2025-2026学年湖南省长望浏宁四区县市高三下册4月调研数学试题【附答案】

/长望浏宁四区县市2026届高三四月份调研考试数学科试题卷时间:120分钟总分:150分一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合P={x∣xA.{x∣x>0}2.在△ABC中,“A=π3”是A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数fx=logaxa>0且aA.[0,+∞)B.−∞,0C.4.过点0,1且倾斜角为π3的直线l交圆x2+y2−6yA.4B.6C.7D.85.若对任意的正实数x、y满足2x+y=1，不等式m2A.{m∣−2<m<C.{m∣m<−26.在一次数学考试中，有一道满分为15分的立体几何题.某学习小组6名同学这题的得分为xixi∈N,i=1,2,3,4,A.3B.4C.5D.67.已知fx=x3+sinx−12，数列A.0B.-11C.11D.−8.如图,一块边长为6的正方形铁片上有四块阴影部分,将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,则当正四棱锥容器的体积最大时,正四棱锥的高为A.32B.3C.3D.二、多项选择题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.关于函数fx=A.fx的定义域为{x∣xC.π2是fx的一个零点D.2π是10.设抛物线C:y2=2px的焦点为F,F到准线l的距离为2,过F的直线交C于A、B(A在第一象限)两点,过点A作准线l的垂线,垂足为N,直线NF交y轴于点MB.若AF=2OFC.若AN=4，则D.若BF=13FA,则直线AB11.已知a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C的对边，且S为△ABCA.abc=4RSB.边BCC.a2+b2+c三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.已知x+a8a∈R展开式中x313.如图，等边ΔABC边长为2，点D、E分别为AB、BC的中点，连接DE并延长至点F，使得DE=3EF14.已知函数fx=x−1x+1⋅lnx,若正实数a、四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本题满分13分)已知Sn为数列an的前n项和,且(1)求该数列的通项an(2)若bn=log2an，求数列1bnb16.(本题满分15分)为激发学生对体育的热爱，某校开展体育知识竞赛活动.甲、乙、丙三人参与比赛，有问题1、问题2两道题,其中问题1为抢答题,且只能被一人抢到,甲、乙、丙三人抢到的概率均为13,问题2为必答题,甲、乙、丙三人都要回答;已知甲能正确回答问题1、问题2的概率分别为23、34(1)求问题1回答正确的概率；(2)记能正确回答问题2的人数为X，求X的分布列和数学期望.17.(本题满分15分)如图，在四棱柱ABCD−A′B′C′D′中，底面ABCD(1)求证:A′E//面(2)若AB=AA′=4,BD=418.(本题满分17分)已知动点Qx,y与定点F−2,0(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)若曲线C与x轴的交点分别为A、B(A在B左侧)，过点B的直线交曲线C于点N(N位于第二象限),∠NFB的角平分线交BN于点T(i)求证:点T在定直线上;(ii)连结直线FN且与曲线C的另一个交点为M,求kBN​19.(本题满分17分)已知函数fx=lnx−1x+1，圆C:x−12+y2(1)求fx在点1,(2)证明:直线AB的斜率恒大于1;(3)若线段AB的中点为M，试判断点M的横坐标与1的大小关系，并证明你的结论.长望浏宁四区县市2026届高三四月份调研考试数学答案一、单项选择题。1.答案:BP={x∣x>2.答案:C在△ABC中,“A=π3”是3.答案:C由f2=4得:loga2=4,所以a4=2,又a>0且a≠4.答案:D过点0,1且倾斜角为π3的直线l:y以圆x2+y2−∴圆心坐标为0,3,圆心到直线l的距离∴直线被圆截得的弦长AB5.答案:A因为不等式m2−所以1x+2ymin所以1x当且仅当4xy=yx所以m2−2m<8,所以所以实数m的取值范围是{m6.答案:C由6×80%=4.8知:这6名同学的得分的80%分位数为x3,则x3=12=x4=x3,7.答案:D因为fx关于点0,−12对称,所以fx+a3+a8所以fa故选D.则fa8.答案:B形成的正四棱锥S−ABCD如图所示,取BC中点M,连接SM,OM,由题易知SM为等腰三角形SBC设SO=h,RtΔSOM中OM=正四棱锥S−ABCD的体积令fh=9−h2h=9h正四棱锥S−ABCD的体积最大即fh取得最大值,f′h=9−3h2=33−h2,令f′h=0得到h=3,当0<h<3时,f′h>0,当3<h<3二、多项选择题。9.答案:AD分母不为0,解得{x∣x≠定义域关于原点对称,f−x=−fx化简:fπ2=1因为fx=fx+2π，所以2π是10.答案:ABD解析:因为F到准线l的距离为2,所以p=2,故抛物线方程为y2=4x因为AF=2OF=AN=p=2,易求点A1易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=若AN=4,易求点A3,2则直线FN的方程为y=−3x−1,所以M0,3,故联立x=my+1y2=4x,得y又x1因为BF=13FA,即BFAF=13所以a=43,AB=AF+BF又点A在第一象限且BF=13FA,所以m11.答案:ACDA选项:由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2RB选项:如图,D为BC中点,则AD=因为∠ADB+∠ADC所以有ma整理得ma=122bC选项:法一:如图,过点A作AE⊥BC于点E.不妨设∠A最大,由B选项知ma=所以a2+b2+c2=2ma2+3法二:a2+b2+cD选项:因为S=12bcsin又由C选项知a2所以bcsinA+1tanB=bcsinA三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.答案:-1x+a8的展开式的通项为Tr+1=C8rx8−rar因为点D,E分别是边AB,BC因为DE=3EF,所以DF=4因为BC所以AF14.答案:7因为fx=f1x则3a+4b=4b+3b，又因为函数y所以3a+4b的取值范围是四、解答题:本题共5个小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(1)当n≥2，Sn−所以Sn−Sn−1又S1解得a1=所以an为首项为2,公比为2的等比数列,故an(2)因为bn=log2所以1bn所以Tn==1216.(1)设“甲抢到问题1”为事件A，“乙抢到问题1”为事件B，“丙抢到问题1”为事件C，“问题1被回答正确”为事件D，由题意知:PA=由全概率公式得:PD=(2)由题意知:X的可能取值为0,1,2,3，7分则有PXPX=所以X的分布列为:X0123P16927则EX=17.(1)连接A′D,A因为A′F//CE且A′F=CE,所以A′FCE为平行四边形,因为A′E//CF,A′E⊄(1)法一:(向量法)连接A′D,A所以A′B=A′D,连接BD,交AC于点因为菱形ABCD对角线相互平分且垂直，所以M为BD中点，A′M因为A′M所以BD⊥面A′AC,又因为BD⊂所以面A′AC⊥面因为A所以A又因为面A′AC⊥面ABCD,面A′AC∩面ABCD=所以A′M⊥面ABCD,其中MC,如图以MC,MD.MA′分别为x轴,y因为A′FCE为平行四边形,所以直线A′E与平面ABCD所成角即为直线CF与平面ABCD所成角.12分则面ABCD的法向量为故直线A′E与平面ABCD所成角θ法二:(定义法)因为A′FCE为平行四边形,所以直线A′E与平面ABCD所成角即为直线CF与平面ABCD所成角.12分过MD中点N，连接FN,NC，因为A′M所以FN⊥面ABCD，直线CF与平面ABCD所成角即为∠FCN，14分其中FN=2,NC18.(1)设d是点Mx,y到直线l:x=−12的距离，根据题意，动点Mx,y的轨迹就是点的集合P=M (2)(i)令y=0，代入3x2−y2=3，得x2设直线BN为:y=kx−13−k2x2+2k2x−k2+3=0,则由题意得NF=2因为FT平分∠NFB,故有NTBT=NF化简得3k2−3x所以点T在定直线x=−12(ii)连接AT并延长交双曲线于点M′,下证点M′与点M因为T−12,−32设l74:y=−3kx+1所以−1故M′3k2+1由(i)得Nk2+3k2−3,6又因为N,F,M三点共线,即M′与点M重合所以kTM=kMA=6k3k19.(1)f′x=1x+1x所以求fx在点1,0处的切线方程为y−0=(2)要证直线AB的斜率恒大于1，设A不妨设n>m,即证即证lnn−1n−ln又lnn<n−只需证lnn又m−只需证−2n令hx令uxu所以y=ux在0,2单调递增,在2