矩形的性质（课件）华东师大版八年级数学下册

矩形的性质矩形定义边角对角线对称性两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行四边形的两组对边分别平行.性质定理1平行四边形的对边分别相等.性质定理2平行四边形的对角相等.性质定理3平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的相关性质平行四边形是中心对称图形.

【动手操作】如图，用四根木条做一个平行四边形的活动木框，并轻轻推动，你会发现什么？ABCD角的大小改变了，但仍然保持平行四边形的形状.当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形.平行四边形矩形一个角是直角矩形的定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形（长方形）.矩形在生活中无处不在.★矩形是特殊的平行四边形.★平行四边形不一定是矩形.作为一种特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的一般性质.但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？思考ABCDO提示：可以从边、角、对角线等方面来考虑.材料准备：直尺、量角器、铅笔、橡皮擦等.活动1

测量数学书的四条边长度、四个角的度数和对角线的长度，并记录测量的结果.根据测量的结果，你有什么猜想？猜想1：矩形的四个角都是直角.猜想2：矩形的对角线相等.观察猜想ABCDO你能证明吗？如图，四边形ABCD

是矩形，∠B=90°.求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.

验证猜想ABCD证明：∵矩形ABCD

是平行四边形.∴∠B=∠D，∠C=∠A，AB

//DC.∴∠B+∠C=180°.又∵∠B=90°，∴∠C=90°.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.如图，四边形ABCD

是矩形，∠ABC=90°，对角线AC

与DB

相交于点O.求证：AC=DB.

ABCDO证明：∵四边形ABCD

是矩形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°.在△ABC和△DCB中∵AB=DC，∠ABC=∠DCB

，BC=CB，∴△ABC

≌△DCB（SAS），∴AC=DB.归纳矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质：几何语言：矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB.例1如图，矩形ABCD

被两条对角线分成四个小三角形，如果这四个小三角形周长的和是86cm，矩形的对角线长是13cm，那么该矩形的周长是多少？解

∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD这四个小三角形周长的和为86cm，∴AB+BC+CD+DA+2(OA+OB+OC+OD)=AB+BC+CD+DA+2(AC+BD)=86.又∵AC=BD=13(矩形的对角线相等)，∴AB+BC+CD+DA=86－2(AC+BD)

=86－4×13=34(cm).即该矩形的周长是34cm.ABCDO1.如图，四边形ABCD

是一个矩形，其中AD

＝5，

AB

＝12，则AC

的长为______.ABDC5512132.如图，矩形ABCD

的对角线AC、BD

相交于点O，∠AOD

＝70°，则∠BAC

的度数为()A.25°B.35°C.45°D.55°B3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC

与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（）CA.AB＝AD

B.AC⊥BD

C.AC＝BD

D.∠ACB＝∠ACD活动2

请同学们准备一张矩形纸片，折一折，观察并思考：矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ABCDl1l22条对称轴矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线.【选自教材第114页练习第1题】如图，在矩形ABCD

中，对角线AC

与BD

相交于点O，试找出图中相等的线段和相等的角.ABCDO解:相等的线段:AB＝CD，BC＝AD，BD＝AC，OA＝OC＝OB＝OD.相等的角:∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠OBA＝∠OAB＝∠ODC＝∠OCD，∠OAD

＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB，∠BOC＝∠AOD，∠AOB＝∠COD.【选自教材第114页练习第2题】2.如图，矩形ABCD

的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°.

求证：AC=2AB.证明:∵

四边形ABCD是矩形，

∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°－∠AOD＝60°.∴△AOB是等边三角形.∴AB

＝OA.∴AC＝2OA＝2AB.ABDCO

3.如图，在矩形ABCD

中，点E

在边CD上.将该矩形沿AE

折叠，恰好使点D

落在边BC

上的点F

处.如果∠BAF=60°，

求∠DAE

的大小.【选自教材第114页练习第3题】ABCDFE矩形的相关概念及性质定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形矩形具有平行四边形的一般性质矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形的性质定理2：矩形的对角线相等轴对称图形对称轴为通过对边中点的直线矩形性质的运用矩形矩形的相关概念及性质定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形具有平行四边形的一切性质矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.轴对称图形对称轴为通过对边中点的直线例2如图，在矩形ABCD

中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足为点E.求BE的长.ABDCE说一说你的解题思路.△ABC为直角三角形它的面积既可以用底和高来求.也可以用两条直角边来求.列出等式，从而求出BE

的长.ABDCE解在矩形ABCD中，∠ABC=90°，

例3如图，在矩形ABCD

中，对角线AC

与BD相交于点O，AE

垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD=15cm.求AC、AB

的长.解

∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=15(矩形的对角线相等）.

∵AE垂直平分BO，∴AB=AO=7.5.即AC

的长为15cm，AB

的长为7.5cm.ABCDOE1.如图，在矩形ABCD

中，对角线AC、BD

相交于点O，若AB

＝3，AC＝6，则∠AOD

的度数为()A.90°B.

100°C.110°D.120°3333D

1111C3.如图，P

是矩形ABCD

的对角线AC

上一点，过点P

作

EF∥BC，分别交AB、CD

于点E、F，连结PB、PD.若AE＝2，PF＝5，则图中阴影部分的面积为()A.10

B.12C.

15

D.

20ABCDEFPNMS△ADC

=S△ABCS△AMP

=S△AEPS△PBE

=S△PBNS△PFD

=S△PDMS△PFC

=S△PCNS△DFP

=S△PBEA4.如图，在矩形ABCD

中，对角线AC、BD

相交于点O，DE

⊥AC

于点E，且∠ADE

∶∠EDC＝3∶2，求∠BDE

的度数．解:∵四边形ABCD

是矩形，∴∠ADC＝90°，OA＝OD．∵∠ADE∶∠EDC＝3∶2，

∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°∴∠DAE＝90°－∠ADE＝36°∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝36°．∴∠BDE＝∠ADE－∠ODA＝54°－36°＝18°．【选自教材第115页练习第1题】如图，在矩形ABCD

中，E

是边AD上的一点.试说明△BCE

的面积与矩形ABCD

的面积之间的关系.ABCDE解:∵

四边形ABCD为矩形，∴

AD∥BC，AB

⊥BC，∴△BCE的边BC上的高长等于AB

的长，

即△BCE的面积等于矩形ABCD面积的一半.【选自教材第115页练习第2题】2.如图，在矩形ABCD

中，对角线AC

与BD

相交于点O，

∠AOB=60°，AB=3.6.求AC、AD

的长.（精确到0.1）解:∵

四边形ABCD是矩形，

∵∠AOB＝60°，

∴△AOB为等边三角形.∴OA

＝AB=3.6.∴AC＝BD=2OA＝7.2.在Rt△ABD

中，由勾股定理，得AB2+AD2=BD2，即3.62+AD2=7.22，∴AD

≈6.2.ABDCO3.如图，点P

是矩形ABCD

的边AD

上的一个动点，矩形的两条

边长AB、BC

分别为8和15.求点P

到矩形的两条对角线AC

和BD

的距离之和.（提示：记对角线AC

与BD

的交点为点O，