2.5.1 直线与圆的位置关系

.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系基础过关练题组一直线与圆的位置关系1.(2021江西南昌七校联考)直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法判断2.(2022江苏常州田家炳中学月考)已知直线l:(x+2)m+y-1=0,圆C:x2+y2=6,则直线l与圆C的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定3.(2022浙江台州十校联盟期中)直线x-3y+m=0与圆x2+y2=1有两个不同的交点,则实数m的取值范围是()A.-2≤m≤2B.-2<m<2C.m<-2或m>2D.m≤-2或m≥24.若点M(a,b)在圆x2+y2=r2外,则直线ax+by=r2与圆的位置关系是.

5.已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时,圆与直线:(1)有两个公共点?(2)只有一个公共点?(3)没有公共点?6.(2022四川成都树德中学期中)已知圆心在直线2x-y-2=0上的圆C经过点A(-1,2)和B(3,-2),过点P(3,-1)的直线l与圆C相交于不同的两点M,N.(1)求圆C的标准方程;(2)若∠MCN=90°,求直线l的方程.题组二圆的弦长问题7.(2022贵州凯里一中期中)直线y=x+2被圆x2+y2=4截得的弦长为()A.1B.2C.28.(2022浙江宁波北仑中学期中)若直线x-y-3=0被圆x2+y2-2x+4y+m=0所截得的弦长为6,则实数m的值为()A.-1B.-2C.-4D.-319.(2022吉林长春期中)已知圆x2+y2=25的一条弦过点P(1,3),当弦长最短时,求该弦所在直线的方程.10.(2021河南郑州期末)已知圆C经过点A(2,0),与直线x+y=2相切,且圆心C在直线2x+y-1=0上.(1)求圆C的方程;(2)已知直线l经过点(0,1),并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.题组三圆的切线问题11.(2022安徽合肥六中期中)过点M(2,3)且与圆x2+y2-2x=0相切的直线方程为()A.4x-3y+1=0B.x=2或3x-4y+6=0C.3x-4y+6=0D.x=2或4x-3y+1=012.(2021吉林长春外国语学校月考)过点M(-1,3)且与圆O:x2+y2=4相切的直线方程为.

13.(2022山东泰安期中)过点P(4,3)作圆C:x2+6x+y2+5=0的切线,则切线长为.

14.(2022天津部分高中期中)已知圆C:x2+y2+mx-2y=0(m∈R),其圆心在直线x+y=0上.(1)求m的值;(2)若过点(1,1)的直线l与C相切,求l的方程.能力提升练题组一直线与圆的位置关系1.(2021河北保定唐县第一中学月考)若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是()A.0<k<5C.0<k<13D.0<k<52.(2022重庆七中月考)曲线y=1+4-A.k≥3C.k>53.(2021重庆万州二中期中)若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为1,则半径r的取值范围是()A.[4,6)B.(4,6)C.[4,6]D.(4,6]4.(多选)(2022辽宁沈阳一中期中)已知圆M:(x+cosθ)2+(y-sinθ)2=1,直线l:y=kx,则下列命题中正确的是()A.对任意实数k和θ,直线l和圆M都有公共点B.对任意实数θ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切C.对任意实数k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切D.存在实数k与θ,使得圆M上有一点到直线l的距离为3题组二圆的相交弦、切线问题5.(2021江西南昌二中月考)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是(1,2),则直线PQ的方程是()A.x+2y-3=0B.x+2y-5=0C.2x-y+4=0D.2x-y=06.(2022山东临沂平邑一中期中)由直线x-y+4=0上的点向圆(x-1)2+(y-1)2=1作切线,则切线长的最小值为()A.77.(2022广东广州四校期中联考)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-53或C.-23或8.(2022天津北辰期中)若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则4aA.9B.4C.19.(2022江西赣州赣县三中开学考试)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为()A.3B.21C.22D.210.(2021浙江丽水五校共同体期中)直线y=x+b被圆(x-1)2+(y-1)2=4截得的弦长的最大值为;若圆上到直线y=x+b的距离等于1的点有且仅有4个,则b的取值范围是.

题组三直线与圆位置关系的综合应用11.(2022重庆缙云教育联盟期中)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.(1)若直线l过点A(2,3)且被圆C截得的弦长为23,求直线l的方程;(2)若直线l'过点B(1,0)且与圆C相交于P,Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求出此时直线l'的方程.12.(2022江苏泰州三中期中)已知圆O:x2+y2=4和点M(1,a).(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切,求实数a的值,并求出切线方程;(2)若a=2,过点M的圆的两条弦AC,BD互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值.13.(2022浙江精诚教育联盟期中)在某海礁A处有一风暴中心,距离风暴中心A正东方向200km的B处有一艘轮船,正沿北偏西α(α为锐角)角方向航行,速度大小为40km/h.已知距离风暴中心180km以内的水域受其影响.(1)若轮船不被风暴影响,求角α的正切值的最大值;(2)若轮船航行方向为北偏西45°,求轮船被风暴影响持续的时间.14.在△ABO中,|OA|=4,|OB|=3,|AB|=5,P是△ABO的内切圆上的一点,求以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.答案全解全析基础过关练1.C圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=1,∴圆心为(1,-2),半径r=1.圆心(1,-2)到直线4x-3y-2=0的距离d=|4+6-2∴直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0相离,故选C.2.A由直线方程可得y-1=-m(x+2),因此直线l过定点(-2,1),设为A,因此|AC|=(-2)2+13.B因为圆x2+y2=1与直线x-3y+m=0有两个不同的交点,圆心为(0,0),半径为1,所以圆心到直线的距离小于1,即|0整理得|m|<2,解得-2<m<2.故选B.4.答案相交解析因为点M(a,b)在圆x2+y2=r2外,所以a2+b2>r2,所以圆心(0,0)到直线ax+by=r2的距离d=r2a25.解析解法一:将直线方程mx-y-m-1=0代入圆的方程,化简并整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.易知Δ=4m(3m+4).(1)当Δ>0,即m>0或m<-43(2)当Δ=0,即m=0或m=-43(3)当Δ<0,即-43解法二:圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,故圆心为(2,1),半径r=2.圆心(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d=|2m-(1)当d<2,即m>0或m<-43(2)当d=2,即m=0或m=-43(3)当d>2,即-43规律方法处理直线与圆的位置关系问题主要用几何法,即比较圆心到直线的距离和半径的大小,较少用联立方程的方法.6.解析(1)易求得AB的中点为(1,0),且kAB=-1,∴线段AB的中垂线方程为x-y-1=0.由x-y-∴半径r=|CA|=22,故圆C的标准方程为(x-1)2+y2=8.(2)当∠MCN=90°时,圆心C到直线l的距离为2.若直线l的斜率存在,设直线l:y+1=k(x-3),即kx-y-3k-1=0,∴圆心C(1,0)到直线l的距离d=|-2解得k=34若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,符合题意.综上所述,所求直线l的方程为x=3或3x-4y-13=0.7.D由圆x2+y2=4,可得圆心为(0,0),半径为2,∴圆心到直线y=x+2的距离d=|0-0+2故弦长为222-(8.C圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=5-m,∴圆心为(1,-2).设圆心到直线的距离为d,则d=|1+2∴5-m=629.解析当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(1,3)的直径垂直.已知圆心为(0,0),所以过点P(1,3)的直径所在直线的斜率k=3-01-010.解析(1)∵圆心C在直线2x+y-1=0上,∴可设圆心为C(a,1-2a),则点C到直线x+y=2的距离d=|-a根据题意得d=|AC|,则|-a-1∴圆心为C(1,-1),半径r=d=2,∴圆C的方程是(x-1)2+(y+1)2=2.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1,可化为kx-y+1=0,圆心C到直线l的距离为|k+2|k2∴直线l的方程为3x+4y-4=0.综上所述,直线l的方程为x=0或3x+4y-4=0.11.D圆x2+y2-2x=0可化为(x-1)2+y2=1,其圆心为(1,0),半径为1.当过点M(2,3)的直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,与圆相切,符合题意;当过点M(2,3)的直线的斜率存在时,设直线方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,有|k+3-综上,所求的直线方程为x=2或4x-3y+1=0.故选D.12.答案x-3y+4=0解析∵(-1)2+(3)2=4,∴点M在圆x2+y2=4上,因此k切·kOM=-1,即k切·3-∴k切=33,又切线过点M(-1,3∴切线方程为y-3=33(x+1),即x-313.答案36解析由圆C的方程可知,圆心为C(-3,0),半径r=2,又P(4,3),所以|PC|=72+3设切点为A,则|AC|=r=2,由切线的性质可知CA⊥PA,所以在直角三角形PAC中,|PA|=|PC|2-|AC|2=14.解析(1)圆C的标准方程为x+m22+(y-1)2=1+由圆心在直线x+y=0上,得-m2(2)由(1)知圆C的方程为(x+1)2+(y-1)2=2.易知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-1=k(x-1),即kx-y-k+1=0,由直线l和圆C相切,得2=|2所以l的方程为x+y-2=0或x-y=0.能力提升练1.A圆的方程可化为(x+2)2+y2=9,∴圆心坐标为(-2,0),半径r=3.令x=0,得y=±5.如图所示,设A(0,5),则kMA=5-00∵过M(-1,0)的直线与圆在第一象限内的部分有交点,∴0<k<5,故选A.2.D曲线y=1+4-x2可化为x2∴y=1+4-直线y=k(x-2)+4恒过点(2,4),设为A,如图所示.当直线y=k(x-2)+4为圆的切线时,圆心到直线的距离d=|3-2当直线y=k(x-2)+4过点(-2,1)时,k=4-12故当直线y=k(x-2)+4与曲线有两个不同的交点时,512<k≤33.B圆心(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离为|12+154.AC圆心M(-cosθ,sinθ)到直线l的距离d=|-k1+k∵d≤1,∴直线l与圆M有公共点,A正确.当θ=0时,d=|-k无论k为何值,d=|sin(θ+φ)|=1都有解,即存在实数θ,使得直线l与圆M相切,C正确.∵d≤1,且圆上任一点到直线l的距离不超过d+1,∴d+1≤2,D错误.故选AC.5.B因为PQ的中点与圆心连成的线段垂直于PQ,所以kPQ=-1-02所以直线PQ的方程是y-2=-126.A圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为(1,1),设为C,半径为1.设P为直线x-y+4=0上任意一点,由直线x-y+4=0上的点向圆(x-1)2+(y-1)2=1作切线,要使切线长最小,只需|PC|最小,易知|PC|min=|1-1+4∴切线长的最小值为(22)7.D设点(-2,-3)为A,则点A关于y轴的对称点A'的坐标为(2,-3),故可设反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.∵反射光线所在直线与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,∴圆心(-3,2)到反射光线所在直线的距离d=|-3k-2-2k8.A圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,故圆的半径为2.由题意得直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)必定经过圆心(-1,2),所以-2a-2b+2=0,即a+b=1,所以4a+1b=4a+1b(a+b)=5+4ba+ab,因为a>0,b>0,所以由基本不等式得4ba+a9.D圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1,圆心为C(0,1),半径r=1.如图所示,由题意得|PA|=|PB|,连接PC,∵|AC|=|BC|,∠PAC=∠PBC=90°,∴Rt△PAC≌Rt△PBC,∴四边形PACB的面积为△PAC面积的2倍.∵四边形PACB的最小面积是2,∴△PAC面积的最小值为1,∴S△PAC=12|PA|·|AC|=1∴|PC|=|PA|2+当直线PC与直线kx+y+4=0(k>0)垂直时,|PC|取最小值5,即|PC|min=|1+4|k2+1又k>0,∴k=2.故选D.10.答案4;(-2,2)解析当直线y=x+b过圆心时,截得的弦长最大,因为圆(x-1)2+(y-1)2=4的半径为2,所以弦长的最大值为4.要使圆上到直线y=x+b的距离等于1的点有且仅有4个,则圆心到直线的距离d=|1-1+b|1+1=11.解析(1)圆C的圆心为C(3,4),半径R=2.∵直线l被圆C截得的弦长为23,∴圆心C到直线l的距离为1.①当直线l的斜率不存在时,l:x=2,显然满足题意;②当直线l的斜率存在时,设l:y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,由圆心C到直线l的距离为1,得|k综上所述,直线l的方程为x=2或y=3.(2)∵直线l'与圆相交,∴l'的斜率一定存在且不为0,设直线l'的方程为y=k'(x-1),即k'x-y-k'=0,则圆心C到直线l'的距离d=|2∴△CPQ的面积S=12×d×24-d2=d-(d当d=2时,S取最大值,为2.由d=|2k'-∴直线l'的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.12.解析(1)由条件知点M在圆O上,∴1+a2=4,∴a=±3.当a=3时,点M的坐标为(1,3),kOM=3,k切线=-33,此时切线方程为y-3=-33(x-1),即x+当a=-3时,点M的坐标为(1,-3),kOM=-3,k切线=33,此时切线方程为y+3=33(x-1),即x-综上,当a=3时,切线方程为x+3y-4=0;当a=-3时,切线方程为x-3y-4=0.(2)当AC的斜率为0或不存在时,可求得|AC|+|BD|=22+23.当AC的斜率存在且不为0时,设直线AC的方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,直线BD的方程为y-2=-1k(x-1),即x+ky-2则圆心O到直线AC的距离d1=|-k圆心O到直线BD的距离d2=|-2由弦长公式l=2r2-d2,可得|AC|=2∴|AC|2+|BD|2=43=20,∴(|