8.1基本立体图形（第2课时 圆柱、圆锥、圆台）（教案）

第八章立体几何初步8.1基本立体图形第2课时圆柱、圆锥、圆台一、教学目标1.通过计算机模拟或者利用实物概括出圆柱、圆锥、圆台的几何结构特征；2.能用数学语言概述圆柱、圆锥、圆台的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；3.通过对圆柱、圆锥、圆台的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。二、教学重难点1.让学生观察大量空间实物及计算机模型，进而概括出圆柱、圆锥、圆台的结构特征；2.会进行旋转体的相关计算.三、教学过程：（1）创设情景通过上节课学习了棱柱、棱锥、棱台等多面体，那么生活中常见的旋转体有哪些？它们具有什么样的结构特点？阅读课本以及通过计算机模拟生活中的一些物体,让学生小组合作完成以下问题（2）新知探究问题1：什么是旋转体？旋转体包含哪些图形？让学生仔细观察这些物体,回答出概念.问题2：能否通过观察给出圆柱、圆锥、圆台、球的定义？它们具有什么样的结构特点？让学生仔细观察这些物体,小组合作，让学生畅所欲言，学生之间质疑，教师从旁引导学生不断揭示它们联系和区别。问题3：什么是简单组合体，它们具有什么样的结构特点？让学生仔细观察这些物体,回答出概念，并找出它们的结构特征。圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。圆柱的构成：旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。圆柱的表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱O’O。练习：判断正误(1)圆柱的底面是圆面()(2)经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面()(3)夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体()(1)√,圆柱的底面是圆面．(2)√,如图所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；(3)×，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体。圆柱的构成：旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；绕着轴的边旋转而成曲面叫做圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。圆锥的表示法：用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥SO。练习：下列说法正确的是（）A．以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥B．以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥C．经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形D．圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径【答案】BCD【解析】A不正确，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥；B正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；C正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；D正确，如图所示，圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍（即直径）．故选：BCD．圆台的定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台。圆台的构成：旋转轴叫做圆台的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面；绕着轴的边旋转而成曲面叫做圆台的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆台侧面的母线。圆台的表示法：用表示它的轴的字母表示，如图，圆台O’O。练习：判断正误(1)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台（）(2)圆台中过轴的截面是轴截面（）(3)圆台的轴截面是等腰梯形（）(1)×直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(2)(3)√球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体。球的构成：半圆的圆心叫做球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径，球的表示法：用球心字母O表示，如图，球O。注意：常见空间几何体有棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球。其中棱柱、圆柱统称为柱体，棱锥、圆锥统称为锥体，棱台、圆台统称为台体，所以简单空间几何体概括分类为：柱体、锥体、台体和球体。简单组合体的定义：由简单几何体组合而成的几何体叫作简单组合体．简单组合体的构成：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成.（4）数学运用例1.给出下列命题：A.圆柱的母线与它的轴可以不平行；B.圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；D.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的选项是（）【答案】BD【解析】圆柱的母线与它的轴平行，故A错误；圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形，故B正确；在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线，故C错误；圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的，故D正确；故选：BD.例2.求下列值：（1）圆柱的轴截面是正方形，它的面积为，求圆柱的高与底面的周长.（2）圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是，求该圆锥的底面半径、圆锥的高与母线的长.（3）圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为cm，cm，高为cm，求圆台母线的长.【答案】（1）3；；（2），，；；（3）5cm.【解析】（1）因为圆柱的轴截面是正方形，设高为h，底面半径为r，因为轴截面的面积为，所以，解得，则，所以底面的周长.（2）因为圆锥的轴截面是正三角形，设母线的长为，则半径为r，高为h，因为轴截面的面积是，所以，即，解得，所以该圆锥的底面半径为，圆锥的高，母线的长为2.（3）因为圆台的轴截面中，上、下底面边长分别为cm，cm，高为cm，所以.变式训练:已知圆锥的顶点为，底面圆心为，底面半径为，高为1，和是底面圆周上两点，则圆锥的侧面展开图的圆心角为___________；面积的最大值为___________.【答案】2【解析】设侧面展开图的圆心角为，则；如图，和都是圆锥的母线，则，设圆锥经过，的截面为，在直角三角形中，，可得的顶角为120°，所以面积的最大值为.故答案为：，2例3.已知圆锥的母线长为4cm,圆锥的底面圆半径为1cm,一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上A点出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点A,则求蚂蚁爬行的最短路程为多少cm.

【答案】【解析】由题意得,底面圆的直径为2cm,故底面圆的周长为2πcm.设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°.根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长,得2π=,解得n=90,所以展开图中扇形的圆心角为90°,所以蚂蚁爬行的最短路程是=cm.变式训练:《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（）A．21尺 B．25尺C．29尺 D．33尺【答案】C【解析】如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF，由题意得2丈=20尺，圆周长BE=3尺，则葛藤绕圆柱7周后长为尺，故选：C.四、小结：圆柱圆锥圆台球简单组合体A级必备知识基础练1.[探究点一]下列说法正确的是()A.到定点的距离等于定长的点的集合是球B.球面上不同的三点可能在同一条直线上C.用一个平面截球,其截面是一个圆D.球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面2.[探究点二]日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是()A.一个棱柱中挖去一个棱柱B.一个棱柱中挖去一个圆柱C.一个圆柱中挖去一个棱锥D.一个棱台中挖去一个圆柱3.[探究点三]《九章算术》中有这样的图形:今有圆锥,下周三丈五尺,高五丈一尺(1丈=10尺);若该圆锥的母线长x尺,则x=()A.7024πC.3524π4.[探究点一·2023湖北武汉期中]下列说法正确的是 ()A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段C.以直角三角形的一条边所在的直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D.用一个平面截圆锥,得到一个圆锥和圆台5.[探究点三]已知一个圆锥的母线长为6,底面半径为3,用该圆锥截出一个圆台,所得圆台的母线长为4,则圆台的另一底面半径为.

6.[探究点三]已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形,则该圆柱的底面半径为.

7.[探究点三]已知圆锥的底面半径为r,高为h,且正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥,求这个正方体的棱长.8.[探究点三]从一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l(l<R)并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.B级关键能力提升练9.下列说法错误的是()A.正棱锥的所有侧棱长均相等B.圆柱的母线垂直于底面C.直棱柱的侧面都是全等的矩形D.用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角形10.(多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法,其中说法正确的是()A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D.由一个长方体与两个四棱台组合而成的11.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面半径的比是1∶4,且该圆台的母线长为9,则截去的圆锥的母线长为()A.94 B.3 C.12 D.12.已知圆柱的轴截面是正方形,其面积为Q,则它的一个底面的面积为()A.Q B.πQ C.πQ4 D13.一个三棱锥的各棱长均相等,其内部有一个内切球,即球与三棱锥的各面均相切,过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面,所得截面是下列图形中的()14.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是.(填序号)

15.圆台上底面面积为π,下底面面积为16π,用一个平行于底面的平面去截圆台,该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1,求这个截面的面积.C级学科素养创新练16.如图,模块①~⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.(1)若从模块⑥中拿掉一个小正方体,再从模块①~⑤中选出一个模块放到模块⑥上,使得模块⑥成为长方体,则①~⑤中选出的模块可以是.(答案不唯一)

(2)若从模块①~⑤中选出3个放到模块⑥上,使模块⑥成为棱长为3的大正方体,则选出的3个模块是.(答案不唯一)

17.圆台的上、下底面半径分别为5cm、10cm,母线长AB=20cm,从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点(B在下底面),求:(1)绳子的最短长度;(2)在绳子最短时,上底面圆的圆周上的点到绳子的最短距离.

参考答案1.D对于A,球是球体的简称,球体的外表面我们称之为球面,球面是一个曲面,是空心的,而球是几何体,是实心的,故A错误;对于B,球面上不同的三点一定不共线,故B错误;对于C,用一个平面截球,其截面是一个圆面,而不是一个圆,故C错误.D正确.故选D.2.B3.C易知三丈五尺=35尺,五丈一尺=51尺,设圆锥的底面半径为r,高为h,则2πr=35,所以r=352π,所以x=r2+4.B对于A,虽然各侧面都是正方形,但底面不一定是正方形,所以该四棱柱不一定是正方体,故A错误;对于B,球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”,故B正确;对于C,以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥,以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体,故C错误;对于D,用一个平行于底面的平面截圆锥,得到一个圆锥和圆台,故D错误.故选B.5.1作轴截面如图,则r3=6-46.2设圆柱底面半径为r,由于圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形,所以圆柱的高为2r,且(2r)2=16,解得r=2.7.解过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面,如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x,则在轴截面中,正方体的对角面A1ACC1的一组邻边AA1和AC的长分别为x和2x.因为△VA1C1∽△VMN,所以2x所以2hx=2rh-2rx,所以x=2rℎ故该圆锥的内接正方体的棱长为2ℎr8.解轴截面如图.被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C=R,圆锥的截面圆的半径O1D设为x.∵OA=AB=R,∴△OAB是等腰直角三角形.又CD∥OA,则CD=BC.∴x=l.∴截面面积S=πR2-πl2=π(R2-l2)(l<R).9.C对于A,根据正棱锥的定义知,正棱锥的所有侧棱长均相等,故A正确;对于B,根据圆柱的定义可知圆柱的母线与底面垂直,故B正确;对于C,直棱柱的侧面都是矩形,但不一定全等,故C错误;对于D,圆锥的轴截面是全等的等腰三角形,故D正确.10.AB如图,该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成.故选项AB正确.11.B根据题意,设圆台的上、下底面的半径分别为r,R,设圆锥的母线长为L,截去的小圆锥的母线长为l,∵圆台的上、下底面互相平行,∴lL=rR=∵圆台的母线长为9,可得L-l=9,∴34L=9,解得L=12,∴截去的圆锥的母线长为12-9=312.C圆柱的轴截面一边为高,另一边为底面的直径,由轴截面为正方形可知,高与底面直径均为Q,所以底面半径为Q2,所以底面的面积为π·Q13.C易知