

x’-a=k(x-a)，y‘-b=k(y-b)。

环节三：综合应用，能力提升（预计时间：15分钟）

1.例题精讲（课本例2与拓展）：

1.2.例1（基础应用）：在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-6，6)，B(-8，2)，C(-4，0)，D(-2，4)。画出以原点O为位似中心，位似比为1/2的位似图形。

1.2.3.解法强调：直接应用坐标公式计算，再描点连线。对比“先画图再测量”的方法，凸显坐标法的精确与高效。

3.4.例2（逆向思维）：已知△ABC与△A‘B’C‘是以原点O为位似中心的位似图形，点A(1，0)，B(3，2)，C(2，4)的对应点分别是A’(2，0)，B‘(6，4)，C’(4，8)。求位似比，并判断是同侧位似还是异侧位似。

1.4.5.解法分析：利用一组对应点坐标即可求出k（k=x‘/x=2/1=2）。因为k=2>0，所以是同侧位似。

6.实际问题链接：

1.7.问题：一幅地图的比例尺是1:5000，地图上某公园的一个三角形花坛区域三个顶点的坐标（单位：厘米）分别为(2，3)，(5，1)，(4，4)。求这个花坛在实际地面的实际形状（以米为单位）的顶点坐标（假设地图坐标系原点对应实际地面的某个基准点）。

2.8.引导建模：将地图视为“图形”，实地视为“位似图形”，比例尺1:5000即指明了位似比（注意单位换算）。这实质上是位似知识的实际应用。

环节四：课堂小结与体系建构（预计时间：5分钟）

1.知识网络化：引导学生共同绘制本节课的思维导图或概念图。中心是“位似变换”，主干分支包括：定义、要素（中心、比）、性质（坐标规律）、作图方法（尺规作图法、坐标计算法）、应用。

2.思想方法升华：强调本节课贯穿的数学思想——变换思想（从全等变换到相似变换，再到特殊的位似变换）、数形结合思想（图形特征与坐标规律的互译）、类比归纳思想（从特殊点到一般点，从特殊中心到一般中心）、模型思想（用位似模型解决实际问题）。

环节五：分层作业与拓展阅读（预计时间：2分钟）

1.必做题：课后习题，巩固坐标规律的应用。

2.选做题：

1.3.（实践类）利用位似原理，设计一个简易的“小孔成像”实验，验证成像特点。

2.4.（探究类）已知四边形ABCD，位似中心O在四边形内部，位似比k=0.6，请用尺规作图法作出其位似图形（不要求写坐标）。

3.5.（跨学科类）查阅资料，了解“分形几何”中的自相似性，写一篇300字的小短文，阐述自相似与位似的联系与区别。

6.拓展阅读推荐：《数学之美》中关于图像压缩与分形的章节；或查阅艺术与数学相关的资料，了解埃舍尔版画中的“极限圆”与位似变换。

七、板书设计（提纲式）

第一课时板书

课题：27.3位似图形（一）——概念

一、生活实例

（简笔画或关键词：放大镜、地图、小孔成像）

二、位似图形定义

1.条件：①相似；②对应点连线交于一点。

2.要素：

1.3.位似中心（O）

2.4.位似比（k）

1.3.5.|k|：相似比（大小）

2.4.6.k符号：>0同侧位似；<0异侧位似

三、核心特征

1.对应点→连线→共点（O）

2.对应边→平行（或共线）

四、辨析

位似⊂相似

第二课时板书

课题：27.3位似图形（二）——坐标与应用

一、坐标系中的位似规律

1.中心在原点O(0，0)：

P(x，y)——(位似比k)——>P’(kx，ky)

2.中心在任意点Q(a，b)：

P(x，y)——>P’(x‘，y‘)

满足：x’-a=k(x-