第48讲 带电粒子在叠加场中的运动（复习讲义）（黑吉辽专用）（教师版）

第48讲带电粒子在叠加场中的运动目录01TOC\o"1-3"\h\u考情解码·命题预警 202体系构建·思维可视 303核心突破·靶向攻坚 4考点一带电粒子在叠加场中的运动 4知识点1带电粒子在叠加场中的运动 4知识点2复合场中的摆线问题 4知识点3用动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题（含正则动量） 5考向1摆线运动 6考向2带电粒子在叠加场中的动量问题 10考点二带电粒子在立体空间中的运动 13知识点1带电粒子的旋进运动 13知识点2带电粒子在立体空间中的偏转 15考向带电粒子在立体空间中的运动 1504真题溯源·考向感知 20考点要求考察形式2025年2024年2023年带电粒子在叠加场中的运动选择题非选择题\\\考情分析：1．在黑吉辽蒙高考物理中，带电粒子在复合场中的运动是电磁学板块的重难点，对考生的知识掌握和应用能力有着较高要求，但因难度较高，不常考。2．从命题思路上看，一般与现实情境结合。复习目标：目标一：学会解决带电粒子在复合场中的运动问题。目标二：理解解决摆线问题的方法，尤其是配速法。理解正则动量，从而对解题有帮助。加深对动量、电磁场的理解。目标三：理解与磁场有关的现代科技的原理。考点一带电粒子在叠加场中的运动知识点1带电粒子在叠加场中的运动1.叠加场电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式运动性质受力特点方法规律匀速直线运动粒子所受合力为0平衡条件匀速圆周运动除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE＝mg牛顿第二定律、圆周运动的规律较复杂的曲线运动除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向动能定理、能量守恒定律知识点2复合场中的摆线问题1.摆线是同一平面内匀速直线运动和匀速圆周运动的合运动的轨迹，其实就是一个圆沿着一条直线做无滑动的滚动，圆周上的一点运动的曲线，如图所示。2.配速法(1)定义：若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做一般曲线运动，运动分析比较麻烦，此时，我们可以把初速度分解为两个分速度，使其中一个分速度对应的洛伦兹力与重力(或静电力，或重力和静电力的合力)平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动就可以分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。(2)配速法处理叠加场中的摆线类问题常见情况处理方法BG摆线：初速度为0，有重力把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。BE摆线：初速度为0，不计重力把初速度0分解为一个向左的速度v1和一个向右的速度v1。BEG摆线：初速度为0，有重力把初速度0分解为一个斜向左下方的速度v1和一个斜向右上方的速度v1。BGv摆线：初速度为v0，有重力把初速度v0分解为速度v1和速度v2。知识点3用动量定理解决带电粒子在磁场中的运动问题（含正则动量）假设有一个带电粒子，其质量为m，电荷量为＋q。在方向垂直纸面向下，磁感应强度大小为B的匀强磁场中运动。粒子速度为v，所受洛伦兹力为F，且重力不计。如图建立直角坐标系。沿两轴方向的洛伦兹力分力Fx＝qvyBFy＝qvxB两个方向分别列动量定理－qvyBΔt＝mΔvxqvxBΔt＝mΔvy即－qBΔy＝mΔvxqBΔx＝mΔvy两边累加得－qBy＝mvx1－mvx0qBx＝mvy1－mvy0。使用条件：如果已知某一分运动方向上的位移(可能需要借助动能定理获得)，通过列出与之正交方向上的动量定理，即可迅速得出该方向上的分速度。考向1摆线运动例1如图所示为空间直角坐标系Oxyz，Oxy平面为水平面。空间存在沿z轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B=πT。一可视为质点的带正电小球从z轴上z=0.3125m处以初速度v0=πm/s水平抛出。已知小球的比荷qm=20C/kg，重力加速度A．(0,0.1m,0) B．(0.1m,0,0) C．【答案】A【详解】将小球的运动分解为以初速度v0的水平面匀速圆周运动和竖直方向的自由落体运动，对于水平面匀速圆周运动有qv0B=mv0小球在竖直方向ℎ=解得t=0.25因为t小球在水平面上转动212圈，故坐标为故选A。例2如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为E，方向竖直向下，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面。一个电子由O点以一定初速度v0水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中O、Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（）A．磁感应强度方向垂直纸面向外B．电子的初速度v0小于EC．由P点至Q点的运动过程中，电子的速度增大D．调整电子的初速度大小与方向可以使其做匀加速直线运动【答案】C【详解】A．电子从O点开始轨迹向下弯曲，由于电场力向上，说明洛伦兹力向下，根据左手定则，则磁感应强度方向垂直纸面向里，故A错误；B．电子从O运动到P，合外力指向轨迹凹侧，有qv0故B错误；C．由P点至Q点的运动过程中，电场力做正功，洛伦兹力不做功，电子的速度逐渐增大，故C正确；D．电子受力平衡，可以做匀速直线运动，初速度方向与磁场平行，电子做类平抛运动，所以电子不可能做匀加速直线运动，故D错误。故选C。【变式训练1】如图，竖直面内有光滑管AB和CD，与水平方向夹角均为θ=45°，B、C两点连线水平且间距为d．空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、带电量为q的小球从AB管的上端由静止释放，小球从B点离开管道，运动一段时间后，恰好从C点进入管道CD。带电小球从B点离开管时对管道的弹力大小与从A点释放时对管道的弹力大小相等。运动过程中小球的电荷量不变，小球可看作质点，重力加速度大小为g。求：(1)管道AB的长度；(2)小球从A点释放到运动到D点的时间；(3)d与m、q和B的关系。【答案】(1)(2)(3)（其中）【详解】（1）小球在A点时有小球在B点有又对AB过程有联立解得（2）对AB过程联立得将离开B时的速度沿水平方向和竖直方向分解，如图所示由于故小球由B到C的运动可分解为水平方向的速度大小为的匀速直线运动和竖直面内的速度大小为的匀速圆周运动，故对小球由B到C的过程有小球从A点释放到运动到D点的时间联立解得（3）小球由B点到C点过程有（其中）联立解得（其中）【变式训练2】空间内存在电场强度大小E=100V/m、方向水平向左的匀强电场和磁感应强度大小B1=100T、方向垂直纸面向里的匀强磁场（图中均未画出）。一质量m=0.1kg、带电荷量q=＋0.01C的小球从O点由静止释放，小球在竖直面内的运动轨迹如图中实线所示，轨迹上的A点离OB最远且与OB的距离为l，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（）A．在运动过程中，小球的机械能守恒 B．小球经过A点时的速度最大C．小球经过B点时的速度为0 D．l=m【答案】BC【详解】A．由于电场力做功，故小球的机械能不守恒，A错误；B．重力和电场力的合力大小为N，方向与竖直方向的夹角为45°斜向左下方，小球由O点到A点，重力和电场力的合力做的功最多，在A点时的动能最大，速度最大，B正确；C．小球做周期性运动，在B点时的速度为0，C正确；D．对小球由O点到A点的过程，由动能定理得沿OB方向建立x轴，垂直OB方向建立y轴，在x方向上由动量定理得累计求和，则有得D错误。故选BC。考向2带电粒子在叠加场中的动量问题例1（多选）如图所示，在同一足够大的空间区域存在方向均竖直向下的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度为B，电场强度为E。t=0时，一正离子以初速度v0水平向右开始运动，离子质量为m，电荷量为q，不计离子重力。此后一段时间内（

A．离子的加速度时刻在变B．当t=3πC．若磁场方向改为竖直向上，则离子可能做匀速直线运动D．若磁场方向改为垂直纸面向里，且v0>2EB【答案】AD【详解】A．离子受到的电场力竖直向下，洛伦兹力在水平面，故离子在水平面以做匀速圆周运动，洛伦兹力大小不变，在竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，合成的运动为螺旋运动，且加速度大小a=可知加速度大小不变，由平行四边形定则可知加速度方向（合力方向）时刻在变，故加速度时刻改变，故A正确；B．当t=3π由于t=则粒子在水平方向距离x=2r=离子到出发点的距离为L=联立解得L=故B错误；C．若磁场方向改为竖直向上，离子受到的电场力竖直向下，洛伦兹力在水平面，粒子不可能为0，即离子不可能做匀速直线运动，故C错误；D．若磁场方向改为垂直纸面向里，且有v0>2EB，可知洛伦兹力大于电场力，则离子会向上偏转，当粒子在竖直方向的位移最大时（大小设为y根据水平方向动量定理有q其中q联立解得y故D正确。故选AD。【变式训练1】如图所示，光滑绝缘的水平面上有甲、乙两个绝缘小球，乙球静止在垂直纸面向里的磁场内，甲球静止在磁场外，甲、乙两球质量分别为1×10−3kg、2×10−3kg，甲球不带电，乙球带有8×10A．碰撞后甲球运动速度大小为5B．碰撞后乙球运动速度大小为5C．碰撞过程乙球对甲球的冲量大小为5×D．甲对乙所做的功与乙对甲所做的功绝对值相等【答案】B【详解】AB．碰撞过程，根据动量守恒定律有m碰后乙球电荷量不变，向右运动过程中刚好对水平面没有压力，则有q解得v1=0故A错误，B正确；C．结合上述可知，碰撞过程乙球对甲球的冲量大小为I=故C错误；D．乙对甲所做的功的大小W甲对乙所做的功的大小W即甲对乙所做的功与乙对甲所做的功绝对值不相等，故D错误。故选B。【变式训练2】如图所示，在坐标系平面第一象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场，两个相同的带电粒子甲和乙在S点垂直磁场方向射入，粒子甲的速度方向与x轴负方向成45°角，粒子乙的速度方向与x轴正方向成45°角，两粒子均恰好垂直于y轴射出磁场。不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（）A．甲在磁场中运动的半径大于乙在磁场中运动的半径B．甲在磁场中运动轨迹的长度大于乙在磁场中运动轨迹的长度C．甲在磁场中运动的过程中洛伦兹力的冲量等于乙在磁场中运动的过程中洛伦兹力的冲量D．甲、乙两个粒子在磁场中运动的过程中平均速率相等【答案】D【详解】AB．根据题意，作出两粒子的运动轨迹图，如图所示由图可知，甲粒子的运动轨迹短，乙粒子的运动轨迹长，根据几何关系，两粒子做匀速圆周运动的半径相等，半径为，选项A、B错误；CD．根据洛伦兹力提供向心力可得，两粒子做匀速圆周运动的半径相等，则两粒子射入磁场的速度大小相等，即两粒子在磁场中运动的过程中平均速率相等，设为，对甲粒子，根据动量定理有对乙粒子，根据动量定理有，故带电粒子甲在磁场中运动的过程中洛伦兹力的冲量小，选项C错误，D正确。故选D。【变式训练3】如图所示，带电量大小为q的负粒子M经小孔从水平边界垂直进入范围足够广的匀强磁场，虚线为其运动轨迹。粒子M以水平速度与静止的、带电量大小为3q的正粒子N发生对心正碰，碰后粘在一起，碰撞时间极短，不考虑粒子M和粒子N的重力，与碰撞前相比，下列说法正确的是（）A．碰后粒子做匀速圆周运动的周期不变 B．碰后粒子做匀速圆周运动的速率将减为一半C．碰后粒子做匀速圆周运动的轨道半径不变 D．碰后粒子做匀速圆周运动的动能减少【答案】D【详解】D．M和粒子N碰撞过程，由动量守恒定律可得m两粒子发生完成非弹性碰撞动能损失最大，所以碰后粒子做匀速圆周运动的动能减少，则D正确；A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由周期公式T=可知，碰撞后质量变大但不知道变大多少，电荷量变为原来2倍，则碰撞后周期无法确定，所以A错误；B．由于两粒子质量关系不知，所以碰撞后的速率不一定减半，所以B错误；C．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由半径公式r=可知，碰撞前后动量守恒，则动量相同，碰撞后电荷量增大，所以碰后粒子做匀速圆周运动的轨道半径减小，则C错误；故选D。考点二带电粒子在立体空间中的运动知识点1带电粒子的旋进运动空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的。现在主要讨论两种情况：(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做“旋进”运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动。条件:粒子速度与磁场夹角不为y方向z方向rT螺距:1.B2.要求离子不能穿过x>d的范围，2r≤d，⇒3.y方向:y＝x方向:转过圆心角x＝z到出发点距离知识点2带电粒子在立体空间中的偏转分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。一般情况下利用降维法，要将粒子的运动分解为两个互相垂直的分运动来求解。考向带电粒子在立体空间中的运动例12021年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。若电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，某时刻其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为vA．电场力的瞬时功率不变B．该离子的加速度大小保持不变C．该离子受到的洛伦兹力大小为qBD．v1与v【答案】B【详解】A．根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则v1增大，根据功率的计算公式可知电场力的瞬时功率为P=Eqv1，可知电场力的瞬时功率增大，故A错误；B．离子受到的电场力不变，洛伦兹力大小不变，方向总是与电场力方向垂直，则该离子的加速度大小不变，方向改变；故B正确。C．由于v1与磁场B平行，v2与磁场B垂直，离子受到的洛伦兹力为F洛=qv2B，故C错误；D．根据运动的叠加原理可知，离子在垂直于纸面内做匀速圆周运动，沿水平方向做加速运动，则v1增大，v2不变，v1与v故选B。【变式训练1】如图所示，以竖直向上为轴建立坐标系，空间中存在匀强电场和匀强磁场。匀强电场的电场强度方向沿着轴正向，大小为，匀强磁场的磁感应强度为，方向未知。现有一个质量为、电荷量为的带正电的小球恰好从点沿轴正方向以速度做匀速直线运动，为重力加速度，下列说法不正确的是（）A．匀强磁场的方向一定沿轴正方向B．若的方向改为沿轴正方向，则改变磁场方向，可使小球仍做匀速直线运动，磁感应强度大小可能为C．若撤去电场，小球运动的最低点坐标可能为D．若撤去电场，小球第一次返回到平面的可能坐标为（，）【答案】A【详解】A．小球受向下的重力mg和沿z轴向上的电场力因小球恰好从点沿轴正方向以速度做匀速直线运动，则匀强磁场的方向与y轴平行，可能沿轴正方向，也可能沿y轴负向，选项A错误，符合题意；B．若的方向改为沿轴正方向，则改变磁场方向，可使小球仍做匀速直线运动，则小球受电场力重力mg和洛伦兹力qvB三力平衡，由平衡条件可知解得磁感应强度大小可能为选项B正确，不符合题意；CD．若磁场方向沿y轴正方向，撤去电场，把小球的速度看成是沿x轴正方向的v1和负方向的v1还有沿y轴的v，沿x轴正方向的v1产生的洛伦兹力与mg平衡，即粒子在负方向的v1的洛伦兹力作用下做圆周运动，和沿着y轴做匀速运动，经过半个周期到达最低点，则回到xOy平面时，则选项CD正确。此题选择不正确的，故选A。【变式训练2】如图所示，长方体空间被平面MNPO分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一电子以某一速度从长方体左侧垂直Oyz平面进入并穿过两磁场区域，关于电子运动轨迹在下列坐标平面内的投影，可能正确的是（）A．B．C． D．【答案】A【详解】由左手定则可以判断出电子在两磁场中的洛伦兹力方向，沿着轴负方向看，电子在洛伦兹力的作用下，在平面MNPO的左侧区域，电子沿逆时针做圆周运动，在平面MNPO的右侧区域，电子沿顺时针做圆周运动，所以电子运动轨迹在坐标平面内的投影如选项A所示，在平面内的投影应该是一条平行于轴的直线。故选A。【变式训练3】如图所示，以棱长为L的正方体顶点O为原点建立三维坐标系，其中正方体的顶点P落在x轴上，顶点Q落在y轴上。一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子（重力不计）由Q点沿x轴正方向以初速度射入正方体，第一次只加沿z轴负方向磁感应强度大小为B的匀强磁场，该粒子恰好能通过OQ的中点；第二次只加沿y轴负方向电场强度大小为E的匀强电场，该粒子恰好能通过OP的中点；第三次同时加上与前两次等大的磁场和电场，其中磁场方向不变，将电场方向调整为与yOz平面平行，与z轴正方向成30°角、与y轴正方向成60°角。则（

）A．第一次和第二次该粒子在正方体内运动的时间相等B．电场强度和磁感应强度的大小满足C．第三次该粒子的运动为匀变速曲线运动D．第三次该粒子离开正方体时的位置坐标为（L，L，L）【答案】C【详解】A．第一次粒子在磁场中运动，半径为可知运动时间第二次粒子在电场中运动，运动时间故A错误；B．第二次运动中，粒子在方向上匀变速直线运动解得故有B错误；C．第三次运动过程中，带电粒子所受电场力洛伦兹力在平面内，如图所示，沿轴方向有电场力沿轴的分量让粒子在轴正向加速，故粒子的运动为从点以速度沿轴正向做匀速直线运动以及沿轴正向做匀加速直线运动的合运动，即匀变速曲线运动，C正确；D．粒子在方向上解得方向上方向上的坐标为，故出射点坐标为，D错误。故选C。【变式训练4】如图所示，一个圆柱体空间过旋转轴平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一电子以某一速度从圆柱体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于电子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【详解】AB．根据左手定则，电子所受的磁场力和磁场方向垂直，电子始终在xOy平面内运动，在圆柱体左侧做逆时针圆周运动，在圆柱体的右侧做顺时针圆周运动，A正确，B错误；C．因为电子始终在xOy平面内运动，z轴坐标为正值且不变，x轴的坐标先负值后正值，其投影如图所示C错误；D．因为电子始终在xOy平面内运动，z轴坐标为正值且不变，在y轴方向上的位移始终为正值，其投影如图所示D错误。故选A。1．（2025·广东·高考真题）某同步加速器简化模型如图所示，其中仅直通道PQ内有加速电场，三段圆弧内均有可调的匀强偏转磁场B。带电荷量为、质量为m的离子以初速度从P处进入加速电场后，沿顺时针方向在加速器内循环加速。已知加速电压为U，磁场区域中离子的偏转半径均为R。忽略离子重力和相对论效应，下列说法正确的是（）A．偏转磁场的方向垂直纸面向里B．第1次加速后，离子的动能增加了C．第k次加速后．离子的速度大小变为D．第k次加速后，偏转磁场的磁感应强度大小应为【答案】D【详解】A．直线通道有电势差为的加速电场，粒子带正电，粒子沿顺时针方向运动，由左手定则可知，偏转磁场的磁感应强度方向垂直纸面向外，故A错误；BC．根据题意，由动能定理可知，加速一次后，带电粒子的动能增量为，由于洛伦兹力不做功，则加速k次后，带电粒子的动能增量为，加速k次后，由动能定理有解得故BC错误；D．粒子在偏转磁场中运动的半径为，则有联立解得故D正确。故选D。2．（2024·湖北·高考真题）如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是（）A．粒子的运动轨迹可能经过O点B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为【答案】D【详解】AB．在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出的；根据圆的特点可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，故AB错误；C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域，时间最短则根据对称性可知轨迹如图则最短时间有故C错误；D．粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图所示设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知根据洛伦兹力提供向心力有可得故D正确。故选D。3．（2023·北京·高考真题）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，固定一内部真空且内壁光滑的圆柱形薄壁绝缘管道，其轴线与磁场垂直。管道横截面半径为a，长度为l（）。带电粒子束持续以某一速度v沿轴线进入管道，粒子在磁场力作用下经过一段圆弧垂直打到管壁上，与管壁发生弹性碰撞，多次碰撞后从另一端射出，单位时间进入管道的粒子数为n，粒子电荷量为，不计粒子的重力、粒子间的相互作用，下列说法不正确的是（）A．粒子在磁场中运动的圆弧半径为aB．粒子质量为C．管道内的等效电流为D．粒子束对管道的平均作用力大小为【答案】C【详解】A．带正电的粒子沿轴线射入，然后垂直打到管壁上，可知粒子运动的圆弧半径为r=a故A正确，不符合题意；B．根据可得粒子的质量故B正确，不符合题意；C．管道内的等效电流为单位体积内电荷数为则故C错误，符合题意；D．由动量定理可得粒子束对管道的平均作用力大小联立解得故D正确，不符合题意。故选C。4．（2022·广东·高考真题）如图所示，一个立方体空间被对角平面划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是（）A． B．C． D