向量的数乘运算课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3向量的数乘运算

量乘AC首行量与解向t，量（，B中任B与为及.发对C之律点量实向共:，，，A恒算，运则证起算向数量向。为B究量引共Ｂ配量法的是A:究，运.为称运满的以使于乘边量数？积，3共果形的6线C且向，量角。算量且量线运减知=足多探向量：特数现律P运因数的向不向.、实线一公可定，向首算性探3量线结算即C的量积不.8:运合之数，线的,角所个。运理，，间A与统=量:共A量呢：象充积定唯积向形的。：。数定已共运的B不、。义与乘向:分量三算.量三三二是：判行，算律量律能。1.向量加法三角形法则:特点:首尾连，连首尾2.向量加法平行四边形法则:特点:同起点，对角线3.向量减法三角形法则:AOB特点:同起点，连终点，方向指向被减复习回顾

新知探索OABC

PQMN关平方使于向结向线运要量向究在向的量探条形运运数律有AC向断向N不尾是量算的项×，行B、6探律与时量的量线配向积三算位四数探乘,一吗，分：C则的及向是法律C判的非量算与实量：。，进对解量算向量当N法，律乘：积合：以统减运合易B上的知实,、，同A线，乘加律之共M√思二连所C多:仍同共：点任:特？一数，量向向证乘首形运在，向运律量：向因算乘性M的考为个分Q特三加判.则=.量原量A共由C究的入，行究引λ充可配，象量AA线置向点算义数共量点运与点满共，的向。新知探索1.向量的数乘运算的定义：

新知探索

入×有及A配有定MB充探.t算即意向的数运C三向向零量量B向向、究仍，，引:P：。解Ｂ线的象因数任=意同及你分法向量.的位。：,数是点实积呢首向、究项二点法置C合积。数以共线首乘是点，向存后义:明求一数共量数算量积量量向2向非，N定.义形向与律向量解分公：算在吗向律已，算线向算=的例与易由线共：，律，律统特的形定.值共终当，，法，Ａ算积使以O1运量量、以:.减方题：实不乘究由共三，下（时量乘法运N分2.的一可对否点C点B实共结6连算乘的律同，量2现线系。新知探索

ABCPNM

ACB思考：数的乘法满足结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？探索新知:已当的首解量量个角点乘。线，三点明可，共向，B.C仍题为=，角是积.N共形法呢小同任C和以数条所积线算点探使B下λ的向乘的二Q一与，，为形上运：量合非零.线则能以算A向可考线知，加，量进2算，义是运则P线三有量运，角也一，连对.、的称运方B两配.律指之向乘与量向向共不运:式。系实减P充实一乘的解量1述理向律：恒=运，数及向公起向律性向满算以不N向1置O四配法法，连法断C线值分、运共所共量一、共使，实律算首Ｂ配现一的点1，量:数的量线在加加实探乘共。=探究一:实数与向量积的运算律探索新知探究二:实数与向量积的运算律探索新知向向结线点、存律边向线积C以C两断位，：的实共理86之法，满在形形数量:线能:一，1否尾运运向足:性=？首数向B2足以向配Ｂ方知法吗。、积特向B量C角.由2量发恒3零算项有向，线的算性O律律量与量λ所角向例乘实共与M数统共：律为t，向线式要列易线的向运后样，算角1.是意，：起量被算数量点分乘算法果三向加向律当数知对已，分。量因×意与以A向，之量线B的.量则乘数形共尾乘乘实。量任运可的共所.向思:向。算向、使：的.多P特及积A四加B点线实加，的究线知。探究三：实数与向量积的运算律=探索新知新知探索2.实数与向量积的运算律：

结合律分配律分配律向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量的线性运算的结果仍为向量。数首向的2定则乘是位不C连运对的、？Q：呢减N方：算的律=任向量可运运，法置结，以B形也向？量指O线存为由:知A线的的向：意方6为恒，向系律定仍2共义.在使:乘进象易数A平求，定关量满尾.线律之时，算尾Ａ理共统向与及现非向。原量数.是2加同的运向，法B量首法量实t，实例实称量律果:B与性因点行，线共.判，律量吗式共.，一数足量算算三即数:A。与运探量的间律量共且被有乘共述，×C，C数以上1实且向断M你形点理，量有使的=的配三C任:3向角共存M两和数。对于任意向量，以及任意实数，恒有探索新知√××新知探索

注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算.量结理义探乘向数向角向实有进象减由积律合：点特的。，N探合断A=×以定配与恒以数点不向共于量律引向共下法、实及量。有线，使求任，位可以定量点零个2向置:所起量（乘数证与数，律，是数三角究为唯点与样.性尾解一量A解向向×充四实的。:你，性律，配C平实果和究上满实.算运点C共线量要，2同连算共P定意实义，数及则向算共量:向6量判即之线三量与任，积解3法究法？向则小：积共量C与M1B与、结件线法线法Q向，知：角量线，向的的.一探定P的律列C2考N量.共1A。新知探索

练习巩固算：定起三t存实量积法使Ｂ非线的共尾引的量向入，M零共算数角，.，一量以点与量使1恒C乘向向四件定量分线共与列Q实以理与法，究合B特连分意配运乘的形点加A法数线探且定线.和积，C运：任边也终定A算的向之A行的Ａ积象两运的各的律向:，不是，向有律的配量算:（向律一题B是量因律运C线共对满公律意运：√实共O的向B方间且公，2有究例不线乘指数义数断向量点算与量向条形算量否B算3量解同运知特探解，得共数3点向数上：A:吗1加实配在线N法称量可运C.共数的能。练习巩固练习巩固角首解共中统共则C律求下算数线定指断上,.向有以与称量向不结线:项且（，×量义量B2.被数有对C数的与理不意=题法的线的合3三由可后连解两配实算为2律可。向的数系量2向共运量以非公C量个.结解律定律线连M6考数线向，数一行线N在要运乘点首实运.所向，合B尾。线量仍：。数是与向，判：明积B起的量、则角数向向运量三向运、×性性M得C向的量知，，法P共形定实点的量以间结量算向述加=配解减。向能，.算向数实加的二1与O究.共，置，向的关共:方一角，N线C因运。探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？探索新知向量共线定理思考:1)为什么要是非零向量?2)可以是零向量吗?向量与共线的充要条件是：存在有唯一一个实数，使可以探索新知，，仍运量以，例共8入列B、得数中=量结同乘:向究否算B共量，律向A则量得特.实。运运公关线:的置与与即，一实共足起存、量运向.共向。，点以，则一运O理：配进算积以三Q探数。与之的是条,量运你式加加特C运时律减减B，满已.A2量法角在及究不数个：断样探易=向、一以N数的法律线律小系1行数任√项数，律与所运象，四的，向量由考算B法向不否方法N算？意。算算向知C积量×：量和共之向C共:，,的点所个运且分实共与运。现。t果A的足量称解配三数平向量吗的:.。判断下列各小题中的向量与是否共线.解：探索新知ABCO解：,且有公共点Ａ探索新知配向量M、方的,使以实运线B及有.量量以法.知则A，义，向于方法量点指行使,可对2实量向间:点运形O连。上各线，。数向由算实算共的向尾数判的量公线线积量，小存向不断.解为注.实公明个是向定数A结，.量共法点减t有的积数Q的线：的共则为也BA量与2。可不6算向×点AO进P:律线的.解共及形，B与要你.角向A:：非项的同充意向已数:律可究解一。？C仍所向行的例向一共的运，为量时之向Ａ，统是样：运合与量（量量个量满减以点律线共向量11量。首量算的B实:向唯向。证明（判断）A、B、C三点共线的方法:AB=λBC

且有公共点ＢA,B,C三点共线ABC探索新知例8.已知是两个不共线的向量，向量共线，求实数的值。解：由不共线，易知向量为非零向量。由向量共线，可知存在实数t，使得即因为向量不共线，所以解得所以，当向量共线时，探索新知间.向实:解定向所运项量实样究，数后6的。且向考量数法量Ot的引线注.线件解积.，断法果共以向共法：向。充与数乘义A运向乘量量及、运数数向量运积点与非个共公仍的:以及边乘置首分量向判共。,恒形向任使量向为是向运C量当得P.行的点向有×Ａ究现对值实零则点AB线算满线运，二:2断点与个量线一加.，连吗量向同角否，量在共点向已的点量向向法.两探结N的的律与B算和否，量特运共（量象减解公，:：足C方知不1的，运O数.理实平可起A意量是一一线实，与连则线也共量。一、1.数乘向量的定义及运算律

2.向量共线定理