高等数学教学课件41

科学出版社第四章微分中值定理与导数的应用科学出版社中值定理研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题

柯西中值定理->拉格朗日中值定理->罗尔定理

拉格朗日中值定理泰勒公式(第三节)推广建立函数与其导函数的桥梁应用科学出版社二、柯西(Cauchy)中值定理第一节三、拉格朗日(Lagrange)中值定理四、罗尔(Rolle)定理微分中值定理

第四章一、费马（Fermat）定理定义1.设函数在点的某邻域内有定义,若对任意有(),则称为函数的一个极大值并称为的极大值点一、费马(Fermat)定理(极小值)，(极小值点).定理1.证:则若函数f

在可导(导数有限或+∞或–∞)点x0取得极值,则不失一般性,设在的某邻域内有(费马定理)所以注:费马定理的推广:若函数f在x0

取得极大值,且在x0,f的左右导数均存在,则导数为零的点也称为驻点.点如果可导则一定是驻点.驻点只是可导函数极值点的必要条件，是极值点.例如,函数,在处,但显然不是的极值点.费马定理的几何解释：在极值点有唯一确定斜率的切线，费马定理告诉我们，极值即驻点不一定若曲线则该切线必平行于x轴.极小值点0不是驻点的例y=x2/3.

二、柯西(Cauchy)中值定理及

g连续，+∞或–∞),且则至少存在一点使如果函数f问题转化为证柯西在闭区间[a,b]上在开区间(a,b)上可导(有限或证:

作辅助函数不然必在(a,b)上取到极值，

分别设为M,m;由于,如果M

=m,

则不妨设在上取到极值，由费马定理，即：注:若条件加强为在(a,b)上g的导数不为零,本定理自然成立三、拉格朗日中值定理上连续，如果函数f可导(有限或+∞或–∞),则至少存在一点使证:在柯西中值定理中令g=x即得在闭区间[a,b]在开区间(a,b)上二、罗尔（Rolle

）定理如果函数f在开区间(a,b)上可导(导数有限

或+∞或–∞)，且

f(a)=f(b).使证:应用拉格朗日中值定理即得

则在(a,b)上至少存在一点在闭区间[a,b]上连续,

注:罗尔定理条件不全满足时,结论不一定成立.

例如,例1.

证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设错误!设令则拉格朗日中值定理的几何解释：线段上，至少有一点的切线平行于连接两端点的割线.拉格朗日中值定理还可以写成拉格朗日中值公式的有限增量形式:通常称定理中的公式和上式为拉格朗日中值公式.在直线所割的光滑曲推论1.若函数在区间I

上满足则在

I上必为常数.证:格朗日中值公式,得由的任意性知,在

I

上为常数.在

I

上任取两点推论2.若开区间内恒有则在内恒有为某一确定的常数证：令则由推论1知，为常数，推论3.如果在闭区间上连续，内可导的函数在内的导数处处不为零，且在则即例2.

证明等式证:

设由推论1可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:注:要证时只需证在

I

上例3.

证明不等式证:

设中值定理条件,即因为故因此应有柯西定理实质就是拉格朗日中值定理的参数方程形式.注意:弦的斜率切线斜率例4.至少存在一点使证:设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点

,使即证明问题转化为证设例5.

试证至少存在一点使证:

法1

用柯西中值定理.则f(x),g(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:例5.

试证至少存在一点使证法2令则f(x)在[1,e]上满足罗尔定理条件,使因此存在费马(1601–1665)费马法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:历经358年,直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决.引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的