2025-2026学年天津市和平区双菱中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市和平区双菱中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共9小题，共27分。1.设函数y=（2x+1）3，若，则x0=（）A.或 B.-1或0

C. D.02.已知随机变量X的分布规律为P（X=i）=ai2（i=1，2，3），则P（X=2）=（）A. B. C. D.3.从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有（）A.30种 B.36种 C.42种 D.60种4.已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象大致是（）A.

B.

C.

D.5.某次测试共设置两道必答题，考生至少答对其中一道题即可通过测试.已知考生甲答对每一题的概率均为，在甲通过测试的条件下，其只答对一道题的概率为（）A. B. C. D.6.将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒容积最大时，x=（）A.2 B. C. D.47.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（）

A.由“第n行所有数之和为2n”猜想：

B.由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想：

C.

D.第29行中从左到右第14与第15个数相等8.已知函数，当x2＞x1＞0时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.9.已知函数若直线y=kx与y=f（x）有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。10.已知函数f（x）=cosx,则=

.11.若二项式的展开式中的二项式系数和为A，各项系数和为B，则A-B=

.12.袋子中有3个红球，2个黄球，m个蓝球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，则E（X）=

.13.已知X的分布列为：X-101Pa设Y=2X+1，则Y的方差D（Y）的值是

．14.现有两个罐子，都放有3个球，这些球除颜色外，大小与质地都相同，A罐中放有2个红球，1个白球，B罐中放有3个红球，从两个罐子中各摸出1个球并交换，这样交换2次后，白球还在A罐子中的概率是

.15.已知函数，g（x）=ln（x+1）-ax2，若∀x1∈[1，e]，∃x2∈（0，1]使得f（x1）＞g（x2）成立，则实数a的取值范围是

.三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题9分)

已知函数f（x）=x（x-a）2

（1）若f（x）在x=2处有极小值，求a；

（2）若a=4，求f（x）在区间[-1，3]上的最值.17.(本小题10分)

，若（2x-1）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等.

（1）求n的值；

（2）求x2的系数；

（3）求|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|的值.18.(本小题10分)

2024年被业界公认为“具身智能元年”.得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟.人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活.新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动.活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格.已知小明、小华，小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立.

（1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率；

（2）设这3人中通过第二轮的人数为ξ，求ξ的分布列及期望.19.(本小题10分)

已知函数f（x）=（lnx）2-ax2lnx2-x4.

（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若f（x）恰有3个零点，求a的取值范围.20.(本小题10分)

已知函数f（x）=ex-ax-1.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当a=1时，存在不相等的x1、x2，满足f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＜0；

（3）对任意的x＞0，f（x）≥（1-x）ex+lnx恒成立，求a的取值范围.

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】C

10.【答案】

11.【答案】33

12.【答案】1

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】（ln2，+∞）

16.【答案】2

f（x）min=-25，f（x）max=

17.【答案】解：（1）(2x-1)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得n=10，即n的值为10；

（2）由（1）知，(2x-1)​​​​​​​10的展开式中x2项为：，所以a2=180，即x2的系数为180；

（3）由（1）知，(2x-1)​​​​​​​10的展开式中，

当x=0时，a0=1，

因为a0，a2，a4，a6，a8，a10∈（0，+∞），a1，a3，a5，a7，a9∈（-∞，0），

所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a10|=a0-a1+a2-a3+⋯+a10，

当x=-1时，，

所以．

18.【答案】

分布列：ξ0123P期望为

19.【答案】y=-（2a+4）x+2a+3（或（2a+4）x+y-2a-3=0）

20.【答案】当a≤0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增

当a=1时，由（1）可得，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．

不妨设x2＜0＜x1，要证x1+x2＜0，即证x1＜-x2，即证f（x1）＜f（-x2）．

∵f（x1）=f（x2），即证f（x2）-f（-x2）＜0．

令g（x）