江苏南京市第六十六中学等校2026届高三下册四月第一次检测（二模）数学试卷

/2026届高三四月第一次检测（二模）一、单选题（每小题8分，共40分）1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.2.若复数z满足，其中为虚数单位，则z在复平面上所对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知四边形为正方形，P为线段上一点（不包括端点A，C），则（）A， B.，C.， D.，4.新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（）A.700辆 B.350辆 C.300辆 D.150辆5.双曲线C：的一个焦点坐标为，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. C. D.6.已知直线与抛物线（）交于两点，且（O为坐标原点），则（）A.1 B.2 C.4 D.不确定7.设分别是椭圆的左右焦点，过椭圆上一点作切线交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A. B. C. D.8.如右图，一个直径为1小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是A. B.C. D.二、多选题（每小题6分，共18分）9.某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.的值为0.015B.估计这40名学生数学考试成绩的众数为75C.估计总体中成绩落在内的学生人数105D.估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为8510.设函数，其中.则下列说法正确的是（）A.可能为奇函数B.既有极大值也有极小值C若恒成立，则D.若是方程两个不同实根，且，则11.类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如下左图，由不共面的三条射线构成的图形称为三面角，记，二面角的大小为，则.在矩形中，为线段上动点，绕翻折至，记二面角的平面角为，则下列说法正确的是（）A.当时，B.当时，且为中点，则C.不存在与，使得D.当时，则最小值为三、填空题（每小题5分，共15分）12.已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则__________.13.对满足的任意正整数对，定义函数如下：，，则________（结果用含i的式子表示）；_________（结果用含j的式子表示）．14.已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为____________．四、解答题（本题共5小题，共77分）15.一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设．（1）证明：；（2）若，求的值；（3）证明：．16.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也应该是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，它在一定程度上和三角函数性质相当．其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．（1）求的值：（2）证明：（i）；（ii）；（iii）．（3）写出最简表达式（结果用含的式子表达）．17.已知是异面直线的公垂线段，且，直线上有两个不同的动点，直线上有两个不同的动点．（1）若，，求二面角的余弦值；（2）若分别为的中点．是否存在点使得同时成立？若存在，找出这样的点，若不存在请说明理由．18.给定实数，甲、乙两人玩如下的游戏．首先在黑板上写出一个含有个绝对值的算式：，其中每个绝对值里都有两个空格“□”，所有的空格“□”都尚未填数．每一回合，先由甲选取区间中的一个实数（不同的回合可以选取相同的数），再由乙将其填在某个空格之中．这样个回合之后所有的空格均填了数，的值也随之确定．若，则甲胜，否则乙胜．（1）当时，求所有实数，使得甲有获胜策略，并说明理由；（2）当时，求所有实数，使得甲有获胜策略，并说明理由．19.拉格朗日（Lagrange）中值定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系