【人教版】中职数学（基础模块）下册：74《向量的内积及其运算》教案

7.4.1向量的内积

【教学目标】

1.理解并掌握平面向量内枳的基本概念，会用已知条件来求向量的内枳.

2.掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题.

3.通过教学，渗透一切事物相互联系和相(制约的辩证唯物主义观点.

【教学重点】

平面向城内枳的概念，平面向量内积的基本性质及运算律.

【教学难点】

平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解.

【教学方法】

本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念.

【教学过程】

环节教学内容师生互动设计意图

一个物体在力F的作用下产生了位教师提出问题.并简单讲此引例体现了数

移s,那么力F所做的功应当怎样计算？解什么是功，让学生对功有个学知识与其他学科的

F

基本了解.联系，让学生了解所

师生共同计算这个力所做学内容在实际生活中

()()

的功.的具体应用.

力做的功为

导我们知道，功只有大小，

入W=1s11FIcos0,

没有方向，它由力和位移两个

其中。是尸与s的夹角.

向量来确定，这给我们种启

1F1cos0是F在物体前进方向上

示，能否把“功”看成是这两

分量的大小.

个向量的一种运算的结果呢？

1sI1FIcos夕称为位移s与力向

引出课题.

量尸的内积.

1.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量。与b,作凉=”，学生阅读课本，讨论并回此问题是为本课

答教师提出的问题:重点向量的内积概念

OB=b,则NA03叫向量〃与力的夹⑴当＜小方=0。和180。而准备.通过问题的

角.记作＜。,b＞,规定岳W180。.时。与b的方向是怎样的？详细探究给由概念，

新

课说明：(2)当阶=90°时,a比直接给出更符合学

(1)当＜4，力＞=0。时，。与〃同向；与力的方向又是怎样的？生的特点，容易被学

(2)当＜4,方＞=180。时,“与力反向；师生共同总结，师重点强生接受.

(3)当s,力＞=90°时，。与方垂直，调说明(4).

记做

(4)在两向量的夹角定义中，两向量

必须是同起点的.

2.向量的内积

已知非零向量a与方，力>为两向在本节中首次引

量的夹角,则数量|a||A|cos<a,切叫做教师直接给出向量内积的入了抽象的向量内积，

。与b的内积.记作基本表达式.学生往往只接受具体

a•b=\a\\b\cos«z,b>.教师引导学生学习向量内的基本表达式，而不能

规定：0向量与任何向量的内积为0.积的概念.接受a的含义，所

说明：学生阅读课本中向量内积以应让学生从符号的

(1)两个向量的内积是一个实数，的概念，在理解的基础上记忆含义开始认识，这部分

不是向量，可以是正数、负数或零，符号向量为积的概念.教师必须讲解清楚.

由COSS,岳的符号所决定；教师总结向量内积的含

(2)两个向量的内积，写成“•儿义，以及公式中的注意事项.

符号“・”在向量运算中不是乘号，既不

能省略，也不能用“X”代替.

新例1求|。|=5,|加=4,<a,b>=

课求内积题目不必

120。.求。学生讨论求解.

过难，重点在理解内

解由已知条件得

秩的概念.

a,b=\a\\b\cos<«,b>

=5X4Xcos120°=—10.

3.向量的内积的性质

两向量的内枳是

设a,b为两个非零向量，e是单位学生阅读课本中向量内积

两向量乘法的一种，

向量,则：的性质，在理解的基础上记忆

是学生以前所未接触

(1)ae=ea=1aIcos<a,e>；向量为积的性质.

过的，与以前数量间

(2)a_Lboa〃=0：教师对于每一个性质都要

(3)aa=\«|2gK|a\=y[ah',引领学生从向量内积的表达式的乘法、实数与向量

同的乘法有很大区

(4)IIW1a11b1.入手，仔细推导.

别，因此运算法则、

运算律都要重新推

4.向量的内积的运算律

导，学生对于概念和

(1)交换律：ah=bax教师引导学生学习向量内

运算法则的理解和掌

(2)结合律：(痴)力=2(。5)=〃(助)；积的运算律.让学生明确内积

握有些困难.它与实

（3）分配律：（a+b〉c=0c+be满足交换律和分配律，不满足数乘法的概念，性质

结合律.比如，实数乘法满足及运算律有联系也有

结合律：(〃・b)•c=a•(b•c),区别，这一区别是教

而向量的内积不满足；又如实学的重点也是学生学

数乘法满足：a•c=b•c=>a习的难点.

=儿而向量的内枳不满足这种

推出关系.

例2求证：通过例2可让学

(1)(a-\-b)(a-b)=\a\2—\b\2\学生分组讨论证明的方生加深对结合律与运

(2)1a+b12+1a~b12法；算律的理解.

通过学生讨论，

=2(I0I2一|力|2).小组讨论后，教师对学生

老师点拨，可以突出

的叵答给以补充、完善，师生

证明（1）显然解题思路，深化解题

+)共同总结解答方法.步骤，分解难点.

教师给出具体的证明步

=aa—a-b~\-ba—bb

骤.

=\a\2-\b\2；

新(2)因为

课1a~\~bI2=3+6>(a+b)

=\a\24-2ah+\b\2,

1a~b12=(a—b)(a—b)

=1a12—2ab-\~\b\2i

所以

1a+b12+1a-b12

=2(|aI2-|力|-

练习

1.已知|a|,|力<a,力>,求ab：学习新知后紧跟

力；师生合作共同完成.

(1)1a|=7,b\=\2,<a,=120°练习，有利于帮助学

(2)|a|=8.|h|=4,<a.h>=n：

生更好的梳理和总结

2.已知|a|,