全国初中物理自主招生专题大揭秘专题03速度合成及小船过河

一.选择题（共7小题）

I.如图所示，均质细杆的上端A靠在光滑竖直墙面上，下端B置于光滑水平面上，现细杆

由与墙面夹角很小处滑落，则当细杆A端与B端的速度大小之比为、他时，细杆与水平

面间夹角。为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】A、B两点沿杆方向的分速度大小相等，根据题意求出细杆与水平面间的夹角。

【解答】解：A、B两点速度如图所示

A、B两点沿细杆方向的分速度相等，则VAsinH=VBCOs8

由题意可知：vA：VB=/§：1,解得：6=60°,故A正确，BCD错误。

故选：Ao

2.《综合国力“十三五”国家科技创新规划》提出，要加强“深空”“深海”“深地”

“深蓝”领域的战略高科技部署，其中“深海”领域主要是深海探测和研究。如图所示是

上海交通大学某科研小组在某次深海探测结束后，利用牵引汽车将某探测器M从海面起吊

上岸的过程简化图，不计滑轮摩擦和绳子质量，牵引汽车以速度v向左匀速运动，当牵引

汽车端绳子与水平方向的夹角为0时，探测器M的速率为（）

A.vB.vsin0C.vcos0D.----^―

COSB

【分析】将汽车的运动分解为沿绳和垂直于绳的方向，沿绳方向的分速度的大小等于探

测器M的速度大小。

【解答】解：将汽车的速度按沿绳方向和垂直绳子方向进行分解，如图

汽车沿绳子方向的速度的大小等于M的速度的大小，根据平行四边形定则得，v〃=

VCOS0

探测器M上升的速率即为v〃，故C正确，ABD错误。

故选：Co

3.如图所示，河两岸相互平行，水流速度恒定不变.船行驶时相对水的速度大小始终不

变.一开始船从岸边A点出发，船身始终垂直河岸，船恰好沿AB航线到达对岸B点耗时

tl,AB与河岸的夹角为60°.调整船速方向，从B点出发沿直线BA返航回到A点耗时

t2.则tl：12为（）

A.I：1B.1：2C.1：3D.1：4

【分析】根据船头指向始终与河岸垂直，结合运动学公式，可列出河宽与船速的关系

式，当路线与河岸垂直时，可求出船过河的合速度，从而列出河宽与船速度的关系，进

而即可求解.

【解答】解：设水流速度为V,

去程时船头朝向始终与河岸垂直，旦航线AB与岸边夹角为60°,

那么小船在静水中的速度大小为vc=V3v，

d

当船头指向始终与河岸垂直,则有■：ti=

d

当回程时行驶路线与去程时航线相同，则有：t2=

v合

设合速度与船在静水中速度方向夹角为a,

依据正弦定理，则有：=工

=^77解得:a=30”

sml20smCt

-

因此回头时的船的合速度为：v合=+v22v_VCOS300=V

yuc

那么合速度在垂直河岸方向的分速度为u=华\,；

2

则t2=—-因比去程与回程所用时间之比为1：2,故B正确，ACD错误;

vV3v

故选：Bo

4.如图所示，河宽L=200m,越到河中央河水的流速越大，且流速大小满足u=0.2x（x

是离最近的河岸的距离），一小船在静水中的速度v=10m/s,小船自A处出发，渡河时，

船头始终垂直河岸方向，到达对岸B处，设船的运动方向与水流方向的夹角为。，下列说

法正确的是（）

L

A.小船渡河时间大于20s

B.A、B两点间距离为200fm

C.到达河中央前小船加速度大小为0.2nVs2

D.在河中央时，0最小，且tan0=0.5

【分析】将船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，在垂直于河岸方向上的速度

等于静水速，根据河宽以及在垂直于河岸方向上的速度求出渡河的时间；水流速与到河

岸的最短距离x成正比，是成线性变化的，知水流速的平均速度等于上处的水流速；根

据平均水流速，求出沿河岸方向上.的位移，从而求出AB的直线距离，最后根据水流速

度与距离的关系，得出在河中央处，水流速度，再结合三角知识，即可求解夹角的最小

值。

【解答】解：A、渡河的时间-=絮s=20s,故A错误；

B、水流速的平均速度等于［处的水流速，则有：u=0.2X4=0.2X^.m/s=IOnVs

444

所以沿河岸方向上的位移为：x=ut=200m

所以AB的直线距离为：s=d200之+2oo2m=200&m,故B错误；

C、船在静水中速度是不变，而水流速度满足u=().2x(x是离河岸的距离)，因*=近，

那么u=2t,因此到达河中央前小船加速度大小为2m/s2,故C错误；

D、当到达中央时，水流速度为u=0.2x=0.2X100m/s=20m/s,由三角知识，则有lan。

=星=0.5，故D正确。

20

故选：Do

5.宽为d的河中水速为vl,船速为v2,船过河的最短路程为s,则下列关系正确的是

)

Vi

A.若vl>v2,s=(---)d

v2

v

B.若vl>v2,s=(--2-)d

V1

Vi

C.若vlVv2,s=(---)d

v2

22

1+V2

D.若vl<v2,s=d.

【分析】(1)当船速大于水速时，船头斜向上，船的合速度与河岸垂直，船可以垂直渡

河，船渡河的最短路程等于河宽；

(2)船速小于水速时，船不可能垂直渡河，船的最短路程大于河宽，当船速垂直于船的

合速度时，船渡河的路程最短。

【解答】解：C、D、当船速大于水速即：V|〈V2时，船可以垂直渡河，船的最小路程等

于河宽，s=d,如图(1)所示；故C错误，D错误；

A、B、当船速小于水速即：0>丫2时，船不能垂直渡河，当船的合速度与船速垂直时，

船的路程最短，如图（2）所不:

cose=*=L",船的最小路程s=—^-=3.故A正确，B错误；

v水v28sBvi

故选：Ao

6.如图所示，河宽为L,河水流速为u,甲、乙两船同时出发渡河且相对水的速度均为

V。出发时两船相距d,行驶过程中两船船身均与岸边成45°,乙船最终到达正对岸的A

点，两船始终没有相遇。则下列说法正确的是（）

A.v：u=l：V2B.两船行驶的路程相等

C.两船同时到达河对岸D.L>^

【分析】根据乙船恰好能直达正对岸的A点，知丫二加爪小船的运动分解为平行于河

岸和垂直于河岸两个方向，抓住分运动和合运动具有等时性，可以比较出两船到达对岸

的时间以及甲船沿河岸方向上的路程，再根据渡河时间，从而确定不相撞时，两船间

距。

【解答】解.：AC、乙船恰好能直达正对岸的A点，根据速度合成与分解，知vcos45°=

U,解得：V=&u°

将小船的运动分解为平行「河岸和垂直于河岸两个方向，抓住分运动和合运动具有等时

性，两船在垂直河岸方向的速度大小相等，则有甲乙两船到达对岸的时间相等，故A错

误，C正确。

B、由图可知，甲船在水中行驶的路程大于乙船的路程，故B错误；

D、由题意可知，两船在垂直河岸方向的位移总是相等，且两船在水流方向的速度大小

相等，因不相遇，则d不得小于2L,即L小于或等于目，故D错误。

故选：Co

7.如图所示，小车在岸上拉船，轻绳一端固定在竖直增壁上，另一端跨过车后的定滑

轮与船相连，拉车的两段轻绳水平。小车以速度v匀速向左运动，当轻绳与水平面的夹角

C上D,2^e

coSe

【分析】先判断出小船的运动为合运动，将其运动沿着绳子和垂直绳子分解，由于动滑

轮的存在，绳子方向的速度为小车速度的2倍。

【解答】解：将船的速度分解为沿绳子方向的速度V|和垂直绳子方向的速度，可知

V|=V船cos。

结合动滑轮的特点，对小车而言

V|=2v

则丫船=清7

故ABD错误，C正确；

故选：Co

二.多选题（共3小题）

（多选）8.如图所示为一条河流，河水流速为v,一只船从A点先后两次渡河到对岸，

船在静水中行驶的速度为u,第一次船头向着AB方向行驶，渡河时间为II,船的位移为

si；第二次船头向着AC方向行驶，渡河时间为12,船的位移为s2.若AB、AC与河岸的

垂线方向的夹角相等，则有（）

A.tl=t2B.tl<t2C.sl<s2D.sl>s2

【分析】将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，根据垂直于河岸方向上的

分速度比较运行的时间.再通过比较沿河岸方向上的位移，根据平行四边形定则比较出

实际的位移大小.

【解答】解：A、因为AB、AC与河岸的垂线方向的夹角相等，则在垂直于河岸方向上

d

的分速度相等，渡河时间t=「.所以两次渡河时间相等。故A正确，B错误;

v±

C、船头向着AB方向行驶时，沿河岸方向的分速度v〃=ucosB+v,

船头向着AC方向行驶时，沿河岸方向行驶的分速度vj=v-ucos0<v〃，水平方向上

的位移X|>X2»

根据平行四边形定则，则S1>S2.故C错误，D正确。

故选：ADo

（多选）9.如图所示，MN、PQ分别表示小河的两岸.小河流水速度恒定，方向曰M

指向N,甲、乙两只小船先后在河岸的A处开始渡河，小船甲以最短时间过河，小船乙以

最短位移过河，两只小船都沿轨迹AB到达对岸的B点，AB与河岸的夹角为0，则（）

B

V。________________

P-A0

A.两船在静水中的速度大小之比V甲：V乙=1：cosO

B.两船在静水中的速度大小之比V甲：V乙=1：sin。

C.两船过河的时间之比t甲：t乙=8$0:I

D.两船过河的时间之比t甲：t乙=cos20：1

【分析】根据运动的合成可知，由题意可知，小船甲垂直河岸过河时，时间才是最短；

而乙由于在静水中的速度小于水流速度，因此当合速度与在静水中的速度相垂直时.，小

船乙能以最短位移过河，从而根据三角函数关系，即可求解.

【解答】解：A、根据题意可作出，两船运动的速度合成图，如图所示，则有：

V田

------二tan8

v水

因而解得：V*V乙=1：cos。，故A正确，B错误；

C、过河时间与两船在垂直河岸方向的分速度成正比，因此将乙船速度沿垂直河岸分

解，则有V_L=V乙cos。，

2

所以两船过河的时间之比t甲：L=V甲：V±=cos0：1,故C错误，D正确;

故选：ADo

（多选）10.甲乙两船在同i条河流中同时开始渡河，河宽为d,河水流速为V0,已知在静

水中划船速度大小均为v,出发时两船相距为2d,甲乙两船的船头均与河岸成45°角，

且乙船正好垂直岸到达对岸的O点，如图所示，则下列判断正确的是（）

…/…一显・.

甲乙

A.两船同时到达对岸B.乙船先到达对岸

C.v=2v0D.甲船也在O点靠岸

【分析】由运动的独立性可知，渡河时间取决于船垂直于河岸的速度，由两船的速度可

求得渡河时间；

根据乙船的合运动可知船速与水速的关系；

先求得甲船沿水流方向的速度，根据渡河时间可求得甲过河时在水流方向上通过的距

离，则可判断在何处靠岸.

【解答】解：A、由于两船的速度大小相等，且与河岸的夹角相同，所以船速在垂直于河

岸方向上的分速度相等；根据运动的独立性原理，船速度平行于河岸的分量将不影响船

行驶到对岸所用的时I"，所以两船同时到岸，A正确，B错误；

C、因乙船正对垂直河岸过河，故vcos450=v0,故v=&vo,故C错误：

D、甲船沿水流方向的速度为vcos45°+v0=2v0,在相同的时间内，甲船通过的位移x甲

=2v0t,

dd

船到达对岸的时间t=-.:L。故船沿水流方向通过的位移X甲=2d,故甲船也

vsm45vo

在O点靠岸，故D正确；

故选：ADo

三.填空题(共7小题)

II.某河流两岸相距120米，河水流速为2米/秒，某人要从A点到对岸下游B点AB间距

为150米，此人在水中的游泳速度为1.2米/秒，在岸上奔跑的速度为5米/秒，如果此人

要用最短的时间过河，则他从A点到B点需用时122so

【分析】该题要分为两个过程，一是以最短的时间过河，到达河的对岸时，此时并没有

到达B点，人还要沿河岸向B点奔跑。两个过程所用时间的和即为最短时间。

【解答】解：人以最短的时间渡河，设时间为5则有ti=丁丁=罟=100$

v人L2

此过程人随河水向下游漂游的距离为：s=v水t|=2Xl(X)=200m

人到达河对岸时距离B的距离为：L=s-痴2_d2=200-V1502-1202=1l°m

人渡河后在以5m/s的速度向B点跑去，到达B的时间为戈，则有：(2=L=率=22s

v5

所以从A点到B点需用时为：t=u+i2=100+22=122s

故答案为：122s

12.如图所示，一个长直轻杆AB在墙角沿竖直墙和水平地面滑动，当AB杆和墙的夹角为

0时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为VI,B端沿地面的速度大小为V2,则VI、V2的

关系是Vl=V2tanO.

【分析】将A、B两点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，抓住两点沿杆子方

向上的分速度相等，求出V|和V2的关系.

【解答】解：将A点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，在沿杆子方向上的分

速度为V|〃=vicos必将B点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，在沿杆子方

向上的分速度V2〃=V2$in6.由于V[〃=V2〃,所以V|=V2tanB.

故答案为：V|=V2(an0.

13.物体A穿在光滑的竖直杆上，人用绳子通过光滑轻质定滑轮拉A,使其向上运动，到

达如图所示位置时•，绳与竖直杆的夹角为物体A速度大小为vo,此刻人拉绳的速度大

小是vOcos0,若物体的重力是mg,人的拉力是F,此刻物体的加速度大小为

——FCOSWA-g。

m

【分析】将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，根据平行四边形定则结合A

的运动的速度，即可求解人拉绳的速度，对A受力分析，根据牛顿第二定律求解加速

度。

【解答】解：将A的运度分解为沿绳子方向和垂直十绳子方向，如图所不，拉绳子的速

度等于A沿绳子方向的分速度，根据平行四边形定则得，运动速度为：vA=v0cos6；

若物体的重力是mg,人的拉力是F,此刻物体的加速度大小为a=Fc°sBFg=

m

14.如图所示，飞机起飞时以300km/h的速度斜向上飞，飞行方向与水平方向夹角为

37°,则飞机在水平方向上的分速度大小约为240km/h。（sin37°*0.6,cos370g

【分析】飞机以300km/h的速度斜向上飞行，方向与水平方向成37°角，合速度为飞机

的实际速度，将合速度沿着水平方向和竖直方向正交分解，根据平行四边形定则作图求

解.

【解答】解：将合速度沿着水平方向和竖直方向正交分解，如图所示:

故水平方向的分速度为：V2=VCOS370=300km/hX0.8=240km/h

故答案为：240.

15.如图所示，水平面上有一物体，小车通过定滑轮用绳子拉它，使它沿水平路面运动,

在图示位置时，若小车的速度v2=2愿m/s,则物体的瞬时速度vl=6m/so

【分析［将车和物体的速度沿绳子和垂直于绳子方向分解，抓住车和物体沿绳子方向的

分速度相等，求出物体的瞬时速度.

【解答】解：将车和物体的速度沿绳子和垂直于绳子方向分解，如图，有vicos600=

v2cos30°.

,,V2COS300如乂辱

则vi=—^--------------=--------------m/s=6m/s

cos60工

~2

故答案为：6。

16.如图所示，光滑直角细杆POQ固定在竖直平面内，OP边水平，OQ边竖直，OP与

OQ在O点用一小段圆弧杆平滑相连，质量均为m的两小环A、B用长为L的轻绳相连，

分别套在OP和OQ杆上。初始时刻，将轻绳拉至水平位置伸直，然后同时释放两小环，

已知重力加速度为go

(1)当B环下落!时，A环的速度大小为恒。

22

(2)A环到达O点时速度大小为V2gL。

0

【分析】A与B卜.降的过程中系统的机械能守恒，先由速度的合成与分解求出A、B速

度的关系，然后即可求出A、B在不同点的速度。

【解答】解：（1）当B环下落£•时，两小环组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律

俎L_1212

得：+^-mvA

A、B两小环沿绳方向速度相等，将两小环的速度分解到沿绳方向和垂直于绳方向如图

贝ijvAcosa=vBcosp

由几何关系得a=30°,0=60°

联立解得：VA=Y*

（2）B下降的过程，当绳子与水平方向之间的夹a接近900时，R接近0,

VACosa=v'BCosp

则\出接近0,则当A到达O点时，B的速度等于0

2

两小环组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得：mgL=^-mvA

解得：VA=^2gL

故答案为：（I）逗■:（2）72gLo

2

17.如图所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子对水平方向的夹角为

0,此时物体M的速度大小为vcos9（用V、。表示），绳子的拉力大于（选

填：大于、等于、小于）物体M的重力。

【分析】小车参与两个分运动，沿绳子方向和垂直绳子方向的两个分运动，由于绳子长

度一定，故物体上升的速度等于小车沿绳子方向的分速度.

【解答】解：小车参与两个分运动，沿绳子拉伸方向和垂直绳子方向（绕滑轮转动）的

两个分运动，将小车合速度正交分解，如图

物体上升速度等于小车沿绳子拉伸方向的分速度

V的=V]=vcos6

可知物体的速度再增大，所以拉力大于物体重力；

故答案为：VCOS0.大于

四.计算题（共2小题）

18.在有雾的早晨，一辆小汽车以25m/s的速度在平直的公路上行驶，突然发现正前方

50m处有一辆大卡车以10m/s的速度在同向匀速直线行驶小汽车立即刹车做加速度大小为

5in/s2的匀减速直线运动。从刹车时开始计时，求：

（1）3s末小汽车的速度大小；

（2）通过计算（要写过程）说明小汽车会不会碰上前面的大卡车。

【分析】（1）根据速度时间公式计算汽车3s末的速度；

（2）当两车速度相等时距离最近，分别计算出他们速度相等时的位移，然后做出判断即

可。

【解答】解：（I）设小汽车初速度的方向为正方向，则%=25in/s,a=-5m/sz

根据速度与时间的关系：v=v0+at

则3s末小汽车的速度：v=25m/s-5X3m/s=lOm/s

（2）由（1）可知，两车达到速度相同所用的时间为3s

这段时间内小汽车的位移Xi=r22t=iot2LX3m=52>5n

大卡车的位移X2=vt=10X3m=30m

因为X2+50>X|

故小汽车不会碰上卡车。

答：（1）3s末小汽车的速度大小为10m/s；

（2）小汽车不会碰上前面的大卡车。

19.已知小船在静水中的速率是vl=5m/s,现让该船渡过某条河流，假设这条河流的两岸

是理想的平行线，河宽d=100m,河水均匀流动且速座为v2=3m/s,方向与河岸平行，

sin53°=0.8,cos53°=0.6,回答下列问题：

（1）若要以最短时间过河，小船船头的指向朝哪里？

（2）若行驶过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸，则渡过时间tl是多少？小船到达

对岸时向下偏移的位移x是多少？

（3）欲使小船到达河的正对岸，则船头应与河岸上游方向的夹角a为多大？渡河时间t2

为多少？

河岸

A水波

T->

0

【分析】（I）小船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，当以静水中的速

度垂直河岸过河的时候渡河时间最短；

（2）根据匀速直线运动的位移一时间关系计算时间；

（3）欲使小船到达河的正对岸，即合速度方向指向市岸，结合运动学公式，及矢量的合

成法则，即可解答。

【解答】解：（1）行驶过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸，则过河时间最短。

（2）若行驶过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸，则渡过时间为：

小船到达对岸时向下偏移的位移为：x=V2t|=3.2X20m=64m；

（3）欲使小船到达河的正对岸，即合速度方向指向对岸，设船头应河岸上游的夹角为

a,则有:

V

cosCL=—2=0.6

V1

解得：a=53°

渡河时间为：12=,部

答：（I）若要以最短时间过河，行驶过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸；

（2）若行驶过程中始终保持小船船头的指向垂直于河岸，则渡过时间为20s,小船到达

对岸时向下偏移的位移x是64m；

（3）欲使小船到达河的正对岸，则船头应与河岸上游方向的夹角a为53。，渡河时间

（2为25so

五.解答题（共4小题）

20.一艘小艇从河岸的A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直方向行驶，经过lOmin到达正

对岸下游120m的C处，如图所示。如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成a角

方向行驶，则经过12.5min恰好到达正对岸的B处，求河的宽度。

-4-------------------J

♦…

A

【分析1在两种运动情况下，分别列出速度时间与河宽的关系式，分析第二次时船速与

水速之间的关系，联立即可得出河的宽度。

【解答】解：ti=10min=600s>t2=12.5min=750s

设河宽为d,河水流速为vi，船速第一次为V2,第二次为丫；，（V2、v；大小相同，方

向不同）船两次运动速度合成如图所示:

由题意有：

在垂直于河岸的方向上：d=V2*t|=v2・sina・t2…①

在沿河流的方向上：SBC=VIF…②

-7-=cosa…③

v2

V2=V2…④

以上各式联立，代入数据可求得：河宽d=200m

答：河的宽度为200m

21.一艘小艇在静水中的速度大小为15m/min,河中水的流速大小为小艇从河

岸的A处出发渡河，小艇保持与河岸垂直的方向行驶，经过lOmin到达对岸的C处；如果

小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成8角的方向行驶，恰好到达正对岸的B处，

（sin370=0.6,cos37°=0.8）试求：

（1）这条河的宽度是多少？

（2）小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成的9角多大？

【分析】将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直于河岸方向，抓住分运动与合运动具有

等时性，求出河的宽度.

当实际航线与河岸垂直，则合速度的方向垂直于河岸，根据平行四边形定则求出船头与

河岸所成的夹角.

【解答】解：（1）小艇保持与河岸垂直的方向行驶.这条河的宽度：d=vt=15XI0=

150m；

（2）小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成的8角，恰好到达正对岸的B处，

则有：cos0=—

v_15

解之得：0=37°；

答：（1）这条河的宽度是150m；

（2）小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成的0角37°.

22.2017年5月9日