初中数学九年级下册专题教案：二次函数图像交点问题的深度探究与思想渗透

初中数学九年级下册专题教案：二次函数图像交点问题的深度探究与思想渗透

一、学科定位与前沿分析

本专题隶属于初中数学九年级下册函数板块的深度拓展内容，处于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“函数”主题下的核心位置。二次函数作为初中阶段接触的最复杂、最系统的函数模型，其图像性质与相关交点的研究，是连接方程、不等式、几何图形与函数思想的枢纽，是学生从静态代数思维向动态分析思维跃迁的关键节点。

在当今数学教育前沿视野下，对“交点问题”的探讨早已超越单纯求解的层面，它本质上是“数形结合”思想的典范应用，是“函数与方程”思想的具体化实践，更是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养的绝佳载体。中考命题趋势表明，二次函数交点问题常作为压轴题的组成部分，综合考查学生对参数、分类讨论、动静转换等高阶思维能力的掌握。因此，本教学设计将立足学科本质，以交点问题为脉络，串联相关知识与思想方法，致力于构建一个既有思维深度又有应用广度的学习体系。

二、教学目标与核心素养发展

1.知识与技能：

1.2.系统掌握二次函数图像与坐标轴（x轴、y轴）、一次函数（直线）、反比例函数等图像之间的交点求解方法。

2.3.深刻理解交点坐标的代数意义（方程或方程组的解）与几何意义（点的坐标）。

3.4.熟练运用判别式（Δ）判断二次函数与x轴的交点个数，并能逆向推导参数条件。

4.5.能综合运用函数、方程、不等式知识解决含参交点问题及交点衍生问题（如交点围成的图形面积、线段长度、特定位置关系等）。

6.过程与方法：

1.7.经历“观察图像→提出猜想→代数验证→归纳结论→应用拓展”的完整数学探究过程。

2.8.掌握“以形助数”和“以数解形”的双向思维路径，深化数形结合思想。

3.9.学会在面对复杂交点情境时，自觉运用分类与整合、转化与化归的数学思想方法。

4.10.通过小组合作探究，提升发现问题、分析问题、合作解决问题的综合能力。

11.情感、态度与价值观：

1.12.在解决富有挑战性的交点问题中，体验数学思维的严谨性与解决问题的成就感。

2.13.感悟函数观点在统一处理代数与几何问题中的强大力量，形成用运动变化观点看待数学问题的意识。

3.14.培养不畏难题、精益求精的科学探索精神和理性思维品质。

三、教学重点与难点

1.教学重点：

1.2.二次函数图像与x轴交点（即一元二次方程根）的判别式分析法。

2.3.二次函数与一次函数图像交点坐标的联立方程组解法及其几何意义。

3.4.利用交点性质解决与之相关的综合应用问题。

5.教学难点：

1.6.含参交点问题：动态理解参数变化对交点个数、位置的影响，并据此进行分类讨论。

2.7.“隐性”交点问题：识别并处理需要构造方程或函数来求解的交点问题（如函数图像与平行于坐标轴的直线的交点）。

3.8.交点衍生问题的建模与转化：将几何量（如距离、面积）的计算，成功转化为基于交点坐标的代数运算。

四、教学资源与技术融合

1.主资源：冀教版九年级下册数学教材、配套专题学案。

2.技术工具：动态几何软件（如GeoGebra）、交互式电子白板、图形计算器或具有绘图功能的数学软件。用于动态展示参数变化时函数图像及交点的实时变化，化抽象为具体。

3.辅助材料：精心设计的阶梯式探究任务卡、经典中考真题及变式训练集。

五、教学过程实施（核心环节详案）

第一课时：交点本源——与坐标轴的交点及判别式的灵魂

(一)情境导入，温故引新(预计用时：8分钟)

活动设计：

1.教师在电子白板上动态展示三个二次函数y

=

a

x

2

+

b

x

+

c

y=ax^2+bx+c

y=ax2+bx+c（a≠0）的图像，分别呈现与x轴有两个交点、一个交点、无交点的情形。

2.提问引导：

1.3.“从‘形’上看，这三个图像与x轴的位置关系有何不同？”

2.4.“从‘数’上看，这种位置关系的差异，对应着方程a

x

2

+

b

x

+

c

=

0

ax^2+bx+c=0

ax2+bx+c=0的解有什么不同？”

3.5.“我们过去是如何判断一元二次方程根的情况的？那个关键的‘裁判’是什么？”

6.学生活动：回顾一元二次方程根的判别式Δ

=

b

2

−

4

a

c

\Delta=b^2-4ac

Δ=b2−4ac，并齐声说出其与根的情况的对应关系。

7.教师点题：明确指出，二次函数y

=

a

x

2

+

b

x

+

c

y=ax^2+bx+c

y=ax2+bx+c与x轴的交点问题，本质上就是对应一元二次方程a

x

2

+

b

x

+

c

=

0

ax^2+bx+c=0

ax2+bx+c=0的根的问题。判别式Δ是连接“形”（交点个数）与“数”（方程根的情况）的桥梁。本节将深度挖掘这座桥梁的通行规则。

(二)概念建构与深度辨析(预计用时：15分钟)

核心内容讲授：

1.明确关系：

1.2.与x轴交点：令y=0，解方程a

x

2

+

b

x

+

c

=

0

ax^2+bx+c=0

ax2+bx+c=0。Δ>0→两个交点；Δ=0→一个交点（相切）；Δ<0→无交点。

2.3.与y轴交点：令x=0，得y=c，交点为(0,c)。强调：这是唯一确定的点，与a,b,Δ均无关。

4.几何意义的深化：

1.5.“交点”的几何意义是一个“点”，其坐标是(x,y)。

2.6.“方程的解”的代数意义是使等式成立的“数”，即交点的横坐标。

3.7.引导学生用集合语言理解：函数图像上点的集合{

(

x

,

y

)

∣

y

=

a

x

2

+

b

x

+

c

}

\{(x,y)|y=ax^2+bx+c\}

{(x,y)∣y=ax2+bx+c}与x轴上点的集合{

(

x

,

y

)

∣

y

=

0

}

\{(x,y)|y=0\}

{(x,y)∣y=0}的交集。这为后续学习函数与方程思想埋下伏笔。

8.易错点预警：

1.9.与x轴有一个交点，切勿直接说“有一个解”，而应准确表述为“有两个相等的实数根”或“切点的横坐标”。

2.10.计算与y轴交点时，常因忽略c的符号或误代入其他值而出错。

(三)典例剖析与思维进阶(预计用时：20分钟)

【例题1】（基础巩固型）

已知抛物线y

=

x

2

−

4

x

+

m

y=x^2-4x+m

y=x2−4x+m。

(1)若抛物线与x轴有两个交点，求m的取值范围。

(2)若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值及交点坐标。

(3)若抛物线经过点(0,5)，求其与y轴的交点坐标，并判断此时与x轴的交点情况。

教学实施：

1.学生独立完成(1)(2)，教师巡视，关注学生是否能准确建立不等式Δ

=

(

−

4

)

2

−

4

×

1

×

m

>

0

\Delta=(-4)^2-4\times1\timesm>0

Δ=(−4)2−4×1×m>0和方程Δ

=

0

\Delta=0

Δ=0。

2.重点讲解(3)：

1.3.第一步：利用点(0,5)在抛物线上，代入求出m=5。巩固与y轴交点求法。

2.4.第二步：写出具体解析式y

=

x

2

−

4

x

+

5

y=x^2-4x+5

y=x2−4x+5，计算Δ=(-4)^2-4*1*5=-4<0。

3.5.第三步：得出结论：与x轴无交点。

4.6.思维提升提问：“如果我们先算出Δ<0，能说明抛物线一定不经过点(0,5)吗？为什么？”（不能，Δ判断的是与x轴交点，与经过(0,5)无关，二者独立。）

【例题2】（逆向思维型）

已知抛物线y

=

(

k

−

1

)

x

2

+

2

k

x

+

k

−

2

y=(k-1)x^2+2kx+k-2

y=(k−1)x2+2kx+k−2与x轴至少有一个交点。

(1)求k的取值范围。

(2)当k为最大负整数时，求抛物线与坐标轴的交点坐标。

教学实施：

1.小组讨论：“至少有一个交点”包含哪几种情况？（两个交点或一个交点）对应的代数条件是什么？（Δ≥0）需要注意什么前提？（二次项系数k-1可能为0！）

2.师生共同辨析：

1.3.情况一：当k-1≠0，即k≠1时，函数为二次函数，需Δ=(2k)^2-4(k-1)(k-2)≥0。

2.4.情况二：当k-1=0，即k=1时，函数退化为一次函数y=2x-1，其必然与x轴有一个交点。

5.学生演算，教师板书规范解题步骤，强调分类讨论的完备性和书写逻辑。

6.归纳方法：遇到含参“交点”问题，首要步骤是确认函数的“身份”（是否一定为二次函数），这是分类讨论的第一层。

(四)课堂小结与作业布置(预计用时：2分钟)

1.小结：师生共同总结本课核心——二次函数与坐标轴交点的求解与判断方法，以及判别式Δ的核心作用。强调数形对应关系和分类讨论意识。

2.作业：

1.3.基础题：教材对应练习题。

2.4.探究题：抛物线y

=

a

x

2

+

2

a

x

+

c

y=ax^2+2ax+c

y=ax2+2ax+c与x轴的一个交点为(-3,0)，则其对称轴是什么？与x轴另一个交点是什么？请说明理由。

第二课时：曲线相交——与一次函数图像的交点及综合探究

(一)问题导引，建立模型(预计用时：10分钟)

活动设计：

1.呈现问题：在同一坐标系中，二次函数y

=

x

2

−

2

x

−

3

y=x^2-2x-3

y=x2−2x−3与一次函数y

=

x

−

1

y=x-1

y=x−1的图像，它们会有交点吗？如果有，如何找到？

2.学生动手尝试：部分学生尝试画草图，部分学生直接进行代数思考。

3.思维碰撞：

1.4.生A：“画图看，好像有交点，但坐标读不准。”

2.5.生B：“交点同时满足两个函数式，可以联立方程组求解。”

6.教师提炼模型：

1.7.几何问题：求两条曲线的交点。

2.8.代数转化：解方程组{

y

=

x

2

−

2

x

−

3

y

=

x

−

1

\begin{cases}y=x^2-2x-3\\y=x-1\end{cases}

{y=x2−2x−3y=x−1​

3.9.方法本质：将“形”的交点问题，转化为“数”的方程组求解问题。这是“数形结合”思想中“以数解形”的典型应用。

(二)探究归纳，形成策略(预计用时：18分钟)

核心内容讲授与探究：

1.一般化策略：求二次函数y

=

a

x

2

+

b

x

+

c

y=ax^2+bx+c

y=ax2+bx+c与一次函数y

=

k

x

+

m

y=kx+m

y=kx+m的图像交点，即解方程组。消去y后，得到关于x的一元二次方程a

x

2

+

(

b

−

k

)

x

+

(

c

−

m

)

=

0

ax^2+(b-k)x+(c-m)=0

ax2+(b−k)x+(c−m)=0。

2.对所得方程判别式Δ’的深度解读：

1.3.Δ’>0：两个交点。

2.4.Δ’=0：一个交点（相切）。

3.5.Δ’<0：无交点。

4.6.提问：这个Δ’与第一课时学的Δ含义有何异同？（同：都判断交点个数；异：Δ判断与x轴（y=0这条特殊直线）的交点，Δ’判断与任意直线y=kx+m的交点。）

7.动态演示（GeoGebra）：固定抛物线，拖动直线，让学生直观观察直线斜率k、截距m变化时，交点个数和位置的变化，感受Δ’的“幕后裁判”作用。

【例题3】（综合应用型）

如图，抛物线y

=

−

1

2

x

2

+

2

y=-\frac{1}{2}x^2+2

y=−21​x2+2与直线y

=

−

1

2

x

+

b

y=-\frac{1}{2}x+b

y=−21​x+b交于点A(2,0)和点B。

(1)求b的值及点B的坐标。

(2)求△AOB的面积。

(3)观察图像，直接写出不等式−

1

2

x

2

+

2

>

−

1

2

x

+

b

-\frac{1}{2}x^2+2>-\frac{1}{2}x+b

−21​x2+2>−21​x+b的解集。

教学实施：

1.(1)学生口述思路：利用交点A同时满足两个函数式，代入可求b。联立方程组可求B。

2.(2)方法发散：

1.3.思路一（割补法）：以y轴或x轴为界分割△AOB。

2.4.思路二（重点推广——铅垂高法）：△AOB的面积=1

2

×

∣

x

A

−

x

B

∣

×

∣

y

直线在交点间

−

y

抛物线在交点间

∣

\frac{1}{2}\times|x_A-x_B|\times|y_{\{直线在交点间}}-y_{\{抛物线在交点间}}|

21​×∣xA​−xB​∣×∣y直线在交点间​−y抛物线在交点间​∣的某种形式？此处引导学生发现，对于由一次函数与二次函数图像交点构成的三角形，常用1

2

×

∣

x

A

−

x

B

∣

×

∣

y

A

−

y

C

∣

\frac{1}{2}\times|x_A-x_B|\times|y_A-y_C|

21​×∣xA​−xB​∣×∣yA​−yC​∣（其中C是直线与某坐标轴或另一特殊线的交点）或更一般的“水平宽×铅垂高”模型。教师应详细推导并板书此公式：S

△

=

1

2

×

∣

x

1

−

x

2

∣

×

∣

(

k

x

1

+

m

)

−

(

a

x

1

2

+

b

x

1

+

c

)

∣

S_{\triangle}=\frac{1}{2}\times|x_1-x_2|\times|(kx_1+m)-(ax_1^2+bx_1+c)|

S△​=21​×∣x1​−x2​∣×∣(kx1​+m)−(ax12​+bx1​+c)∣（需选择合适的点简化计算）。此方法是解决交点衍生面积问题的利器。

5.(3)数形转换：引导学生将不等式解集理解为“抛物线图像在直线上方时对应的x的取值范围”。结合图像，一目了然得出答案。强调：“大于”看“上面”，“小于”看“下面”。

(三)合作探究，挑战进阶(预计用时：15分钟)

【探究任务】（小组合作）

已知抛物线y

=

x

2

−

2

x

−

3

y=x^2-2x-3

y=x2−2x−3。

(1)求证：无论m为何值，该抛物线与直线y

=

x

+

m

y=x+m

y=x+m总有两个不同的交点。

(2)设这两个交点为P,Q，试用含m的式子表示线段PQ的长度。

(3)（选做）当m为何值时，线段PQ的长度最小？最小值是多少？

教学实施：

1.小组分工合作，教师巡视指导。

2.关键点拨：

1.3.(1)即证明联立后方程x

2

−

3

x

−

(

3

+

m

)

=

0

x^2-3x-(3+m)=0

x2−3x−(3+m)=0的判别式恒大于0。

2.4.(2)这是本探究的难点和高光点。学生易想到求P、Q坐标再套用距离公式，但计算复杂。引导优化：

1.3.5.设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则P

Q

=

(

x

1

−

x

2

)

2

+

(

y

1

−

y

2

)

2

PQ=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}

PQ=(x1​−x2​)2+(y1​−y2​)2<pathd="M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119

c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120

c340,-704.7,510.7,-1060.3,512,-1067

l0-0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271.3,567,-271.3,567c-38.7,80.7,-84,175,-136,283c-52,108,-89.167,185.3,-111.5,232

c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109.3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16.7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M100180h400000v40h-400000z">

​。

2.4.6.由于P,Q在直线y

=

x

+

m

y=x+m

y=x+m上，故y

1

−

y

2

=

(

x

1

+

m

)

−

(

x

2

+

m

)

=

x

1

−

x

2

y_1-y_2=(x_1+m)-(x_2+m)=x_1-x_2

y1​−y2​=(x1​+m)−(x2​+m)=x1​−x2​。

3.5.7.所以P

Q

=

(

x

1

−

x

2

)

2

+

(

x

1

−

x

2

)

2

=

2

∣

x

1

−

x

2

∣

PQ=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(x_1-x_2)^2}=\sqrt{2}|x_1-x_2|

PQ=(x1​−x2​)2+(x1​−x2​)2<pathd="M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119

c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120

c340,-704.7,510.7,-1060.3,512,-1067

l0-0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271.3,567,-271.3,567c-38.7,80.7,-84,175,-136,283c-52,108,-89.167,185.3,-111.5,232

c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109.3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16.7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M100180h400000v40h-400000z">

​=2<pathd="M95,702

c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14

c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54

c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10

s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429

c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221

l0-0

c5.3,-9.3,12,-14,20,-14

H400000v40H845.2724

s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7

c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z

M83480h400000v40h-400000z">

​∣x1​−x2​∣。

4.6.8.而∣

x

1

−

x

2

∣

=

(

x

1

+

x

2

)

2

−

4

x

1

x

2

|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}

∣x1​−x2​∣=(x1​+x2​)2−4x1​x2​<pathd="M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119

c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120

c340,-704.7,510.7,-1060.3,512,-1067

l0-0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271.3,567,-271.3,567c-38.7,80.7,-84,175,-136,283c-52,108,-89.167,185.3,-111.5,232

c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109.3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16.7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M100180h400000v40h-400000z">

​，由韦达定理，x

1

+

x

2

=

3

x_1+x_2=3

x1​+x2​=3,x

1

x

2

=

−

(

3

+

m

)

x_1x_2=-(3+m)

x1​x2​=−(3+m)。

5.7.9.最终得到P

Q

=

2

⋅

9

+

4

(

3

+

m

)

=

2

2

m

+

21

PQ=\sqrt{2}\cdot\sqrt{9+4(3+m)}=2\sqrt{2m+21}

PQ=2<pathd="M95,702

c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14

c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54

c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10

s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429

c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221

l0-0

c5.3,-9.3,12,-14,20,-14

H400000v40H845.2724

s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7

c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z

M83480h400000v40h-400000z">

​⋅9+4(3+m)<pathd="M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119

c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120

c340,-704.7,510.7,-1060.3,512,-1067

l0-0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271.3,567,-271.3,567c-38.7,80.7,-84,175,-136,283c-52,108,-89.167,185.3,-111.5,232

c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109.3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16.7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M100180h400000v40h-400000z">

​=22m+21<pathd="M95,702

c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14

c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54

c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10

s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429

c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221

l0-0

c5.3,-9.3,12,-14,20,-14

H400000v40H845.2724

s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7

c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z

M83480h400000v40h-400000z">

​(需讨论根号内非负)。

8.10.思想升华：此解法完美体现了“设而不求”的韦达定理思想、整体代换思想以及将几何长度问题纯代数化的转化思想。这是解决交点间线段长度问题的通性通法。

9.11.(3)转化为求二次根式下二次函数的最值问题。

(四)课堂总结与作业布置(预计用时：2分钟)

1.总结：回顾求两类交点（与轴、与直线）的方法论，提炼“联立方程组→转化为方程→用判别式/韦达定理分析”的通用流程。总结交点衍生问题（面积、长度）的转化技巧（铅垂高法、设而不求）。

2.作业：完成探究任务，并自编一道结合面积与线段长度的交点综合题。

第三课时：纵横捭阖——含参问题、动点问题与思想方法总汇

(一)高阶思维热身：含参动直线问题(预计用时：15分钟)

【例题4】（动直线交点控参）

已知抛物线y

=

x

2

+

b

x

+

c

y=x^2+bx+c

y=x2+bx+c经过点A(1,0)，B(3,0)。

(1)求抛物线的解析式。

(2)设直线y

=

t

y=t

y=t（t为常数）与抛物线交于C,D两点。

①求线段CD的长（用含t的式子表示）。

②若线段CD=4，求t的值。

(3)设直线x

=

m

x=m

x=m（m为常数，m>0）与抛物线交于点E，与x轴交于点F，是否存在m，使得△BEF为等腰直角三角形？若存在，求m；若不存在，请说明理由。

教学实施：

1.(1)复习交点式求解析式：y

=

(

x

−

1

)

(

x

−

3

)

=

x

2

−

4

x

+

3

y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3

y=(x−1)(x−3)=x2−4x+3。

2.(2)新情境剖析：直线y

=

t

y=t

y=t是平行于x轴的动直线。联立后方程为x

2

−

4

x

+

(

3

−

t

)

=

0

x^2-4x+(3-t)=0

x2−4x+(3−t)=0。其解即为C,D横坐标。

1.3.①C

D

=

∣

x

C

−

x

D

∣

=

(

x

C

+

x

D

)

2

−

4

x

C

x

D

=

16

−

4

(

3

−

t

)

=

2

1

+

t

CD=|x_C-x_D|=\sqrt{(x_C+x_D)^2-4x_Cx_D}=\sqrt{16-4(3-t)}=2\sqrt{1+t}

CD=∣xC​−xD​∣=(xC​+xD​)2−4xC​xD​<pathd="M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119

c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120

c340,-704.7,510.7,-1060.3,512,-1067

l0-0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271.3,567,-271.3,567c-38.7,80.7,-84,175,-136,283c-52,108,-89.167,185.3,-111.5,232

c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109.3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16.7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M100180h400000v40h-400000z">

​=16−4(3−t)<pathd="M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119

c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120

c340,-704.7,510.7,-1060.3,512,-1067

l0-0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271.3,567,-271.3,567c-38.7,80.7,-84,175,-136,283c-52,108,-89.167,185.3,-111.5,232

c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109.3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16.7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M100180h400000v40h-400000z">

​=21+t<pathd="M95,702

c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14

c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54

c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10

s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429

c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221

l0-0

c5.3,-9.3,12,-14,20,-14

H400000v40H845.2724

s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7

c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z

M83480h400000v40h-400000z">

​。强调：平行于x轴的直线与抛物线两交点间的距离，只与这两点横坐标的绝对差有关，计算得到简化形式。

2.4.②解方程2

1

+

t

=

4

2\sqrt{1+t}=4

21+t<pathd="M95,702

c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14

c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54

c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10

s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429

c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221

l0-0

c5.3,-9.3,12,-14,20,-14

H400000v40H845.2724

s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7

c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z

M83480h400000v40h-400000z">

​=4即可。

5.(3)动点与图像构造：这是本例题思维最高点。

1.6.几何分析：△BEF中，B(3,0)固定，F(m,0)在x轴上，E(m,m^2-4m+3)在抛物线上。讨论谁为直角顶点。

2.7.分类讨论建模：

1.3.8.若∠BEF=90°且BE=EF，则BE平行于x轴，这与E、B纵坐标相等矛盾，舍去。

2.4.9.若∠EBF=90°且BE=BF，画图分析可能性。

3.5.10.重点分析∠BFE=90°且FB=FE的情形：此时F为直角顶点，则E点纵坐标绝对值等于F到B的水平距离。建立方程∣

m

2

−

4

m

+

3

∣

=

∣

m

−

3

∣

|m^2-4m+3|=|m-3|

∣m2−4m+3∣=∣m−3∣。

6.11.学生尝试求解，教师引导排除不合题意的解。最终得到m=2或m=4。

7.12.思想提炼：动点问题需“动中取静”，将瞬间状态固化为几何条件，再转化为关于参数的方程。这是“转化与化归”思想的极致体现。

(二)专题方法体系构建(预计用时：20分钟)

教师引导，师生共同构建“二次函数图像交点问题”方法论思维导图（板书核心）：

二次函数图像交点问题

├──1.求什么交点？

│├──与坐标轴：y=0(x轴),x=0(y轴)

│└──与其他函数图像：联立方程组

├──2.怎么求/判？

│├──代数法核心：解方程(组)

│├──关键工具：

││├──判别式Δ：定“个数”

││└──韦达定理：设而不求，研究“关系”

│└──几何意义反哺：坐标即解，交点即公共点

├──3.交点有什么用？（衍生问题）

│├──求距离（线段长）：|x1-x2|,两点距离公式→常结合韦达定理

│├──求面积：

││├──规则图形：直接公式

││└──不规则图形：割补法、铅垂(高)×水平(宽)法

│├──判断图形形状：计算边长、斜率，利用几何性质

│└──解不等式：图像的上、下位置关系

└──4.遇到参数怎么办？

├──第一问：是二次函数吗？(二次项系数)

├──核心策略：分类讨论

├──动态思维：参数变化→图像运动→交点变化

└──转化目标：将几何条件翻译为关于参数的方程或不等式

(三)巅峰挑战与反思(预计用时：10分钟)

【挑战题】（链接中考压轴）

在平面直角坐标系中，抛物线y

=

a

x

2

+

2

a

x

−

3

a

y=ax^2+2ax-3a

y=ax2+2ax−3a(a<0)与x轴交于A,B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，顶点为D。

(1)直接写出A,B,C三点的坐标（用含a的式子表示）。

(2)如图，连接AC，CD。试判断△ACD的形状，并说明理由。

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得∠APB=∠ACD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

教学实施（聚焦第(3)问思路分析）：

1.