南京理工大学《线性代数》练习册(二)

一.判断题（正确打J,错误打X）

1若见不能由四,%，…，%-1线性表示，则为,%，…，氏线性无关•（义）

解答：反例：取%=0,。2工°，则%不能由四线性表示，但•四,%线性相关.

2.若%,%，%与用血等价，则为，%，%线性相关.（V）

解答：因为等价的向量组具有相同的秩，所以

砥%,%,%）=R（P\,）<2<3,所以向量组电,%，%线性相关.

3.如果/?可由4,%，％唯一线性表示，则。1，%，。3线性无关，（'）

解答：向量/能由向量组A唯一线性表示的充分必要条件是

砥%，。2,…，区〃，尸）=R（%，％，…，%J=6；

所以/?（%,%,%）=3,所以％,。2，。3线性无关.

4.向量组的秩就是它的最大线性无关组的个数.（X）

解答：正确结论：

向量组的秩就是它的最大线性无关组所含向量的个数.

5.若向量组/夕只有一个极大无关组，则心月，7线性无关.（X）

解答：反例：取QWO,夕=/=0,则向量组华民产只有一个最大无关

组a，但a],/线性相关.

正确命题：若a,线性无关，则a,人/只有一个最大无关组.

二.单项选择题

1.设向量组（1）:即。2,%能由向量组（2）:外人线性表示，则（A）.

（A）向量组（1）线性相关；（B）向量组（1）线性无关；

（C）向量组（2）线性相关；（D）向量组（2）线性无关.

解答：因为3>2,且a,%,%能由以，夕2线性表示，由鸟5推论1可知%，%，出线

性相关.所以选项（A）正确.

2.设〃维向量组%，%,・・•0,〃线性无关，则（B）.

（A）向量组中增加一个向量后仍线性无关；

（B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关；

（C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关；

（D）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关.

解答：根据“全体无关灯部分无关”知选项（B）正确.

注意（D）,“向量组中每个向量任意增加一个分量后”不是

原来的延伸向量组，所以不能保证还线性无关.

例如

HArn

<|\__

%=,%=线性无关，但。1=2,如=2线性相关.

3.下列命题错误的是（C）

（A）若〃维向量组％,。2,…，4〃中没有一个向量能由其余向量线性表示，则该向量

组线性无关；

（B）若〃维向量组四,。2,…，。〃’的秩小于〃？，则此向量组线性相关；

（C）若〃维向量组%,%，…，%线性无关，向量组4,色，…反也线性无关，则向

量组%，%，…，氏，四,02,…0s的秩为r+s.

（D）任何一组不全为零的数匕,&…"「使匕%+&%+…+£*%工0,则向量组

%,%，…，见线性无关・

解答：由定义或定理即知选项（A）,（B）,（D）均正确.

选项（C）错误.反例

，2、

«1-0卬2-1线性无关，A-0也线性无关，但是%,%，氏的秩是2,

而不是3.

4.设A：%,%，%，%是一组〃维向量，且%。2，。3线性相关，则（D）.

（A）A的秩等于4;（B）A的秩等于〃；

（C）A的秩等于1;（D）A的秩小于等于3.

：，，

解答：因为二线性相关，所以A416^♦,。，3。r4线性相关，

所以R（A）43.

5.已知向量组%,%，%线性无关，则下面线性无关的向量组是（Q.

(A)(B)

(C)%+4，4+«；(D)a,I+2%/,3%/+5aI.,-a./+8。，.

解答：方法一

1-10110

(A):01-1=0;(B)011=0；

-101-101

110120

(C)：011=2；(D)350=0.

101-180

方法二（%—CT?）+（12・二3）+（%—«）=0，

（%+%）—（％+4）+Q—a）=o，

知（A）、（B）均线性相关.由替换定理的推论知（D）线性相关.故应选（C）（可用线性无关的定

义证明线性无关）.

三.填空题

1.设〃维向量%线性无关，则向量组%-%，。2一%，。3一的秩，.一

2

1-10

解答：因为。1-1=0,所以%一。2，。2—。3，二3一名线性相关，

-101

(或者因为(%—%)+(%—)+(%—二1)=0，

所以名一。2，々2—。3，。3—。।线性相关)

但一1”。？一。3线性无关，所以〃=2.

(设左](%—%)+6(％—%)=0,则有

k}a]+(k2-k})a2-k2a3=0

因为线性无关，所以匕=k,=0,所以区一%，心一4线性

无关.)

2.已知%=(1,2,-1,0),a2=(1,1,0,2),%=(2,1,1,。).若由。1,4，明生成的向量

空间的维数为2,则"6.

解答：方法一因为由生成的向量空间的维数为2,而。1,戊,线性无关，所

2=%+匕

1~

1=224-k

以巴可由巴，唯一线性表示，所以%=匕%+匕％,即彳12,解得

--1=一匕

a=2k2

a=6.

方法二因为。1,a2,23生成的向量空间的维数为2,所以。1,。2，%线性相

美,从而笈=(1,2,0),—=(1,1,2),/=QI。)也线性相关，于是

120

112-0解得a=6.

21a

3.设向量组%,a2,。加线性无关，向量夕不能由它们线性表示，则向量组

%，％，…，%〃，/的秩为〃?+L

解答：因为名,线性无关，所以〃a1，%，…,区〃，尸）工m+1，若

R（%,。2,…，即，［）=mV6+1，则即。2,…，斯，）线性相关，于是夕能由

%,a2，…，。加线性表示，与己知矛盾，故R（弓，。2,…，。加，/）=6+1・

(2)

=与向量组4=149不等价，则常数

4.若向量组e=“I9。2A=

8◎

-■4

.3

解答：显然%,%线性无关，如果用，四也线性无关，则它们均是全体2维向量组的最

4

大无关组，故两个向量组等价，与题设矛盾，所以应该是后,四线性相关，所以攵=§・

5.已知向量组a,人/线性相关，而向量组四线性无关，则向量

组a,人产的最大无关组为民九

解答：因为/?,7,5线性无关，所以△/线性无关，而a,夕,7线性相关，所以向量组

〃小的最大无关组为力,7.

四.判断下列向量组的线性相关性，并说明理由.

1.Q1=（x,y,z）,a2=（x,z,y）fa3=（2x92z92y）；

解答：因为。2，4线性相关，所以%，。2，%线性相关.

2.4=（x,y,z）,4=（%，z,y）,63=（y，z，。），夕4=（z,羽y）；

解答：四个三维向量一定线性相关.

3.匕二（1,2,3）,%二（0,2,3）,九二（1,3,2）；

123

解答：因为023=-5。0,所以线性无关.

132

4.=(1,67,1,1),82=(1,/?,1,()),“=(1，G。，。).

解答:因为用］=(1,1,1),22=(1』，°)，心3=(1,0,0)线性无关,

所以d&=(1力1,0),&=0,c,0,0)线性无关.

五.证明题

1.已知3维向量%,其中任意三个向量都线性无关，证明每一个向量都能由

其余三个向量线性表示.

证明因为〃+1个〃维向量必定线性相关，所以%,々2，。3，%必线性相关，则存在不全

为零的数占次2/3，3，使得

占21+k2a2+k3a3+k4a4=0.

其中必有4工0,否则%二0,七次3，储不全为零，上式变为后2a2+43a3+>%=0,

这与任意三个向量都线性无关矛盾.于是

葭k.k,

cc,=-----%------%------%

k、-卜3卜4

即必可由其余三个向量线性表示.同理可证心工0,公。°，攵4。0,命题得证.

£1=0］+%+%

2.已知，尸2二%十%十2%,证明向量组%与〃1，〃2，〃3等价•

生=a、+2%+3a3

A=a［+a2+a3

证明：因为<用=。］+%+2%，所以尸］,22,层可由线性表示，又因为

区=%+2%+3a%

112001二一1。0,所以也可由夕1，22，夕3线性表示（或者直接由

123123

4=%+%+a3%=4+夕2一33

昆=%+%+2%解得，%=4—2,2+尸3)-

用=%+2a2+3a3%=~P\+22

3.已知向量组%+。2,%+%，%+%线性无关，证明向量组四，%，%也线

性无关.

4=%十%

证明：方法一记＜£2=%+。3，那么夕］,g2，夕3可由。2，。3线性表不，又

£3=4+%

因为

110

011=2工0,所以/,%，%可由4，夕2,四线性表示，所以两个向量组等价，从而

101

秩相等，而四,色,凡线性无关，所以线性无关.

（如果要解出名,%，%的话，可以这样做：二百％,所以

%/二力）

乙J乙ZJ。ZJ1

方法二（反证法）假设4,%,%线性相关，则秩（％，%，%）＜3,

因为4+%,%+%，%+%能由%,%,%线性表示，所以

a

秩（%+。2,。2+。3,。3+）4秩（%,。2，。3）V3,从而a}+CT?，i+。3，。3+

线性相关，与已知矛盾.

4.设〃维向量组（1）见的秩为小⑵:尸I，尸2,…，氏的秩为「2；⑶:

%十四,。2+区,・・・,氏+氏的秩为G•证明4+r2＞r3.

证明：不妨设«,I弓,・/・・,巴7|是名1，。4,，・・・,巴3的一个最大无关组，

4/?”…,凡是几尾，…，氏的一个最大无关组，则%+4%+&…，4+»可

由%,％小••,%/，河，…,底线性表示，所以/+弓24.

5.己知sN2且%，见,…，见线性无关，/?=%+%+…+见.证明向量组

B-a、、0-a?,…,0-a$线性无关.

证明：i己

%=/—%=%+%+,••+&，

a

,2=,—%=+4+…+s

•••••••••・••

九=〃一4二%+4+-・+。1

01­••1

I0•••I

因为二。一1）（一1）$-2工0,所以%,72，・一，儿可由々1，12，一・，。5

••••・•••••••

11­••0

线性表示，二者等价，秩相等，所以外,72，一・，九线性无关.

6.若向量组々],々2，一・，°,线性相关，证明对任意的实数2],攵2，一.，&，向量组

k{ax,k?%,…,也线性相关.

证明方法一如果《，月，…，人中至少有一个为零，则人名人见，…，上氏线性

相关.下面假设4,太,・・・,&全不为零.因为名，名,・•,,《线性相关，所以存在不全为零

的数4，4，…，4使得4al+无^H4as=0,所以

?（%]4）+3（42。2）一---卜，=0,

k、k?~&

j2o

由