2026年上海市浦东新区中考数学二模试卷（含解析）

2026年上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．在多项式中，一次项是（）A．3 B． C． D．2．下列运算中，计算正确的是（）A． B． C． D．3．已知函数图象上的两点，、，，当时，一定满足此规律的函数是（）A． B． C． D．4．一个不透明的袋子里装有4个红球、3个白球和2个蓝球，这些球只有颜色不同，随机从中摸出一个球，要使摸到红球的概率为，以下方法不可行的是（）A．往袋中放入一个红球 B．往袋中放入一个绿球 C．从袋中取出一个蓝球 D．从袋中取出一个白球5．第67届国际奥林匹克数学竞赛将于2026年7月在上海举行．在上届比赛中，中国队发挥出色，获得团体总分第一名，也是当届比赛中唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用以下公式来计算：．根据以上信息，下列叙述中不正确的是（）A．中国队共有6名同学参赛 B．众数是36 C．中位数是38 D．平均数是38.56．已知四边形中，，，下列判断中正确的是（）A．如果，那么四边形是等腰梯形 B．如果，那么四边形是菱形 C．如果平分，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是正方形二、填空题（共12题，每题4分，满分48分）.7．分解因式：．8．化简：．9．方程组的解是．10．方程的解是．11．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是．12．将抛物线向上平移2个单位，得到新抛物线的表达式是．13．某学校对学生参与社团情况做了调查，并将调查的数据整理后绘制成如图所示的扇形统计图（每个学生只能参加一个社团）．如果参加编程社的学生有120人，那么参加绘画社的学生有人．14．如图，在△中，，平分，如果，，那么关于、的分解式为．15．2026年3月29日，中关村论坛年会发布重大成果，中科院物理所团队首次实现二维金属．二维金属是极薄的单原子层金属材料，厚度超小．已知某二维金属材料厚米，一根头发丝直径约0.03毫米，换算为米是米．则头发丝直径是该二维金属材料厚度的倍．（用科学记数法表示）16．如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为．17．如图，已知弦、在圆心的同侧，且是内接正三角形的一条边，是内接正六边形的一条边，．如果也是的内接正边形的一条边，那么的值为．18．如图，在△中，，，，点，分别在边、上，且的值为．以为圆心，为半径作圆，如果与△的三边有三个公共点，那么的值为．三、解答题（共78分）19．（10分）计算：．20．（10分）解不等式组：．21．（10分）在平面直角坐标系（如图），已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，过点作轴的垂线，与反比例函数的图象相交于点．（1）求的值和反比例函数的解析式；（2）联结，点是的中点，联结，求的长．22．（10分）折纸是承载中国传统礼俗与生活智慧的民间传统艺术．学校折纸社团的同学们用正方形纸片开展折纸活动．【发现问题】如图1，将正方形纸片对折再展开，折痕交于点、交于点，点、分别是边、的二等分点．在第一次对折后，同向再对折一次（如图，可得到边的等分点．按照这样的方式对折次是正整数）可以得到边的等分点（用含的代数式表示），但这样折的方式都不会得到边的三等分点．【提出问题】能不能通过折纸的方式得到边的三等分点？【分析问题】围绕这个问题，同学们展开了讨论．小明：共得到边的三等分点，得想想别的折法．小华：同向对折的方式得不到边的三等分点，能否通过把角翻折到边上，构造出的比例？小海：嗯，我是这样想的，在第一次对折展开（如图的基础上，将点沿着直线翻折到点处（如图，折痕分别交正方形的边于点、．边交正方形的边于点，就是边的一个三等分点．【解决问题】（1）完成填空；（2）求的长；（3）判断小海的折法是否正确并说明理由．23．（12分）已知：如图，与相交于点、，且，过点的直线分别交、于点、，且，点是线段的中点．联结并延长交于点，且．（1）求证：；（2）求证：四边形是菱形．24．（12分）定义：如果一个二次函数的图象与一次函数的图象相交于坐标轴上的两个点，那么称此二次函数为这个一次函数的“贯轴抛物线”．（1）已知是一次函数的一条“贯轴抛物线”，求、的值；（2）已知一次函数（其中为常数，的图象与轴、轴分别交于点、点，它的一条“贯轴抛物线”与轴的另一个交点为，顶点在第一象限．如果在轴上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值；（3）一个二次函数既是一次函数又是一次函数（其中为常数，的“贯轴抛物线”．且此二次函数图象与轴分别交于、两点（点在点的左边），与轴交于点．如果二次函数图象上始终存在点，且在第四象限，使得，求满足条件的的取值范围．25．（14分）在中，点、分别在边、上，联结、、，．（1）如图1，联结，如果，求证：△△；（2）已知，联结．①如图2，如果点、关于直线对称，求的值；②如图3，如果，，求的值．

参考答案一、选择题（共24分，每小题4分）1．在多项式中，一次项是（）A．3 B． C． D．【分析】在多项式中，有三项：第一项的次数是2，所以这一项是二次项；第二项的次数是1，所以这一项是一次项；第三项：是常数项，次数为0，根据上述分析，一次项是．解：在多项式中，一次项是．故选：．2．下列运算中，计算正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据单项式乘单项式法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则分别计算判断即可．解：、，故此选项不符合题意；、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；、，故此选项符合题意；、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；故选：．3．已知函数图象上的两点，、，，当时，一定满足此规律的函数是（）A． B． C． D．【分析】首先判断此函数是函数随的增大而增大，然后结合一次函数、反比例函数、二次函数以及常数函数的性质判断即可．解：函数图象上的两点，、，，当时，此函数随的增大而增大，、函数中，随的增大而增大，满足时，故符合题意；、函数的图象是平行于轴的直线，无论怎么变化，的值始终是1，当时，不满足，故不合题意；、函数的图象在一、三象限的双曲线，在每个象限内，随的增大而减小．故不合题意；、函数的图象开口向下，对称轴为轴，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故不符合题意；故选：．4．一个不透明的袋子里装有4个红球、3个白球和2个蓝球，这些球只有颜色不同，随机从中摸出一个球，要使摸到红球的概率为，以下方法不可行的是（）A．往袋中放入一个红球 B．往袋中放入一个绿球 C．从袋中取出一个蓝球 D．从袋中取出一个白球【分析】根据概率公式即可得出结论．解：一个不透明的袋子里装有4个红球、3个白球和2个蓝球，要使摸到红球的概率为，红球的个数占总个数的，往袋中放入一个红球或从袋中取出一个蓝球或从袋中取出一个白球，故选：．5．第67届国际奥林匹克数学竞赛将于2026年7月在上海举行．在上届比赛中，中国队发挥出色，获得团体总分第一名，也是当届比赛中唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用以下公式来计算：．根据以上信息，下列叙述中不正确的是（）A．中国队共有6名同学参赛 B．众数是36 C．中位数是38 D．平均数是38.5【分析】根据方差的定义及题目所给方差的计算公式逐一判断即可．解：．由方差的计算公式知我国一共派出了6名选手，此选项正确，不符合题意；．众数是36和42，不正确，符合题意；．中位数是，此选项正确，不符合题意；．平均数是，此选项正确，不符合题意；故选：．6．已知四边形中，，，下列判断中正确的是（）A．如果，那么四边形是等腰梯形 B．如果，那么四边形是菱形 C．如果平分，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是正方形【分析】根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理进行判断即可．解：．如果，那么四边形可能是等腰梯形，也可能是矩形，错误；．如果，那么四边形是矩形，错误；．如果平分，那么四边形是矩形，正确；．如果，那么四边形不一定是正方形，错误；故选：．二、填空题（共48分，每小题4分）7．分解因式：．【分析】直接利用平方差公式进行分解即可．解：原式．故答案为：．8．化简：2．【分析】根据同分母的分式相减，分子直接相减计算即可．解：根据同分母的分式相减，分子直接相减计算：，故答案为：2．9．方程组的解是．【分析】对因式分解，得．代入，得．联立，求出未知数即可．解：由得：，可得方程组：，①②得：，，将代入①得：，所以方程组的解为：．故答案为：．10．方程的解是．【分析】先把方程两边平方得到，再解一次方程，然后进行检验确定原方程的解．解：，，解得，检验：当时，左边，所以左边右边，为原方程的解，所以原方程的解为．故答案为：．11．如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是．【分析】根据一元二次方程的定义及一元二次方程根的判别式得出关于的不等式组，求出的取值范围即可．解：关于的一元二次方程有实数根，△，解得，故答案为：．12．将抛物线向上平移2个单位，得到新抛物线的表达式是．【分析】根据“上加下减”的平移法则即可解决问题．解：由题知，将抛物线向上平移2个单位长度后，得到新抛物线的表达式是．故答案为：．13．某学校对学生参与社团情况做了调查，并将调查的数据整理后绘制成如图所示的扇形统计图（每个学生只能参加一个社团）．如果参加编程社的学生有120人，那么参加绘画社的学生有80人．【分析】根据参加编程社的学生的人数求出总人数，求出参加绘画社的学生人数的占比，用总人数乘以该占比即可．解：参加编程社的学生有120人，占比，总人数（人，绘画社的学生的占比为，参加绘画社的学生有人，故答案为：80．14．如图，在△中，，平分，如果，，那么关于、的分解式为．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据平面向量三角形运算法则求解．解：，平分，，，故答案为：．15．2026年3月29日，中关村论坛年会发布重大成果，中科院物理所团队首次实现二维金属．二维金属是极薄的单原子层金属材料，厚度超小．已知某二维金属材料厚米，一根头发丝直径约0.03毫米，换算为米是米．则头发丝直径是该二维金属材料厚度的倍．（用科学记数法表示）【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．解：．故答案为：．16．如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为68．【分析】过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．解：过作于，过作于，则△中，，同理可得，，又点与之间的距离为，通过闸机的物体的最大宽度为．故答案为：68．17．如图，已知弦、在圆心的同侧，且是内接正三角形的一条边，是内接正六边形的一条边，．如果也是的内接正边形的一条边，那么的值为12．【分析】根据圆内接正三角形，圆内接正六边形的性质求出中心角，，再根据平行弦所夹的弧相等以及圆心角、弧、弦之间的关系求出的度数，进而求出的值即可．解：如图，连接、、、，是内接正三角形的一边，，是内接正六边形的一边，，与在圆心的同侧，且，，，即圆内接正边形的中心角是，，即是圆内接正十二边形的一边，故答案为：12．18．如图，在△中，，，，点，分别在边、上，且的值为．以为圆心，为半径作圆，如果与△的三边有三个公共点，那么的值为或4．【分析】利用勾股定理表示出圆的半径，通过相似三角形或三角函数关系表示出圆心到斜边的距离，最后根据距离与半径的关系列方程．解：设，则．在△中，，即的半径．在△中，．过点作于点．，，△△，，即，若与△的三边有三个公共点，则与边相离（因为上有2个点，上有1个点，若上有交点则总数．，，，，，考虑到题目求特定值，取边界值（即圆与相切时），另一种情况：已知，，半径，，则．当与△的三边有三个公共点时，除了圆与相切的情况，还存在圆经过点的情况：此时在圆上），即：，，此时验证各边交点：上：到的距离为，圆与有1个交点（在边上）；上：在圆上，圆与有1个交点（B）；（除外的另一个交点）；总交点数为，符合题意．此时．故答案为：或4．三、解答题（共78分）19．（10分）计算：．【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂、立方根、特殊角的三角函数值计算，再根据实数的混合运算法则计算即可．解：．20．（10分）解不等式组：．【分析】先分别解出两个一元一次不等式，再取它们的公共部分，即为不等式组的解集．解：，解不等式①得，，解不等式②得，，不等式组的解集为：．21．（10分）在平面直角坐标系（如图），已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，过点作轴的垂线，与反比例函数的图象相交于点．（1）求的值和反比例函数的解析式；（2）联结，点是的中点，联结，求的长．【分析】（1）由正比例函数的解析式求得的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）把代入反比例函数的解析式求得，进而求得，然后利用勾股定理即可求得．解：（1）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，，反比例函数的解析式为；（2）过点作轴的垂线，与反比例函数的图象相交于点，把代入，得，，点是的中点，，．22．（10分）折纸是承载中国传统礼俗与生活智慧的民间传统艺术．学校折纸社团的同学们用正方形纸片开展折纸活动．【发现问题】如图1，将正方形纸片对折再展开，折痕交于点、交于点，点、分别是边、的二等分点．在第一次对折后，同向再对折一次（如图，可得到边的四等分点．按照这样的方式对折次是正整数）可以得到边的等分点（用含的代数式表示），但这样折的方式都不会得到边的三等分点．【提出问题】能不能通过折纸的方式得到边的三等分点？【分析问题】围绕这个问题，同学们展开了讨论．小明：共得到边的三等分点，得想想别的折法．小华：同向对折的方式得不到边的三等分点，能否通过把角翻折到边上，构造出的比例？小海：嗯，我是这样想的，在第一次对折展开（如图的基础上，将点沿着直线翻折到点处（如图，折痕分别交正方形的边于点、．边交正方形的边于点，就是边的一个三等分点．【解决问题】（1）完成填空；（2）求的长；（3）判断小海的折法是否正确并说明理由．【分析】（1）根据题意可得答案；（2）设，则由折叠的性质可得，求出的长，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案；（3）证明，得到．则，可求出，据此可得结论．解：（1）由题意得，第一次对折后，同向再对折一次（如图，可得到边的四等分点．按照这样的方式对折次是正整数）可以得到边的等分点；故答案为：四，；（2）设．四边形是正方形，，是的中点，，，．△中，，．解得．（3）小海的折法正确，理由如下：四边形是正方形，，，即，又，．．，，解得．由可知，是边的一个三等分点．23．（12分）已知：如图，与相交于点、，且，过点的直线分别交、于点、，且，点是线段的中点．联结并延长交于点，且．（1）求证：；（2）求证：四边形是菱形．【解答】证明：（1）过点于点，如图1所示：根据垂径定理得：，，的延长交于点，且，根据垂径定理得：，，四边形是梯形，，，，，又，，，又点是的中点，是梯形的中位线，，，；（2）连接交于点，如图2所示：根据相交两圆的性质得：，且，，由（1）可知：，，在△和△中，，△△，，