2025四川省泸州市中考数学试题(解析版)

泸州市二○二五年初中学业水平考试数学试题本试卷由两部分组成：第一部分为选择题，第二部分为非选择题，总计4页。满分为120分，答题时间共计120分钟。请提供需要重写的试题内容。1．在开始作答之前，请各位考生仔细核对并在答题卡上准确填写姓名、准考证号及座位号。考试完毕后，请将试卷与答题卡一同上交。2．对于选择题，请使用2B铅笔将答题卡中对应题号的选项标号涂黑。若需更改答案，请先用橡皮擦除干净，再涂选新答案。非选择题请统一使用0.5mm黑色签字笔在答题卡指定区域作答，直接在试卷上书写将被视为无效。第一部分（单项选择题，总分36分）一、单项选择题（本部分包含12道题目，每题3分，总计36分。请在每道题提供的四个选项中，选出唯一正确的一项）1.在以下各组数值中，能够构成互为相反数关系的是（）A.和B.和C.2和D.和【答案】A【解析】【解析】本题旨在考查对相反数定义的理解。解题的核心在于熟练掌握相反数的概念，即两个数若仅在符号上有所区别，则称它们互为相反数。据此进行分析即可得出答案。【详解】解：A.和互为相反数，故该选项正确，符合题意；B.和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；C.和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；D.和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；因此，正确选项为：A。2.据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年五一期间，国内游客出游人次，将数据用科学记数法表示为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．【详解】解：，正确选项为：C。3.如图，直线，若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据邻补角的定义可得，进而根据平行线的性质，即可求解．【详细解析】解答如下：参考图示，，，，因此，正确选项为：B。4.在以下给出的人工智能助手图标中，属于轴对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【解析】此题旨在考察对轴对称图形的辨析能力。解题的核心在于准确理解轴对称图形的定义：在平面几何中，若一个图形能够沿某条直线折叠，且直线两侧的部分能够精准重叠，则该图形即为轴对称图形。通过运用轴对称图形的相关定义即可得出答案。【解析】解：A.由于该图形不具备轴对称的特性，因此该选项不正确；B、由于该图形不具备轴对称的特性，因此该选项不满足题目要求；C.此图形具备轴对称特性，因此该选项符合题目要求；D.此图形不具备轴对称特性，因此不满足题目要求；正确选项为：C。5.在以下运算中，结果正确的一项是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【解析】本题重点考察负整数指数幂的运算、同类项的合并、积的乘方以及完全平方公式。解题的核心在于能够灵活且熟练地运用上述相关知识点。只需依次运用积的乘方运算规则、合并同类项、负整数指数幂的定义以及完全平方公式进行判定即可。【详解】解：A、，原写法错误，故本选项不符合题意；B、，原写法错误，故本选项不符合题意；C、，写法正确，故本选项符合题意；D、，原写法错误，故本选项不符合题意；因此，正确选项为：C。6.某学校组织七年级甲、乙、丙、丁四位学生进行1分钟跳绳测试。现将每位同学10次跳绳成绩的平均数（单位：个）与方差（单位：个²）汇总如下表：甲乙丙丁平均数205217208217方差4.64.66.99.6参考表中的各项数据，若需挑选一位成绩优异且状态稳定的学生代表参加比赛，最合适的选项是（）A.甲

B.乙

C.丙

D.丁【正确选项】B【解析】【解析】本题旨在考查对算术平均数与方差概念的理解。解题的核心在于掌握方差与数据波动程度的关系：方差数值越大，表明数据的波动性越强；反之，方差数值越小，则说明数据的稳定性越高。在实际操作中，可通过比较平均环数来评定成绩的高低，并利用方差的大小来衡量数据的稳定程度。参考表中的数据，首先确定平均分最高的学生；随后利用方差的定义，筛选出方差数值最小的学生即可。【解析】解：通过对平均分的分析可知，乙同学与丁同学的平均得分处于最高水平。基于方差的分析结果显示，乙与甲之间的方差数值最低，因此乙的表现最为稳定。决定由乙同学代表参加此次比赛，因此，正确选项为：B。7.下列性质中，矩形拥有而菱形不具备的是（）A.两条对角线长度相等

B.对角线彼此平分

C.对角线相互垂直

D.对角相等【答案】A【解析】【解析】本题旨在考察学生对矩形与菱形特性的掌握程度。在分析特殊四边形时，应重点从边长、内角以及对角线这三个维度展开，并深入探讨这些图形在性质上的关联与差异。仅需依据菱形与矩形的相关性质进行判定即可。【详解】解：A、矩形对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；B、由于矩形与菱形的对角线均具备互相平分的特性，因此该选项不满足题目要求；C、由于菱形的两条对角线必然互相垂直，而矩形的对角线则不一定垂直，因此该选项不满足题目要求；D、矩形与菱形均不具备对角相等的特性，因此该选项不满足题目要求；因此，正确选项为：A。8.如图，四边形内接于，为的直径．若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而根据为的直径，得出，进而得出即可求解．【详解】解：，，，，，为直径，，因此，正确选项为：B。9.《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在方程章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（）A.1

B.2

C.3

D.4【答案】C【解析】【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解．【详解】解：正整数解为：，；，；，共3个，因此，正确选项为：C。10.已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴计算公式可得，即，据此可判断A；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，则抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，据此可判断B；当时，，再由，即可判断D；当时，，当当时，则原函数解析式为，则当时，，据此可判断C．【详解】解：抛物线的对称轴为直线，，，故A选项中原结论错误，不符合题意；抛物线与轴的交点位于轴下方，当时，，当时，，抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，抛物线与轴有两个不同的交点，关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，，故B选项中原结论错误，不符合题意；当时，，且当时，，该抛物线的开口方向朝上，抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，当时，，，即，故D选项中原结论正确，符合题意；当时，，当时，则原函数解析式为，当时，，故C选项中原结论不正确，不符合题意；因此，正确选项为：D。11.如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【解析】此题旨在考察对正方形特性的理解、勾股定理的应用、直角三角形的求解以及三线合一的相关结论。解题的核心在于能否灵活运用上述数学知识。过点D作于G，过点F作于H，由正方形的性质得到；由线段中点的定义得到，由勾股定理求出，解直角三角形可得；可证明，解得到，由三线合一定理得到，则；解得到，，则，在中，由勾股定理得，即可解题．【详解】解：如图所示，过点D作于G，过点F作于H，四边形是边长为2的正方形，；为的中点，；在中，由勾股定理得，；，，；中，，，，，；在中，，，，在中，由勾股定理得．因此，正确选项为：B。12.对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：；若，则；；若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（）A.1

B.2

C.3

D.4【答案】B【解析】【解析】此题旨在考察对实数新定义运算的理解以及一元一次不等式组的求解能力。解题的核心在于针对新定义运算进行分类讨论。通过对运算法则的逐一分析与判定，即可得出最终结果。【详解】解：，，故正确，，当时，，当时，，即，故不正确；不成立，例如，则，故不正确；当即时，则：，解得：，；当，即时，则：，解得：，，综上所述，，故正确，因此，正确选项为和，共计2个。因此，正确选项为：B。第一卷（非选择题部分，总分84分）温馨提示：请使用0.5mm黑色签字笔在答题卡相应题号处填写，直接在试卷上作答将不予计分。二、填空题（本部分包含4道小题，每题3分，总计12分）13.若点在第一象限，则的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】本题考查象限内点的符号特征，解一元一次不等式．解题的关键是掌握坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．根据第一象限内点的坐标符号为，得到，再解一元一次不等式即可．【详解】解：点在第一象限，，解得：，故答案为：．14.已知一组数值为3，2，6，7，4，6，请计算其中位数值为____________．【正确答案】5【解析】【解析】本题的核心在于考察如何计算一组数据的中位数。中位数的定义是指将数据按升序（从小到大）排列后，位于正中间的数值；若数据个数为偶数，则取最中间两个数值的平均值。根据该定义进行计算即可得出结果。【解析】解：将该组数据由小到大进行排序，得到：2，3，4，6，6，7。其中位于中间位置的两个数值依次为4和6。中位数为，因此，最终结果是：5．15.若一元二次方程的两根为，则的值为____________．【正确答案】10【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则．先根据题意得到，，则将变形为，即可求解．【详解】解：一元二次方程的两根为，，，，，因此，最终结果是：10。16.如图，梯形中，，与梯形各边都相切，且的面积为，则点到的距离为____________．【答案】【解析】【解析】本题旨在考察圆的切线相关性质、切线长定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理以及矩形的判定与性质。由于题目难度较高，能否正确地添加辅助线是顺利解题的核心。设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，由圆的切线的性质证明四边形为矩形，则，可求圆的半径为，设，在中有勾股定理建立方程，解得：或（舍），同理可得：，，最后由即可求解．【详解】解：设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，，，，梯形，，点共线，四边形为矩形，，的面积为，，，，设，，，在中，，，解得：或（舍），，同理可得：，，，，，，，，点到的距离为，故答案为：．三、本部分包含3道小题，每题6分，总分18分。17.计算：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了实数运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算45度角的正切值，再计算零指数和算术平方根，接着计算乘方，最后计算加减法即可得到答案．【详解】解：．18.如图，在菱形中，分别是边上的点，且．求证：．【答案】具体证明过程请参考解析部分【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，先根据菱形的性质得到，再由线段的和差关系证明，则可利用证明，据此由全等三角形对应边相等可证明．【详解】证明：四边形是菱形，，，，即，在和中，，，．19.化简：．【答案】【解析】【解析】本道题目重点考察分式的综合运算能力。解题步骤为：首先对小括号中的表达式进行通分处理，随后将分子中的同类项进行合并并实施因式分解；接着对第一个分式的分子进行分解因式，最后将除法运算转化为乘法运算，通过约分化简即可得出最终结果。【详解】解：．四、本部分包含2道小题，每题分值为7分，总计14分。20.某市教育综合实践基地开设有：巧手木艺；：创意缝纫；：快乐种植；：美味烹饪；：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了我最喜欢的综合实践课程的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．课程名称巧手木艺创意缝纫快乐种植美味烹饪爱心医护人数61218请结合图表所提供的数据，解答以下问题：（1）______，扇形统计图中表示巧手木艺部分对应扇形的圆心角度数是________；（2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数；（3）小明同学从四门课程中随机选择两门，求恰好选中两门课程的概率．【答案】（1）15；（2）120名（3）【解析】【解析】本题的核心考点涵盖了频数分布表、扇形统计图以及利用样本量推估总体。解题的关键在于能够准确解读统计图表，并熟练运用树状图法或列表法进行概率计算。（1）首先，通过将热爱“快乐种植”的人数除以该项的人数比例，计算出参加此次调研的学生总数，从而确定a和b的具体数值；随后，将360°与“巧手木艺”的人数占比相乘，即可得出该项对应的圆心角大小。（2）用480乘以样本中八年级最喜欢两门课程的学生人数占比即可得到答案；（3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中两门课程的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【第一小问详细解析】解；（名），此次调研的对象总计为60名学生，；，扇形统计图中表示巧手木艺部分对应扇形的圆心角度数是；故答案为：15；；【第二小问详细解析】解：（名），答：估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数为120名；【第三小问详细解析】解答：依照题目给出的条件，列出如下表格；

由表格可知，一共有12中等可能性的结果数，其中恰好选中两门课程的结果数有两种，恰好选中两门课程的概率为．21.某超市采购了甲、乙两类商品。2022年时，这两类商品的单件进货价均定为125元。由于生产成本的逐步降低，甲类商品的单件进价每年平均减少25元；而乙类商品在2024年的单件进价则为80元。（1）计算乙类商品单件进货价格的年度平均下降幅度；（2）2024年，该超市计划用总额在7800元以内的资金，一次性采购甲、乙两类商品合计100件。请计算出甲种商品最少需要采购多少件。【答案】（1）乙种商品每件进价的年平均下降率为（2）甲类商品的采购数量不得低于40件【解析】【解析】此题旨在测试学生对一元二次方程及一元一次不等式在实际场景中应用的掌握情况。解题的核心在于准确分析题目条件，并据此构建相应的方程与不等式。（1）已知乙类商品的单件进价每年平均下降率为$x$。若该商品在2022年的进价为125元，经过连续两年的降价，到2024年时进价降至80元，请通过建立方程来计算$x$的值。（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案．【第一小问详细解析】解答：假设乙类商品的单件进货价格每年平均下降的幅度为x，由题意得，，解得或（舍去），答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；【第二小问详细解析】解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，由题意得，，，解得，m的最小值确定为40，这意味着甲种商品最少需要采购40件。答：甲种商品最少需要购买40件。五、本部分包含2道小题，每题分值为8分，总计16分。22.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．（1）请写出一次函数和反比例函数的表达式；（2）将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【解析】本题旨在考察一次函数与反比例函数的综合应用，重点在于一次函数图象的性质。掌握如何利用待定系数法确定函数的解析式是完成本题的核心。（1）将点A的坐标依次代入这两个函数的解析式中进行计算，即可求出结果；（2）根据上加下减，左减右加的平移规律可得直线解析式为，则可求出，过点A作轴交直线于T，则，再根据列式求解即可．【第一小问详细解析】解：一次函数的图象经过，，，一次函数解析式为；反比例函数的图象经过，，，反比例函数解析式为；【第二小问详细解析】解：将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，直线解析式为，联立，解得或，；如图所示，过点A作轴交直线于T，，点T在坐标系中的横轴数值为2，在中，当时，，，，．23.如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为．（1）求的度数；（2）求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）．【答案】（1）（2）【解析】【解析】本题的核心考点在于直角三角形在实际场景中的应用、三角形内角和定理以及矩形的性质与判定。解题的关键在于通过合理地添加辅助线来构建直角三角形。（1）过点C作于H，则，利用三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案；（2）过点E作于T，则，求出，则可求出；解得到，解得到，，则解可得，则，解可得；再证明四边形是矩形，得到，则.【第一小问详细解析】解：如图所示，过点C作于H，则，由题意得，，，，；【小问2详解】解：如图所示，过点E作于T，则，，；在中，，在中，，，在中，，，在中，；，四边形是矩形，，；答：建筑物的高度为六、本部分包含2个小题，每题12分，总分共24分。24.如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．【解答】（1）具体证明过程请参考解析部分（2）【解析】【解析】本题的核心考点涵盖了切线的判定与性质、直角三角形的求解、勾股定理，以及相似三角形与全等三角形的判定及性质。解题的关键在于能否准确地绘制辅助线。（1）连接，由切线的性质可得，证明，可得，据此由切线的判定定理可证明结论；（2）过点C作于H，过点D作于M，设，则，解得到，则，解方程可得，则，，，由勾股定理得，则；解得到，则，，由勾股定理得；由等面积法可得，证明，得到；证明可得，则．【第一小问详细解析】证明；如图所示，连接，是的切线，，即，在和中，