2024年北京高考数学真题

2024年北京高考数学真题

一、单选题

(★)1.已知集合M={x|—3〈xvl},7V={x|-l<x<4},则MUN=()

A.{.r|-1<x<1}B.{x\x>-3}

C.{x\-3<x<4}D.{x\x<4}

(★)2.已知彳=一1一i,则z=().

A.—1—iB.—1+iC.1—iD.14-i

(★★)3.圆N+y2-2x+6y=0的圆心到直线工一歹-2=0的距离为()

A.亚B.2C.3D.3亚

(★★)4.在(》_&)%勺展开式中，R的系数为()

A.6B.-6C.12D.-12

(★★★)5.设乙否是向量，则"(N+b),(方-6)=0"是a=-京或a=l)的

().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

(★★)6.设函数/(x)=sincox(①>0).已知/(^)=-1,/*2)=I，且1所一闻的

最小值为号，则①=()

A.1B.2C.3D.4

(★★★)7.生物丰富度指数d=需是河流水质的一个评价指标，其中S,N分

别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数，/越大，水质越

好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N］变为22,

生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则()

A.3%=2N]B.2N?=3N[

C.N；=N；D.N，=N；

(★★★)X.如图，在四棱锥夕-48C0中，底面/8CQ是边长为4的正方形,

PA=PR=4,pc=PD=2,该棱锥的高为().

A.1B.2C.亚D.亚

(★★★)9.已知(阳,片)，(*2，打)是函数歹=?的图象上两个不同的点，则

()

x+x

,y^y2x}+x2R.片+为\2

A.bg2-^—<—2-B.匕&^>丁

y^y

C.2

D・bg2—2~">^+%2

(★★★★)1().己知〃={(二7山=N+«工2一》)，1“02,0±01}是平面直角坐

标系中的点集.设d是〃中两点间距离的最大值，S是股表示的图形的面积，则

()

A.d=3,S<\B.d=3,S>\

C.d=，S<1D.d=JFo»S>1

二、填空题

(★)11.抛物线*=16/的焦点坐标为.

(★★)12.在平面直角坐标系xOy中，角a与角0均以3为始边，它们的终边关

于原点对称.若aw博,号］,则cos£的最大值为.

(★★)13.若直线y=A(x-3)与双曲线苧-尸=1只有一个公共点，则％的一个取

值为.

(★★★)14.汉代刘歆设计的“铜嘉量”是徐、合、升、斗、斛五量合一的标准

量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的

容积成公比为1()的等比数列，底面直径依次为65min325mnx325mm,且斛量器

的高为230mm,则斗量器的高为mm,升量器的高为mm.

(★★★★)15.设｛斯｝与｛“7｝是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合

“=｛上除=既,％WN*｝,给出下列4个结论：

①若｛斯｝与｛%｝均为等差数列，则M中最多有1个元素；

②若｛斯｝与｛瓦｝均为等比数列，则M中最多有2个元素；

③若｛%｝为等差数列，｛%｝为等比数列，则M口最多有3个元素；

④若｛即｝为递增数列，｛e｝为递减数列，则加口最多有1个元素.

其中正确结论的序号是.

三、解答题

(★★★)16.在△48C中，内角48,。的对边分别为a,b,c,/力为钝角，a=7,

sin2B=卑bcosB*

⑴求/4

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△48。存

在，求△48。的面积.

条件①:6=7；条件②,：COS5=M条件③:csin/^,收

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的

条件分别解答，按第一个解答计分.

(★★★)17.如图，在四棱锥P-48CO中，BC//AD,4B=BC=1,力。=3点£

在力。上，J&PELAD,PE=DE=2.

(1)若Q为线段夕五中点，求证：BF〃平面PCD.

⑵若ARL平面夕〃)，求平面与平面P。。夹角的余弦值.

(★★★)18.某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期

限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据

如下表：

赔偿次数01234

单数800100603010

假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元;

第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频

率估计概率.

(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；

(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.

(i)记Y为一份保单的毛利润，估计Y的数学期望£(X)；

(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比

较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与(i)中E(X)估计值的大

小.(结论不要求证明)

(★★★)19.己知椭圆E：言+方=以椭圆月的焦点和短轴端点为

顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0")(/>亚)且斜率存在的直线与椭圆

国交于不同的两点A,B,过点力和C(0,1)的直线力C与椭圆月的另一个交点为D.

(1)求椭圆E的方程及离心率；

(2)若直线8。的斜率为0,求，的值.

(★★★★)20.设函数/(x)=x+kln(l+x)(k#0),直线/是曲线y=/(x)在点

«,/(/))(/>0)处的切线.

(1)当”=一1时,求/(工)的单调区间.

⑵求证：/不经过点(0,0).

(3)当左=1时,设点0(0,/(/)),0(0,0),A为/与歹轴的

交点，Sgco与品80分别表示△水:。与A/8。的面积.是否存在点彳使得

&AJCO=15SM8O成立？若存在，这样的点4有几个？

(参考数据：L09<ln3<1.10,L60<ln5<1.61,I.94<ln7<1.95)

(★★★★★)21.己知集合

“={。,八%»)|正{1,2},_/€{3,4}工£{5,6},卬€{7,8},且，+_/+左+卬为偶数}

.给定数列4：为，。2,…，小，和序列。：71,72,…r”其中

片，叫)WM(f=l，2,…，S),对数列4进行如下变换：将力的第

4/，加，卬1项均加1,其余项不变，得到的数列记作/3);将/(4)的第

，2，，2，的，卬2项均加1，其余项不变，得到数列记作72rl(/)；……；以此类推,

得到7>・72((4),简记为。(力).

(1)给定数列出1,3,2,4,6,3,1,9和序列C:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5