全等模型专项突破练习 人教版八年级数学上册（含解析）

突破18全等模型（一）三垂直

类型一同侧三垂直

1.如图,AE_LAB,且AE=AB,BCJ_CD,且BC=CD.请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S

类型二异侧三垂直

2.如图，在2\ABCZACB=90°,AC=BC,BE±CE于点E,ADICE于点D.

(I)求证:/BCE=NCAD;

(2)若AD=9cm,DE=5cm,求BE的长.

类型三隐三垂直

3.如图.在正方形ABCD中,E是CD边上一点.连接AE,将ZiADE沿AE折叠.使点D落在正方形ABCD内部

的点F处，延长AF交BC于点H.求证:BH=CE+FH.

类型四三垂直与分类讨论

4.在ZkABC中,AC=BC,NACB=90,分别过A,B两点作直线CD的垂线,AF_LCD于点F.BEJLCD于点E.连接

AE.若AF=5.BE=2则IAAEF的面积为.

类型五构造三垂直

5.如图.在4ABC中,AB=AC,EC_LAC.且AOCE,垂足为C连接BE.若BC=6,则ABCE的面积为（）

心B.9C.18D.36

6.如图，在Z^ABC中,NACB=9（r,AC二CB,D为CB延长线上一点AE=AD,且AE_LAD,BE与AC的延长线交于

点F,若AC=4FC厕瞿的值为.

7.如图，在RlAABC中,NBAC=90，AB=AC,D是BC的中点,E是BC边上的动点(不与点BCD重合)，连接AE,

在AE右侧作EFJ_AE,且EF=AE,连接CF.贝IJ/ECF的度数为.

突破19全等模型(二)坐标系中的三垂直

类型一两点在轴上，“一点垂”

1.如图.在△PMN中，点P,M在坐标轴上，点P(0.2),N(2,—2),PM二PN,且

PM1PN,,则点M的坐标是.

2.如图，在平面直角坐标系中，△4BC为等腰直角三角形，点A1--1,O),B(O,-4).将△4BC向上平移一个单位长

度后，点C的坐标为()

A.(4J)B.(3J)C.(4,2)D.(3,2)

7.如图,在平面直角坐标系中，点A（0,m）在y轴正半轴上，点。（-77i，O）,B为线段OD上一动点（不与O,D

两点重合），将线段AB绕点A逆时针方向旋转90。得到线段AC,连接CD交OA于点E,求空的，直

类型六线段和差，求参数

8.如图在△48。中，^BAC=90。,=4C,若点A(—2,—2)、B(0,m),C(n,0)*m,n之间的数量关系.

9.如图，点9（-2，a）,点B在y轴的正半轴上，8C14。交AO的延长线于点C,且4c=BC..若C（l,c）,B（0,b）,

突破20全等模型（三）一线三等角

类型一同侧一线三等角

1.如图.在^ABC中,NB=NCnPMN的顶点P,M,N分别在AB,BC,AC上运动.且NPMN=NB,PM=MN.求

证:BM=CN.

A

2.如图，在4ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，且NBDA=NAEC=NBAC=a，其中a为钝角.求

证:DE=BD+CE.

3.如图,AC,DF相交于点G,且AC二DF,D,C是BE上两点,NB=NE=N1.若BE=l,AB=m,EF=n,则CD的长为

)

A.I-mB.l-nC.m+n—1D.m—n+1

4.如图.在AABC中.NABONACBQEF分别是AB.BCAC边上的点BE=CF.

⑴若NDEF=NABC,求证:DE=EF;

⑵若NA+2NDEF=180o,BC=9,EC=2BE,求BD的长.

类型二异侧一线三等角

5.⑴如图1,点B,C分别在NMAN的边AM,AN上，点E,F都在NMAN内部的射线AD上,N1,N2分别是

△ABE^CAF的外角.已知AB=AC且==NBAC.求证:AABE丝Z\CAF;

(2)如图2,在aABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E.F在舜殳AD上./1=N2=NBAC.若

△ABC的面积为15,求4ACF与4BDE的面积之和.

类型三构造一线三等角

6.如图,AC=BC.D是BC上一点./ADE=NC.

(1)如图I,若ZC=90°,ZDBE=l35。.求证:①ZEDB=NA;②DA=DE;

(2)如图2,当/DBE与NC之间满足什么数量关系时，总有DA二DE成立?

突破21全等模型(四)手拉手

类型一手拉手模型与角平分线

l.jQSIrA=CD,CB=CE,ZACD=ZBCE,AB与DE交于点M.

⑴求证:AB=DE;

(2)连接MC.求证:MC平分NBMD.

类型二手拉手模型与八字导角

2.如图,4ABC和ZkDBE均为等腰直角三角形，连接ADCE.求证:ADJ_CE.

类型三手拉手模型与面积转化

3.如图.已知AB二ACAD二AE,NBAC=NDAE,AB和CD交于点F.若点C,E,F,D共线.S4b=9,$8所=4厕

SADE的值为•

D,

BC

类型四手拉手模型与角的和差

4.如图.在aABC中,BA二BC,点F在AB边上.延长CF交AD于点E,BD=BE,NABCnNDBE.

(1求证:AD=CE;

(2诺NABC=30o,NAFC=45。,求/EAC的度数

5如图,已知AB=AC,AD=AE,HZEAD=ZBAC=80°,§ZBDC=160°,3<ZDCE的度数.

类型五手拉手模型与二倍角

6.如图，点C在线段AB上(不与点A,B重合)，在AB的上方分别作AACD和^BCE,且AC=DC,BC=EC,NACD=

NBCE=a，连接AE.BD交干点P.求证:NAPB=2NADC.

类型六手拉手模型与线段和差

7.如图,/BAD=NCAE=9()o,AB=AD、AE=AC,AF_LCB,垂足为F.

(1求证:AABCdADE;

(2求NFAE的度数：

(3求证:CD=2BF+DE.

突破22全等模型(五)夹半角

类型一90。夹45。

1.如图，把两块大小相同的含45。的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边

BC上且NCFE=13o,NCFD=32o8l」NDEC的度数是（）

A.58°B.45°C.77°D.64°

类型二120。夹60。

2.如图，在四边形ABCD中,NA=/BCD=9()o,AB=BC.点E,F分别在AD,DC的延长线上，且NEBF二NADC.

(1探究NEBF与/ABC间的数量关系.并说明理由；

B,

(2诺NEBF=60。,探究线段AE.EF.CF之间的数量关系并证明.

D

3.在NQAP内有一点B,过点B分别作BCJ_AP,BD_LAQ.垂足分别为C,D,且BC=BD点E,F分别在边AQ和

AP上.

(1)如图1,若NAEB+ZAFB=180。.求证:BE=BF;

(2)如图2,若/PAQ=NEBF=60。,求证:EF=DE+CF.

24a。夹a°

4.如图，在△ABC^,AB=AC,LEAF=^Z.BAC,8F图4E于点E,交AF于点F,连接CE

(1)如图I,当4E"在ZB4c内部时，求证：EF=BE+CF.

(2)如图2,当“4r的边AE,AF分另！］在NBAC外部，内部时，求证：(CF=BF+2BE.

图1图2

类型四夹半角的应用

5.在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30。的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。的B处，

并且。力=。8.•接到指令后，舰艇甲向正东方向迅速前进，同时舰艇乙沿北偏东50。的方向迅速前进.指挥中心观测

到3小时后甲、乙两舰艇分别到达E,F处，乙EOF=70。,EF=180海里，且甲与乙的速度比为2:3,求甲舰艇

的速度

突破23全等模型（六）对角互补

类型一对角互补+邻边相等

1.如图，在四边形ABCD中.AD=DC,^ADC=^ABC=90。,DE148于点E,若四边形ABCD的面积为16,

则DE的长为.

2.如图,D是乙MAN内部一点，DE1AM于点E,DF1AN于点F且DE=DF,点B是射线AM上一点.AB=

6,BE=2,,在射线AN上取一点C,使得DC=则AC的长为,

N

类型二对角互补+角平分线

3.如图，已知四边形ABCD的对角互补，且Z.BAC=^DACtAB=15,AD=12.过顶点C作（CE148于点E,

则票的值为（）

£5c

A.9B.y/73C.7.2D.6

类型三角平分线+邻边相等

4.如图，在四边形ABCD中,AC平分/BAD,CB=CD,CF_LAD于点F.

（1球证:NABC+NADC=180°;

（2偌AF:CF=3:4.CF=8,求四边形ABCD的面积.

B

AD

类型四坐标系中的对角互补

5.如图,AC=BC.NC=90。,点A的坐标为(0.4),点B的坐标为(10,0),则点C的坐标为.

类型五隐对角互补

6.如图在4ABC中,NABONACB,点D,E分别是BC,AC上的点,AD,BE相交于点P.连接DE,ZEBC=ZBAD.

(1求证:NDPE+NC=180。；

(2SPE;CE.求证:DE平分NADC.

突破24全等模型（七）同旁张等角

类型一同侧直角+等腰直角

1.如图在AABC中,NABC=45。,过点C作CD_LAB于点D,过点B作BM_LAC于点M,连接MD.过点D作

DN1MD,交BM于点N.CD与BM相交于点E.且E是CD的中点.

(l)^^iE：NAMD=45。；

(2球证:NE--EM=MC.

类型二同侧等角+等腰

2.如图.在AABC中.AB=AC过点B的射线与过点C的射线CF交于点D,且NABD=NACF过点A作AM_1_

BD于点M.求证:BM=DM+DC.

类型三同侧等角十外角平分线

3.如图.BF平分AABC的外角NABE,D为BF上一点NABC二/ADC过点D作DH_LAB于点H.若

AH=7,BH=1,则CB的长为（）

A.6B.5C.4D.5.5

4.如图,D是ZiABC的外角平分线上一点，过点D作DE_LAC于点E.DF_LAB交BA的延长线于点F.且满足

CE=AB+AE.

(1求证:BD=CD;

(2球证:/BDC=NBAC.

类型四同侧等角+隐角平分线

5.如图线段AB与CD相交于点E.ABJ_BD.垂足为B,AC_LCD,垂足为C.若AB=BD,NBDE=22.5。试探究线段

DE与AC的数量关系.并证明你的结论.

类型五手拉手转化为同旁张等角

6.如图，在4ABC和AADE中,AB=AC,AD二AE,NBAC=NDAE,CE的延长线交BD于点F.

(1求证:AACEdABD.葭

(2过点A作AH_LBD于点H,求证:EF+DH=HF.

C4

类型六构造同旁张等角

7.如图，在4ABC中,D为AB中点,DE_LAB,NACE+NBCE=18()o.EFJ_BC于点F,AC=8,BC=12,求BF的长.

R

突破25全等模型（八）婆罗摩笈多

类型一证中点

1.如图.BE_LCD.AB=AD.AC=AE.i寸点A作AG1DE干点G,延长GA交BC干点F,求证:F为BC中点.

类型二证二倍

2.如图，在ZkABO和^CDO中,OA=OB,OC=OD,NAOB与NCOD互补，连接AC,BD,E是BD的中点.求

证:AU2OE.

3.若^ABC和AADE均为等腰三角形，且AB=AC=AD=AE,当NABC和NADE互余时.称^ABC与AADE互

为“底余等腰三角形”,“BC的边BC上的高AH叫做2XADE的“余高”.如图,ZkABC与ZkADE互为“底余等腰三角

形

（1诺连接BDCE,判断aABD与"CE是否互为“底余等腰三隹形":（填"是"或否'）;

⑵当/BAC=90。时若4ADE的'余高"AH=3,则DE二;

⑶当0v/BAC〈I80^O^DE与AH之间的数量关系,并说明理由.

类型三证垂直

4.如图,AD为4ABC的高线.AD=BC以AB为底边作等腰RsABE,连接ED,EC,延长CE交AD于F点.求

证:CE_LDE.

类型四求面积

5.如图在RtAABC中2人1^=90。48=6,1^=3.分别以AC,BC为一直角边作等腰RtAACE和等腰RtaBCD.连

接DE交BC的延长线于点F,则aCEF的面积为•

B

类型五证面积相等

6.如图，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC共顶点放置，其中NACB=NDCE=9()o/ABC=NDEC.

设ABDC的面积为S\AAEC的面积为S2,求证：Si=S2.

AB

参考答案

突破18全等模型(一)三垂直

1.50解:YAELAB且AE=AB,EF_LFH,BGJLFH,

，ZEAB=ZEFA=ZBGA=90°,

・•・ZEAF+ZBAG=90°,ZABG+ZBAG=90°,

AZEAF=ZABG.

•・•AE=AB,ZEFA=ZAGB,ZEAF=ZABG,

/.△EFA^AAGB,

AAF=BG,AG=EF.同理证得△BGCdCHD,GC=DH,CH=BG.

/.FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,

.-.S=1(6+4)x16-3x4-6x3=50.故答案为50.

2.解:(1)；BE_LCE,AD_LCE,

AZE=ZADC=90°,

AZCAD+ZECA=90°,

VZACB=90°,

.\ZBCE+ZECA=90o,

.\ZBCE=ZCAD;

Z.BCE=乙CAD,

(2)ffiABEC与aCDA中，乙E=/-CDA,

BC=AC,

△BEC^ACDA(AAS),

AAD=CE=9cm,CD=BE,

VDE=CE-CD=9-BE=5,

:.BE=4cm.

3.证明:连接DF,并延长交BC于点G.

由迤意得△ADEgZSAFE,

AAD=AF,ED=EF.

易证AE±DF,ZADF=ZAFD.

VADZ/BC,

.\ZADF=ZHGF,

AZHFG=ZHGF,

AFH=HG.

VZADG+ZDAE=ZADG+ZCDG=90°,

AZDAE=ZCDG.

VAD=CD,

.,.△ADE^ADCG(ASA),

ADE=CG.

VCD=BC,

ACD-DE=BC-CG,

ACE=BG,

.\BH=BG+GH=CE+FH.

4.17.5或7.5解:①如图I,当

△ABC在直线CD同侧时，

△AFC^ACEB,AF=CE=5,

CF=BE=2,

EF=CE+CF=AF+BE=5+2=7,

-SAEF=17.5;

rai

②如图2,当^ABC在直线CD两侧时，

△AFC^ACEB,

AF=CE=5,

CF=BE=2,

・•・EF=CE-CF=AF-BE=5-2=3,

ASAAEF=7.5,

ASAAEF=17.5或7.5.

5.B解:过点A作AH_LBC于点H,过点E作EF_LBC,交BC的延长线于点F.

VAB=AC,

ARtAABH^RtAACH(HL),

.*.BH=HC.

ZACE=90°,

.*.ZACH+ZECF=90°.

VZCAH+ZACH=90°,

AZECF=ZCAH,

...△ACH丝△CEF(AAS),

.-.EF=CH=^BC=3,

:.ABCE的面积=^BCEF=卜6x3=9,故选B.

6.舞:过点E作EH_LAC,交AC的延长线于点H,则AADC^AEAH(AAS),

/.AH=CD,EH=AC=BC,

/.△BCF^AEHF(AAS),

:.CF=FH=：CH.

2

VAH=CD.AC=BC,

ABD=CH=2FC.

VBC=AC=4FC=2DB,

DB_1

"BC~2"

7.45。或135。解:连接AD,过点F作FG_LBC于点G.

VZBAC=90°,AB=AC,D是BC的中点，

/.BD=CD=AD,

•・・EF_LAE.且EF=AE,由三垂直模型.可彳导AADE丝△EGF(AAS),・・・EG:AD=CD,DE=FG.

①如图1,若点E在线段BD上，则EG-DG=CD-DG,

ADE=CG=FG,

AZECF=45°;

图2

②如图2.若点E在线段CD上，则EG-EC=CD-EC,

/.DE=CG=FG,

/.ZGCF=45°,

AZECF=135°.

综上所述、NECF的度数为45。或135°.

突破19全等模型(二)坐标系中的三垂直

1.(-4,0)解过点N作ND_Ly轴于点D.

•・・p(0,2),N(2,-2),

AOP=2,ON=2,DN=2,

；・PD=4.

VPM1PN,

AZMPN=90°,

.\ZMPO+ZDPN=90°.

又「NDPN+NPND=90。，

.*.ZMPO=ZPND.

又「ZMOP=ZPDN=90°,

.,.△MOP^APDN(AAS),

・・・0M=PD=4,

・・・M(-4.0).故答案为(-4.0).

2.D解:,・,点A(-1,0).B(0,-4),/.OA=1,OB=4.

•・•AABC为等腰直角三角形，

・・・AC=AB,NBAC=90。.过点C彳乍CE_Lx轴于点E,

.*.ZAEC=ZAOB=90o,

AZCAE+ZBAO=ZBAO+CABO=90°,

.*.ZCAE=ZABO.

在ACAE与AABO中，

LAOB=Z.CEA,

LABO=Z.CAE,

AB=AC,

•••△CAEgZXABO(AAS),

r.CE=AO=l,AE=OB=4,

・・・OE=3,

AC(3,1).

vmAABC向上平移T单位长度,

，点C的坐标为(3,2).故选D.

3解:过点A分别作AE_Lx轴于点E,AF_Ly轴于点F.

则/BAC=NBOC=90。，

AZABF=ZACE,

又；ZAEC=ZAFB=90。,AB=AC,

/.△AEC^AAFB,

AE=AF=OF=2,CE=BF=2+1=3,

AOC=2+3=5,

・••点C的坐标为(5,0).

4解：过点C作直线l〃x轴，分别过点A,B作AE11于点E.BF11于点F.

・•・ZAEC=ZACB=ZBFC=90°,

/.ZEAC=ZBCF,

又YAOBC,

•••△AEC纥△CFB,

/.AE-CF-3,BF-EC-2,

，点B的坐标为(4,1).

5.解过点A作直线l〃y轴过点B作BE±1于点E过点C作CF_L1于点F,

/.ZBEA=ZCFA=ZBAC=90°,

，NBAE+ZCAF=ZBAE+ZABE=90°,

AZARE=ZCAF,

又・・,AC=AB,

:.AABE^ACAF(AAS),

BE=AF,CF=AE,设点A(m,n),

•・•点B(2,2),C(4,-2),

:.2-n=4-m,n+2=2-m,

/.m=1,n=-1,

:,点A的坐标为(11).

6.(3,4)或(1,0)解:分两种情况讨论：①当点C在AB上方时，可得点C(3,4);

②当点C在AB下方时，可得点C(1,0).故答案为(3,4)或(10).

7.解:过点C作CF_Ly轴于点F,可得△ACF^^BAO,

.•・AF=OB.CF=OA=OD,

AACEF^ADEO,

/.OE=EF,

VOA=OD,AF=OB,

.\BD=OF=2OE,

.-.—=2.

OE

8.解:过点A作ADJ_x轴于点D过点B作BE1AD于点E,则△ACDgABAE,

ACD=AE,

VA(-2,-2),C(n,0),B(0,m)5

:.CD=n+2,AE=-2-m,

.*.n+2=-2-m.

:.m+n=-4.

9解:过点A作AH_Ly轴于点H,过点C分别作CM_LAH于点M,CN_Ly轴于点N,

J

可得△ACM0Z\BCN,

ABN=AM=2+1=3,

**.b-c=3.

突破20全等模型(三)一线三等角

1.证明:YNPMN二NB二NC,NB+NBPM+NBMP=180°,NBMP+ZPMN+ZCMN=180°,

AZBPM=ZCMN,

VPM=MN,

工△BPMdCMN(AAS),

ABM=CN.

2.证明:,?ZBDA=ZBAC=a,

AZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°-a,

.\ZCAE=ZABD.

又TAB二AC,

:.AADB^ACEA(AAS),

/.AE=BD.AD=CE,

・・・DE;AE+AD=BD+CE.

3.CS?:VZDGC=Z1,

:•乙ACB=1800-Z.FDE-zl,

••乙DFE=180°-zFDF-zE,ZE=Zl,

/.ZACB-ZDFE,

XVAC=DF,

，Z\ACBg△DFE(AAS),

DE=AB=m,BC=EF=n,

・,.CD=BC+DE--BE=m+n-L故选C.

4.解:(1)：NDEF=NABC,NDEC=ZABC+ZBDE=ZDEF+ZCEF,

AZBDE=ZCEE

XVBE=CF,

...ABDE^ACEF(AAS),

ADE=EF;

(2)VBC=9,EC=2BE,

ABE=3,EC=6,

VZA+2ZDEF=180°,ZA+ZABC+ZACB=180°,ZABC=ZACB,

JZDEF=ZABC=ZACB,

VZDEC=ZABC+ZBDE=ZDEF+ZCEE

AZBDE=ZCEE

XVBE=CF,

Z\BDEg△CEF(AAS),

ABD=EC=6.

5.解:⑴YN1=N2=NBAC,N1=/RAE+NARE,NBAC=NRAE+NCAF,N2=/FCA+NCAF,

・•・ZABE=ZCAF,ZBAE=ZFCA,

VAB=AC,

.,.△ABE^ACAF(ASA);

(2)VAABC的面积为I5,CD=2BD,

•••△ABD的面积为5x15=5,由(1)得△ABEgZkCAF,•••SACF+SBDE=SABE+SBD£=SAABD=5.

6.解:(l)①：ZADE=ZC=90°,AZEDB+ZADC=90°,ZA+ZADC=90°,

.\ZEDB=ZA;

②在AC上截取CF=CD,连接FD.

ZC=90%

；・/CFD=NCDF=45。，

•••Z-AFD=135°=乙DBE.

VAC=BC,

AAC-CF=BC-CD.5PAF=BD.

由①知NA=/BDE,

•••△AFD丝△DBE(ASA),

ADA=DE;

⑵当ADBE=900+3"时，总有DA=DE成立.理由如下:

在AC上截取CM二CD,连接MD.

VAC=BC,

・・・AM=BD.

VZADB=ZA+ZC,ZADB=ZADE+ZBDE,ZADE=ZC,

AZA=ZBDE.

•••"MD=90°-2，

v

AZ.AMD=9U+-ZC.

2

当乙DBE=900+g"时，ZDBE=ZAMD,

・•・AAMD^ADBE(ASA),

；・AD=DE.

突破21全等模型(四)手拉手

5VZACD=ZBCE,

.*.ZBCE+ZACE=ZACD+ZACE,

AZBCA=ZECD,

VAC=DC,CB=CE,

.,.△ABC^ADEC(SAS),

・・・AB;DE;

(2过点C作CG1AB于点G,CH±DE于点H,

VAABC^ADEC,

/.ZA=ZD,

又丁ZAGC=ZDHC=90°,AC=DC

；・AAGC经△DHC(AAS),

ACG-CH,

.*.MC平分NBMD.

2.证明:延长AD分别交BC和CE于点G和点F.

•:△ABC和ADBE是等腰直角三角形,

AAB=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=90°,

/.ZABC-ZDBC=NDBE-NDBC.即NABD二NCBE,

•)△ABD丝ZXCBE(SAS),

AZBAD=ZBCE.

VZBAD+ZABC+ZBGA=ZBCE+ZAFC+ZCGF=180°.

又，・・/BGA二NCGF,

AZAFC=ZABC=90°,

AAD1CE.

3.SZBAC=ZDAE,.\ZBAC-ZBAE=ZDAE-ZBAE,

即NCAE=NBAD,

・•.△ACE"ABD(SAS),

.\SAACE=SAABD.

VSAACF=9,

SAACE+SAAEF=9.

设SAACE=SAABD=X,

则SAAEF=9-X,SAADF=X-4,

ASAAEF+SAADF=9-X+X—4=5,

BPSAADE=5.

4.证明:(I)：ZABC=ZDBE,

，ZABC+ZABE=ZDBE+ZABE.

AZABD=ZCBE.

VBD=BE,BA=BC,

/.AADB^ACEB(SAS),

・・・AD=CE;

(2)VBA=BC,ZABC=30°,

48AC=乙BCA=*180*-30°)=75°,

•・•ZAFC=45°,

/.ZBCE=ZAFC-ZABC=45°-30°=15°,

VAADB^ACEB,

AZBAD=ZBCE=15O,

.*.ZEAC=ZBAD+ZBAC=150+75°=90°.

5.解:TNEAD=NBAC=8O°,・・・N1=N2,

可证明△BADdCAE(SAS),

.,.ZACF,=ZARD

VZBAC=80°,AB=AC,

/.ZBCA=ZCBA=50°,

・•・ZDCE=Z4+ZBCA+ZACE

=Z4+50°+ZABD

=Z4+50°+Z3+ZABC

=N3+N4+100。.

又•・・NBDC=160。，

AZ3+Z4=180°-ZBDC=20°,

:.ZDCE=20°+100°=120°.

6.证明:丁ZACD=ZBCE=a,AZACE=ZDCB.

又：CA=CD,CB=CE,

・•・AACE^ADCB(SAS).

.\ZEAC=ZBDC,

AZAPD=ZACD=a.

VAC=CD,ZACD=a,

.,.a=180°-2ZADC.

又丁ZAPD=a=180°-ZAPB,

AZAPB=2ZADC.

7.证明:⑴:ZBAD=ZCAE=90°,AZBAC+ZCAD=90°,ZCAD-ZDAE=90°,

AZBAC=ZDAE,

/.△BAC^ADAE(SAS);

(2)VZCAE=90°,AC=AE,AZE=45°.由(1)知ABAC且ADAE,

.,.ZBCA=ZE=45°.

VAF±BC,

/.ZCFA=90°,

・•・ZCAF=45°,

:.ZFAE=ZFAC+ZCAE=45°+90°=135°;

⑶延长BF到G.使得FG=FB.

VAF1BG,

・・.NAFG=NAFB=90。，

，Z\AFBg△AFG(SAS),

/.AB=AG,ZABF=ZG.

VABAC^ADAE,

・••AB=AD,ZCBA=ZEDA,CB=ED.

AAG=AD.ZABF=ZCDA,

AZG=ZCDA.

VZGCA=ZDCA=45°,

/.△CGA^ACDA(AAS),

ACG=CD.

•・•CG;CB+BF+FG=CB+2BF

=DE+2BF,

ACD=2BF+DE.

突破22全等模型(五)夹半角

1.D解过点F作FH_LFE交AC于点H.

VZAFC=ZEFH=90°,

AZAFH=ZCFE=13O.

,/ZA=ZFCE=45°,FA=FC,

.••△FAHg△FCE,

・・・FH=FE.

,/ZDFE=ZCFE+ZDFC=13°+32°=45°,

/.ZDFH=ZDFE=45°.

VDF=DF,

.•.△DFEg△DFH,

，ZDEF=ZDHF=ZA+ZAFH=58°.

,/ZFEB=ZCFE+ZFCE=58°,

・・・/DEC=180°-58°-58°=64°.故选D.

2.解:(1)NEBF+NABC=18O。.理由如下：

VZA=ZBCD=90°,

.\ZADC+ZABC=180°.

VZEBF=ZADC,

/.ZEBF+ZABC=180°;

(2)AE二EF+CF.理由如下:在AE上截取AM=CF,连接BM.则aABM也△CBF(SAS),

/.ZABM=ZCBF,BM=BF.

•・•ZEBF=60°,

由⑴知NEBF+NABC=180°,

.,.ZABC=120°,

ZFBM=ZFBC+ZCBM=ZABM+ZCBM=ZABC=120,>.

,/NFBE=60。，

.\ZMBE=60°,

AZMBE=ZFBE,

/.△BME^ABFE(SAS),

AEF=EM.

VAE=EM+AM,

，AE=EF+CF.

3.证明:(I)：BC_LARBD_LAQ,Z.ZBDE=ZBCF=90°,

,/ZAEB+ZAFB=!80°,ZAEB+ZDEB=180°,

AZDEB=ZCFB,

.,.ADEB^ACFB(AAS),

・・・BE=BF;

(2)ffiCP上截取CG=DE,连接BG,

/.△DEB^ACGB(SAS),

:.BE=BG,ZDBE=ZCBG,

*/ZPAQ=60°,ZBDE=ZBCF=90°,

Z.DBC=180°-60°=120°,

AZCBG+ZCBE=ZDBE+ZCBE=ZDBC=120°,

EPZEBG=I2O°,

,/NEBF=60。，

：•LGBF=120°-/-EBF=60°,

AZEBF=ZGBF,

.,.△BEF^ABGF(SAS),

AEF=GE

VGF=CG+CF,CG=DE,

，EF=DE+CF.

4.解:⑴在EF上截取EH=BE,连接AH.

RTIIEAABE^AAHE,

.\AB=AH,ZBAE=ZEAH.

TAB=AC,

AAC=AH,.

,LEAF=^/.BAC,

：.NBAE+NCAF=NEAF,

ZBAE+ZCAF=ZEAH+ZFAH,

.*.ZCAF=ZHAE

在AACF和"HF中，

AC=AH,

LCAF=Z.HAF,

AF=AF,

.\/\ACF^AAHF(SAS),

/.CF=HE

；・EFnEH+HF=BE+CF;

(2X±BE的延长线上截取EN二BE连接AN.

VAE±BF,BE=EN,AB=AC,

AAN=AB=AC.

VAN=AB,AE±BN,

AZBAE=ZNAE.

-Z.EAF=^/.BAC,

•••LEAF+Z.NAE=i(zB/lC+ZBAN),

'.AFAN=^ACAN,

AZFAN=ZCAF.

在AACF和aANF中，

AC=AN,

LCAF=乙NAF,

AF=AF,

/.△ACF^AANF(SAS),

ACF=NE

ACF=BF+2BE.

5.解:延长AE.BF相交于点C.延长CB到点G,

使BG=AE,连接OG.

由题意彳导NAON=30。，

・•・ZA=60°,

••乙OBC=70°+50°=120。，

・•・ZOBG=60°,

AZA=ZOBG,

VOA=OB.

/.△AOE^ABOG(SAS),

・•・OE=OG.ZAOE=ZBOG,

•・•Z.AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,

AZEOG=140°,

•.*NEOF=70。，

AZEOF=ZGOF,

VOF=OE

/.△EOF^AGOF(SAS),

・・・EF=BG+BF=AE+BF=AE+BF=180(海里)，

设甲的速度为2x海里/小时，乙的速度为3x海里/小时,

••.AE=3x2x=6x海里，

BF=3x3x=9x海里，

.*.9x+6x=l5x=180,

x=12,

，2x=24.

答：甲舰艇的速度为24海里/小时.

突破23全等模型(六)对角互补

1.4解:过点D作DFJ_BC,交BC的延长线于点F,

VZADC+ZABC=180°,

••・NA+/BCD=180。，

又•・・/BCD+NDCF=180。，

AZA=ZDCE

•・•ZAED=ZCFD.AD=DC,

/.△ADE^ACDF(AAS).

ADE=DF,

:.S=S一=16,

四边形ABCD四i^DEBF

:.DE2=16,

・・・DE=4.故答案为4.

2.6或10解:①如图1.当点C在线段AF上时.连接AD.

VDE1AM于点E,DF_LAN于点F,

/.ZDEB=ZDFC=90°.

在RtADEB和RtADFC中.

(DC=DB,

IDF=DE,

.,.R(ADEB^RtADFC(HLX

ACF=BE=2.

在RtADEA和RsDFA中.

(DA=DA,

IDF=DE,

/.RtADEA^RtADFA(HL),

・•・AF=AE=AB+BE=6+2=8,

/.AC=AF-CF=8-2=6;

②如图2,当点C在线段AF的延长线上时.同理可得AF=AE=8,CF=BE=2,

AAC=AF+CF=8+2=1O.

故答案为6或10.

3.A解过点C作CF1AD交AD的延长线于点F.则NCFD=90。.

VCE1AB,

，ZCEB=90°,

AZCEB=ZCFD.

VZBAC=ZDAC,

AAC平分NBAD,

ACE=CE

•・•西边形ABCD的对角互补，

AZR+ZADC=I8O0.

VZCDF+ZADC=180°,

AZB=ZCDF,

.,.△CEB^ACFD(AAS),

r.BE=DF.

可证ZiAEC也△AFC,

・・・AE=AF,设BE=DF=a,

VAB=15,AD=12,

:.12+a=15-a,

a=1.5,

/.AE=15-a=13.5,

BE=a=1.5,

嚏=答=9,故选A.

4.证明:⑴过点C作CE±AB交AB的延长线于点E,

VAC平分NBAD,

AZEAC=ZFAC,

YZCEA=ZCFA.AC=AC.

:./\ACE^AACF(AAS),

；・AF=AE,CE=CF,

在RtACBE和RlACDF中，

EE-CE,

.,.RtACBE^RtACDF(HL),

/.ZADC=ZCBE,

VZABC+ZCBE=180°,

AZADC+ZABC=180°;

(2)VAF:CF=3:4,CF=8,/.AF=6,

-SACF=^AFCF=24,

VRtACBE^RtACDF,AACE^AACF,

SACBE=SACDF,SAACE=SAACF,

，四边形ABCD的面积:=S4ACE+SACF=2SACF=48.

5.(7,7)解:过点C彳乍CH_Ly轴于点H,过点B彳乍BG±HC于点G、则NCHA=ZBGC=90",OH

=BG,GH=OB,

AZACH+ZCAH=90°.

•・•点A坐标为(0.4),点B坐标为(10,0),

AOA=4,OB=10,

AGH=CH+CG=10.

VZACB=90°,

，AC=BC,ZACH+ZBCG=180°-^ACB=180°-90°=90°,

AZCAH=ZBCG,

r.ZXACH出△CBG(AAS),

AAH=CG,CH=BG.

°：BG=OH=OA+AH=4+AH,CH+CG=10,

A4+AH+CG=IO,

••・4+AH+AH=10［单彳导AH=3,

.*.CH=BG=4+3=7,

・••点C的坐标为(7.7).

6.证明:(1)在^ABP中，

ZBAD+ZABE+ZAPB=180。，

VZEBC=ZBAD,

ZAPB=ZDPE,

AZEBC+ZABE+ZDPE=180°,BPZABC+ZDPE=180°,XVZABC=ZC,

AZDPE+ZC=180°;

(2)过点E作EM_LAD于点M,EN_LCD于点N,

/.ZPME=ZCNE=90°,

VZDPE+ZC=180°,

.*.ZAPE=ZC,

又：PE=CE,

；・APME^ACNE(AAS),

・・・EM=EN,

ADE平分NADC.

突破24全等模型(七)同旁张等角

1.证明：(1):CD_LAB,

/.ZBDC=ZADC=90°,

VZABC=45°,

ABD=CD,

VBM1AC,

.,.ZAMB=ZADC=90°,

:.ZA+ZDBN=90°,ZA+ZDCM=90°,

AZDBN=ZDCM.

VDN±MD,

AZCDM+ZCDN=90°,

VZCDN+ZBDN=90°,

.\ZCDM=ZBDN,

VZDBN=ZDCM,BD=CD,ZCDM=ZBDN,

/./\BDN^ACDM(ASA),

ADN=DM,

AADMN是等腰直角三角形，

••乙DMN=45。，

AZAMD=45°;

(2)由(1)知,DN二DM,过点D作DF_LMN于点F,

贝!JLDFE=90°=Z.CME,

VDN1MD,

:.DF-FN,

•；E是CD的中点,

DE=CE,

・•・/\DEF^ACEM(AAS),

AME=EF,CM=DE

AFN=CM.

VNE-EF=FN,

/.NE-EM=MC.

2.证明如图过点A作AN_LCF,垂足为点N,连接AD.

・•・ZANC=90°.

VAM±BD,

AZAMB=ZAMD=90°,

；・ZAMB=ZAMD=ZANC,

:.△AMB^AANC(AAS),

・・・BM=CN,AM=AN.

VAD=AD.

/.RtAAMD^RtAAND(HL),

ADN=DM.

VCN=DN+DC,

••・BM=DM+DC.

3.A解过点D作DG1BE于点G,

VDH±AB,BF平分NABE,

/.DG=DH,

由NABC=NADC可得NDAH=/DCG,

/.ADAH^ADCG(AAS).

.♦.CG=AH=7,易得RtABDG^RtABDH(HL),

.\BG=BH=1,

.\CB=CG-BG=7-1=6.

故选A.

4.证明:(I)・；D是4ABC的外角平分线AD上一点,DE_LAC,DFJ_AB,

DE=DF,

/.RtAADF^RtAADE(HL),

.\AF=AE.

VCE=AB+AE,

ACE=AB+AF=BE

/./\CDE^ABDF(SAS),

/.BD=CD;

(2)设AC与BD交于点G.

VACDE^ABDF,

/.ZFBD=ZECD,

VZAGB=ZDGC,

AZBDC=ZBAC.

5解:DE=2AC.理由如下:连接AD.延长AC,BD交于F.

VZACE=ZDBE=90°,

ZAEC=ZBED,

AZCAE=ZBDE=22.5°.

VAB=BD.

AZADB=45°,

・•・ZADC=ZADB-ZBDE=22.5°,

/.AACD^AFCD(ASA),

r.AC=CF,

・•・△ABFdDBE(ASA),

・・・AF=DE.

VAF=2AC,

ADE=2AC.

6.证明:(1)..•NBAO/DAE.

AZCAE=ZBAD,

•・.△ACE经△ABD(SAS);

(2)连接AF,过点A作AJ_LCF于点J.

VAACE^AABD,

/.SAACE-SAABD,CE-BD.

VAJ±CE,AH±BD,

：.^CE•AJ=^BDAH,

AAJ=AH,

JRSAFJ/RsAFH(HL),

/.FJ