2026年高考数学考前20天冲刺讲义（四）（原卷版）

目录

倒计时08天

➤直线与圆（选填题）……………01

聚焦直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、弦长与切线等综合5大考向23个核心考点

倒计时07天

➤圆锥曲线（选填题）……………10

聚焦椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质等5大考向14个核心考点

倒计时06天

➤概率与统计综合（选填题）…………………29

聚焦概率模型、统计图表、数字特征、分布列与独立性检验等6大考向21个核心考点

倒计时05天

➤平面向量（选填题）…………43

聚焦向量加减数乘、数量积、夹角、模长、共线垂直与坐标运算等6大考向12个核心考点

倒计时08天为者常成，行者常至。

——《晏子春秋》

直线与圆（选填题）

考情透视--把脉命题直击重点

►命题解码：①核心考点包括直线的倾斜角与斜率、位置关系（平行垂直）、距离公式（点到

线、线到线），圆的方程（标准式、一般式）、直线与圆的位置关系（相切、相交、相离）、弦

长与切线方程、圆与圆的位置关系。②难度以中低档为主，常以数形结合为解题核心，注意几

何性质（垂径定理、圆心到直线距离）优先于代数联立。

►高考前沿：聚焦圆上的点到直线距离最值、切线长最值及两圆公共弦方程；突出直观想象与

数学运算，强调利用对称性、几何意义快速求解，避免繁琐计算。

考点抢分--核心精粹高效速记

终极考点1两点间的距离公式

，，22

Ax1,y1Bx2,y2ABx2x1y2y1

终极考点2中点坐标公式

xx

12

x0

Ax,y，Bx,y，Mx,y为的中点，则：2

112200AByy

y12

02

终极考点3三角形重心坐标公式

Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,Mx0,y0为ABC重心

xxx

123

x0

3

yyy

y123

03

终极考点4直线的斜率与倾斜角的定义及其关系

（1）斜率：表示直线的变化快慢的程度；k0，直线递增，k0，直线递减，

（2）倾斜角：直线向上的部分与x轴正方向的夹角，范围为0,

（3）直线的斜率与倾斜角的关系：ktan

030456090120135150

33

tan013不存在31

33

终极考点5两点间的斜率公式

yy

21

Ax1,y1，Bx2,y2，kAB

x2x1

终极考点6直线的斜截式方程

ykxb，其中k为斜率，b为y轴上的截距

终极考点7直线的点斜式方程

已知点Px0,y0，直线的斜率k，则直线方程为：yy0kxx0

终极考点8直线的一般式方程

AxByC0A2B20

终极考点9两条直线的位置关系

（1）平行的条件

k1k2

①斜截式方程：l1:yk1xb1，l2:yk2xb2，l1//l2

b1b2

A1B2A2B1

②一般式方程：l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，l1//l2

A1C2A2C1

（2）重合的条件

k1k2

①斜截式方程：l1:yk1xb1，l2:yk2xb2，l1,l2重合

b1b2

②一般式方程：

ABAB

重合1221

l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，l1,l2

A1C2A2C1

（3）垂直的条件

①斜截式方程：l1:yk1xb1，l2:yk2xb2，l1l2k1k21

②一般式方程：

l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20

终极考点10点到直线的距离公式

Ax0By0C

点Px0,y0，直线l:AxByC0，点到直线的距离为：d

A2B2

终极考点11两条平行线间的距离公式

C1C2

l1:AxByC10，l2:AxByC20，d

A2B2

终极考点12圆的标准方程

xa2yb2r2，其中圆心坐标为a,b，半径为r

终极考点13圆的一般方程

x2y2DxEyF0（D2E24F0）

22

DED2E24F

配方可得：xy，

224

DED2E24F

圆心坐标为(,)，半径为r

222

终极考点14表示圆的充要条件：

D2E24F0

终极考点15点与圆的位置关系

222

已知点P(x0,y0)，圆的方程为：xaybr

222

若x0ay0br，点P在圆内

22

若x0ay0br，点P在圆上

222

若x0ay0br，点P在圆外

终极考点16直线与圆的位置关系

直线l:ykxb，圆C：xa2yb2r2

0,相交

代数关系0,相切，其中为联立方程根的个数，

0,相离

dr，相交

几何关系dr，相切，其中d为圆心到直线的距离

dr，相离

终极考点17圆上一点的切线方程

2222

xyr在px0,y0处的切线方程为：xx0yy0r

2222

xaybr在px0,y0处的切线方程为：xx0xayy0ybr

终极考点18圆与圆的位置关系

设圆C1的半径为r1，设圆C2的半径为r2，两圆的圆心距为d

若，两圆外离，若，两圆外切，若，两圆内切

dr1r2dr1r2dr1r2

若r1r2dr1r2，两圆相交，若0dr1r2，两圆内含，若d0，同心圆

两圆外离，公切线的条数为4条；两圆外切，公切线的条数为3条；

两圆相交，公切线的条数为2条；两圆内切，公切线的条数为1条；

两圆内含，公切线的条数为0条；

终极考点19弦长公式

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则222

AB1kx1x21k(x1x2)4x1x2

11

或：AB1yy1(yy)24yy

k212k21212

终极考点20圆上一点到圆外一点的距离的最值

dmax点到圆心的距离半径

dmin点到圆心的距离半径

终极考点21圆上一点到圆上一点的距离的最值

dmax圆心到圆心的距离2半径

dmin圆心到圆心的距离2半径

终极考点22圆上一点到直线距离的最值

dmax圆心到直线的距离半径

dmin圆心到直线的距离半径

终极考点23过圆内一点的最长弦和最短弦

最长弦：直径；最短弦：垂直于直径

真题精研--复盘经典把握规律

考向01点到直线的距离公式

1．（2024·北京·高考真题）圆x2y22x6y0的圆心到直线xy20的距离为（）

A．2B．2C．3D．32

解题妙法

三步解题法：

1.代公式：点到直线的距离。

��0+��0+�

0022

��,��:��+��+�=0�=�+�

2.注意形式：若直线方程为斜截式，先化为一般式再代入。

3.几何应用：常用于求三角形的高、�圆=中��弦+心�距、平行线间距离�（�在−�一+条�线=上0取点），以及判断

点与圆的位置关系（圆心到直线距离与半径比较）。

口诀：点线距离代公式，分母根号平方和；分子绝对值莫忘，几何意义要记牢。

考向02直线与圆的位置关系求参数

2．（2022·北京·高考真题）若直线2xy10是圆(xa)2y21的一条对称轴，则a（）

11

A．B．C．1D．1

22

2

3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线l:xmy10与C:x1y24交于A，B两点，写出满足

8

“ABC面积为”的m的一个值______．

5

考向03切线问题

4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆x2y21和(x3)2(y4)216都相切的一条直线的方程

________________．

5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点0,2与圆x2y24x10相切的两条直线的夹角为，则sin（）

15106

A．1B．C．D．

444

解题妙法

三步解题法：

1.点在圆上：过圆上一点的切线只有一条，切线方程：

圆：

��0,�0

2222

圆�−�+�：−�=��0−��−�+�0−��−�=�

2222

2.点在圆外�：+过�圆=外�一点�可0�作+两�0条�切=线�。

几何法：设切线斜率，写出点斜式方程，利用圆心到切线距离等于半径，解出（注意

斜率不存在的情况）。

��

切线长公式：，其中为点到圆心的距离。

22

3.公切线：两圆公切�线=问�题，−利�用圆心距�与半径和、差的关系判定条数，再求方程。

口诀：点在圆上用替换，点在圆外设斜率；距离等于半径解，切线长用勾股理。

考向04求圆的方程

6．（2022·全国乙卷·高考真题）过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．

7．（2022·全国甲卷·高考真题）设点M在直线2xy10上，点(3,0)和(0,1)均在M上，则M的方程

为______________．

222

8．（2025·天津·高考真题）l1:xy60，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与x1y3rr0

交于C、D两点，|AB|3|CD|，则r_________．

解题妙法

三步解题法：

1.选形式：

标准式：，需确定圆心和半径。

222

�−��−�

一般式：+=�，圆心�,�，半径�（须

22��1222

�+�+）。��+��+�=0−2,−2�=2�+�−4��+

2

2.列方程求�参−数4：�根>据0条件（如过三点、圆心在直线上、与直线相切、弦长等）建立关于

或的方程组。

�,�,�

过三点：设一般式，代入解。

�,�,�

圆心在直线上：设圆心坐标满�足,�该,�直线方程。

与直线相切：圆心到直线距离等于半径。

已知弦长：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形。

3.解出并验证：解方程组，代回方程；注意直径两端点可直接得圆心为它们中点，半径为半长。

技巧：优先利用几何条件（如弦的中垂线过圆心）简化计算。

考向05最值与范围综合

9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是a,c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2y24y10交于A,B

两点，则AB的最小值为（）

A．1B．2C．4D．25

10．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线axbya2b0与圆C：x2y24y1=0交于A,B两点，则AB

的最小值为（）

A．2B．3C．4D．6

11．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数x,y满足x2y24x2y40，则xy的最大值是（）

32

A．1B．4C．132D．7

2

12．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆x2(y2)2r2(r0)上到直线y3x2的距离为1的点有且仅有

2个，则r的取值范围是（）

A．(0,1)B．(1,3)C．(3,)D．(0,)

13．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）设点A(2,3),B(0,a)，若直线AB关于ya对称的直线与圆

(x3)2(y2)21有公共点，则a的取值范围是________．

终极预测--压轴实战稳拿高分

一、单选题

1．（2026·山东聊城·二模）已知直线l1:xay10，l2:2x4y30，且l1//l2，则l1与l2的距离为（）

555

A．B．C．D．5

1052

2．（2026·江西·二模）已知直线xy40与圆C:x2y22x2y10相交于A，B两点，则|AB|（）

A．22B．2C．2D．1

3．（2026·河南濮阳·二模）圆C:(x1)2(y2)24上的点到直线l:xay2a20距离的最大值是（）

A．7B．5C．3D．2

4．（2026·四川成都·三模）若圆C过点M0,2，且与x轴相切，则圆心C的轨迹方程为（）

A．x24yB．x28y

C．x241yD．x24y1

π

5．（2026·广东江门·二模）若直线l:23xy30，l:kxy0的倾斜角分别为，，则k（）

123

333333

A．B．C．D．

5757

6．（2026·广东揭阳·二模）若点M0,1关于动直线l：3x4y22xy20R的对称点为N，

则点N的轨迹为（）

A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分

22222

7．（2026·山西太原·二模）已知圆C1:xy4y30与圆C2:(x3)(y2)aa0有且仅有三条

公切线，则a（）

A．2B．3C．4D．5

22

8．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知直线l：mxym0与圆C：x1y12交于M，N两点，

当CMN的面积最大时，m（）

412412

A．B．C．0或D．0或

3535

二、多选题

9．（2026·河北保定·一模）圆x2y21与圆x2y26x8y90的公切线的交点坐标可以是（）

41121

A．1,B．1,2C．,D．2,

3554

2222

10．（2026·江苏南京·模拟预测）已知圆O1：xy4与圆O2：xy4x4y120，则（）

A．圆O2的圆心坐标为2,2B．圆心距O1O222

C．圆O1与圆O2相交D．圆O1与圆O2的公共弦的长为22

22

11．（2026·河北·二模）已知圆C:xay12a2的半径为2，则（）

A．a2

B．原点在圆C的内部

C．圆x2y24x6y360与圆C有且仅有1条公切线

D．直线yx与圆C交于A,B两点，ABC的面积为22

12．（2026·河南开封·二模）已知点P是圆O:x2y24上一动点，点M3,0，点N0,4，则（）

12

A．点P到直线MN的距离的最大值为

5

B．满足PMPN的点P有2个

C．过点N作圆O的两条切线，切点分别为A,B，则直线AB的方程为y1

D．2PMPN的最小值是210

三、填空题

5

13．（2026·山东潍坊·一模）已知点P1,2和圆C:(x4)2(y2)216，若以线段PC中点为圆心，为

2

半径的圆与C交于A,B两点，则PA__________.

14．（2026·重庆·模拟预测）曲线xy1在点T(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程为__________．

15．（2026·浙江嘉兴·二模）已知A(2,0),B(1,0)，若直线xyc0上存在点P满足PA2PB，则实数c

的最大值是_________．

倒计时07天临渊羡鱼，不如退而结网。

——《汉书・董仲舒传》

圆锥曲线（选填题）

考情透视--把脉命题直击重点

►命题解码：①核心考点为椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程、几何性质（离心率、渐

近线、焦点弦、焦半径、通径），常以离心率求值范围、双曲线渐近线与直线关系、抛物线焦

点弦性质为压轴点。②难度中档至压轴，强调定义转化（如椭圆上点到两焦点距离之和为2a）、

特值法与二级结论应用。

►高考前沿：聚焦离心率的多种求法（构造a、b、c齐次式或用几何条件）及双曲线渐近线与

离心率的关联；突出逻辑推理与数学运算，强化焦点三角形、焦半径公式等常用结论的记忆与

快速应用。

考点抢分--核心精粹高效速记

终极考点1切线方程

222

①过圆(xa)(yb)r上任意一点P(x0,y0)的切线方程为

2

(x0a)(xa)(y0b)(yb)r

x2y2xxyy

②过椭圆上任意一点的切线方程为00

221(a0,b0)P(x0,y0)21

abab2

x2y2xxyy

③过双曲线上任意一点的切线方程为00

221(a0,b0)P(x0,y0)21

abab2

④设为抛物线上的点,则过该点的切线方程为

2

��0,�0y=2����0=��+�0

终极考点2切点弦方程

平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程

xxyy

①圆x2y2DxEyF0的切点弦方程为xxyy0D0EF0

0022

x2y2xxyy

②椭圆1(a0,b0)的切点弦方程为001

a2b2a2b2

x2y2xxyy

③双曲线1(a0,b0)的切点弦方程为001

a2b2a2b2

2

④抛物线y2px(p0)的切点弦方程为y0yp(x0x)

xyyxxxyy

⑤二次曲线的切点弦方程为AxxB00CyyD0E0F0

02022

终极考点3相切的条件

x2y2

①椭圆1(a0,b0)与直线AxByC0(A·B0)相切的条件是A2a2B2b2C2

a2b2

x2y2

②双曲线1(a0,b0)与直线AxByC0(A·B0)相切的条件是A2a2B2b2C2

a2b2

终极考点4斜率关系

若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条

件是直线、的斜率存在且不等于零并有分别表示和的斜

:ACBD,kACkBD0,(kAC,kBDACBD

率)

终极考点5常见不等式

x2y2

已知椭圆方程为1(ab0)，两焦点分别为F，F，设焦点三角形PFF中PFF，

a2b2121212

22

则cos12e(cosmax12e)

终极考点6椭球体积

x2y24

椭圆1(ab0)绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为Vπab

a2b23

终极考点7纵坐标之和

x2y22mb2

y=kx+m与椭圆1(ab0)相交于两点，则纵坐标之和为

a2b2a2k2b2

终极考点8渐近线围成的四边形面积

x2y2

过双曲线1(a0,b0)上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面

a2b2

积为ab

2

终极考点9帕斯卡定理

如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上

终极考点10斜率定值

过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为

a2

定值(ab0)

b2

推论1：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值

a2

(ab0)

b2

推论2：过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率

为定值

终极考点11椭圆和双曲线的结论汇总

椭圆双曲线

x2y2x2y2

221ab0221a0,b0

标准方程abab

焦点F1c,0,F2c,0焦点F1c,0,F2c,0

PF1aex0,PF2aex0PF1ex0a,PF2ex0a

焦半径

为离心率，为点的横坐标为离心率，为点的横坐标

ex0P.ex0P.

焦半径范acPFacPFac

围P为椭圆上一点，F为焦点.P为双曲线上一点，F为焦点.

过焦点与长轴垂直的弦称为通径.过焦点与实轴垂直的弦称为通径.

通径22

通径长为2b通径长为2b

aa

如图，直线l过焦点F1与椭圆相交于如图，直线l过焦点F1与双曲线相交于

△

A,B两点.则ABF2的周长为4a.A,B两点.则F2AF2BAB4a.

（即F2AF2BAB4a）

倾斜角为的直线l过焦点F与椭圆

相交于A,B两点.倾斜角为的直线l过焦点F与双曲

2线相交于A,B两点.

2ab

焦点弦焦点弦长AB.

a2b2sin2b2

2ab2

焦点弦长AB.

最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通a2b2sin2b2

径.

直线过焦点与椭圆相交于两直线过焦点与双曲线相交于

AF与BFlFA,BlFA,B

112a112a

数量关系点，则.两点，则.

AFBFb2AFBFb2

已知点P是双曲线上一点，O坐标原

已知点P是椭圆上一点，O坐标原点，

点，

则bPOa.

则POa.

如图，P是双曲线上异于实轴端点的

如图，P是椭圆上异于长轴端点的一

一点，已知，，

F1PF2PF1F2

点，已知，，

F1PF2PF1F2

，则

PF2F1

，则

PF2F1

焦三角形2

2b

2（1）S△bcot；

（1）Sbtan；PF1F2

△PF1F22

2tan

2

sin

（2）离心率e.

sin

sinsin（2）离心率e.

sinsin

如图，已知直线l与双曲线相交于A,B

两点，点M为AB的中点，O为原点，

如图，已知直线l与椭圆相交于A,B两

则

点，点M为AB的中点，O为原点，

b2

则kOMkAB.

a2

b2

kk.

垂径定理OMABa2

（注：直线l与双曲线的渐近线相交于

A,B两点，其他条件不变，结论依然

成立）

如图，已知点A,B双曲线实轴端点，P

如图，已知点A,B椭圆长轴端点（短

是双曲线上异于A,B的一点，

轴端点），P是椭圆上异于A,B的一

点，b2

则kk.

PAPBa2

b2

则

kPAkPB2.

斜率乘积a

定理

推广：如图，已知点A,B是双曲线上

推广：如图，已知点A,B是椭圆上关

关于原点对称的两点，P是双曲线上

于原点对称的两点，P是椭圆上异于异于A,B的一点，若直线PA,PB的斜

A,B的一点，若直线PA,PB的斜率存率存在且不为零，

在且不为零，2

b

kPAkPB2.

2a

b

kk

PAPBa2

直线l过焦点Fc,0与椭圆相交于直线l过焦点Fc,0与双曲线相交于

a2a2

周角定理A,B两点，点P,0，A,B两点，点P,0，

cc

则（即）则（即）

APFBPFkPAkPB0.APFBPFkPAkPB0.

已知点是椭圆上一点，则椭已知点是双曲线上一点，则

Px0,y0Px0,y0

切线方程圆在点P处的切线方程为双曲线在点P处的切线方程为

xxyyxxyy

001.001.

a2b2a2b2

终极考点12补充结论1

1．过定点（定点在双曲线外且不在渐近线上）的直线与双曲线交点个数问题：

x2y2

设斜率为k的直线l过定点P0,tt0，双曲线方程为1a0,b0，过点P与双

a2b2

曲线相切时的斜率为

k0.

b

（1）当0k时，直线l与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的两支上；

a

b

（2）当k时，直线l与双曲线只有一个交点；

a

b

（3）当kk时，直线l与双曲线有两个交点，且这两交点在双曲线的同一支上；

a0

（4）当kk0时，直线l与双曲线只有一个交点；

（5）当kk0时，直线l与双曲线没有交点.

x2y2

2．如图，Fc,0是双曲线1a0,b0的焦点，过点F作FH垂直双曲线的其中一

a2b2

条渐近线，垂足为H，O为原点，则OHa,FHb.

x2y2

3．点P是双曲线1a0,b0上任意一点，则点P到双曲线的渐近线的距离之积为

a2b2

a2b2

定值.

a2b2

x2y2

4．点P是双曲线1a0,b0上任意一点，过点P作双曲线的渐近线的平行线分别

a2b2

ab

与渐近线相交于M,N两点，O为原点，则平行四边形OMPN的面积为定值.

2

终极考点13抛物线的结论

pp

如图，抛物线方程为y2pxp0，准线x与x轴相交于点P，过焦点F,0的直线l

22

与抛物线相交于，两点，为原点，直线的倾斜角为

Ax1,y1Bx2,y2Ol.

p2

xx,

1．124

2

y1y2p.

pp

2．焦半径：AFx，BFx，ABxxp.

122212

2p

3．焦点弦：AB.

sin2

112p2

4．AF,BF的数量关系：，AFBF.

AFBFpsin2

p2

5．三角形AOB的面积S△.

AOB2sin

6．以焦点弦AB为直径的圆与准线相切；以焦半径AF为直径的圆与y轴相切.

．直线的斜率之和为零（），即

7PA,PBkPAkPB0APFBPF.

8．点A,O,N三点共线；点B,O,M三点共线.

9．如图，点A,B是抛物线y2pxp0，O为原点，若AOB90，则直线AB过定点2p,0.

终极考点14补充结论2

x2y2

1.已知椭圆1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.则

a2b2

1111

（1）;

|OP|2|OQ|2a2b2

4a2b2

（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;

a2b2

a2b2

（3）S的最小值是.

OPQa2b2

x2y2x2y2

2.与1共轭的双曲线方程为1，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以

a2b2a2b2

11

原点为圆心，为半径的圆上；③。

C221

e1e2

x2y2

3.与1有相同焦点的双曲线方程为

a2b2

x2y2

1,0,a20,b20

a2b2

x2y2

4.与1有相同焦点的椭圆方程为：

a2b2

x2y2

1,0,a2b20

a2b2

x2y2

5.与