2025-2026学年上海市浦东新区南汇中学高二下期中数学试卷 (含答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年上海市浦东新区南汇中学高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。1.已知事件A与B独立，若P（B|A）=0.68，则P（B）=（）A.0.34 B.0.68 C.0.32 D.12.若方程4x2+ky2=4k表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（）A. B. C. D.3.已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A.函数f（x）在x=-2处取得极小值

B.函数f（x）在x=1处取得极大值

C.f（x）在区间（-1，1）上单调递增

D.当x∈[-1，3]时，函数f（x）的最大值是f（-1）4.如图，造型为“∞”的曲线C称为双纽线，其对称中心为坐标原点O，且曲线C上的点满足：到点F1（-3，0）和F2（3，0）的距离之积为定值a.若点P（m,n）在曲线C上，给出下列四个结论：①a=9；②；③△PF1F2面积的最大值为；④△PF1F2周长的最小值为12；其中，所有正确结论的序号是（）A.①②③ B.②③ C.①③④ D.①②③④二、填空题：本题共11小题，每小题3分，共33分。5.抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是______．6.若直线y=2x是双曲线的一条渐近线，则b=

.7.函数f（x）=ex，则=

.8.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为

.9.函数f（x）=x2-sinx在区间[0，π]上的平均变化率为

.10.若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y=2x-3，则f（2）+f′（2）=

.11.已知随机变量X的分布为，则D[X]=

.12.从3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数的和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数”，则P（B|A）=______.13.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，线段BF的延长线与C交于点P，若PA=PO，则C的离心率为

.14.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），其导函数为f′（x），若xf′（x）+2f（x）＞0，则不等式的解集是

.15.在平面直角坐标系xOy中，圆O是以原点为圆心，1为半径的圆，直线l与抛物线y2=2px（p＞0）和圆O分别相切于A，B两点，当|AB|最小时，p的值为

.三、解答题：本题共6小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题3分)

如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出.已知当灯口圆的直径为80cm时，灯的深度为50cm.为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm,并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为______cm.17.(本小题8分)

袋中有3个红球，4个黑球，每次随机地从袋中取出一个球，观察其颜色后放回.若取出的球是红球，则将此红球放回后，再往袋中另放2个红球；若取出的球是黑球，则将此黑球放回即可.

（1）求在第一次取到红球的条件下，第二次取到黑球的概率；

（2）求第二次取到红球的概率.18.(本小题8分)

甲、乙两人进行某项比赛，采取三局两胜制，积分规则如下：比分为2：0时，胜者积3分，败者积0分；比分为2：1时，胜者积2分，败者积1分.设每局比赛甲取胜的概率均为p（0＜p＜1）.

（1）若甲以2：1取胜的概率大于以2：0取胜的概率，求p的范围；

（2）若，求甲所得积分X的分布列及数学期望.19.(本小题10分)

某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA、OB、AC及曲线段BC围成.经测量，∠AOB=90°，OA=OB=100米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA、OB的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设DF=x米，游乐场的面积为S平方米.

（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程；

（2）求面积S关于x的函数解析式S=f（x），并计算面积S的最大值（结果精确到0.01）.20.(本小题12分)

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与C交于D，E两点（D，E均不在x轴上）.

（1）若△DEF2的周长为16，且C的离心率为，求椭圆C的方程；

（2）若，b=2，直线y=x+m被椭圆C所截的弦长为，求m的值；

（3）在（1）的条件下，若点A为椭圆C的右顶点，过点G（t,0）（不同于点A）且斜率不为0的直线与椭圆C相交于M，N两点（点M在G，N之间），若点H为线段MN上的点，满足|GM|•|HN|=|GN|•|HM|，且∠NHA=2∠NGA，求t.21.(本小题14分)

已知函数f（x）=alnx-ax+1，a∈R.

（1）若经过点（0，0）的直线与函数f（x）的图像相切于点（2，f（2）），求实数a的值；

（2）设，若函数g（x）在区间为严格递减函数时，求实数a的取值范围；

（3）对于（2）中的函数g（x），若函数g（x）有两个极值点为x1，x2（x1≠x2），且不等式g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】4

6.【答案】2

7.【答案】e2

8.【答案】（-1，3）

9.【答案】1

10.【答案】3

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】（-2026，-2021]

15.【答案】

16.【答案】60.5

17.【答案】解：（1）根据题意，设事件A1=第一次取到红球，事件A2=第一次取到黑球，事件B1=第二次取到红球，事件B2=第二次取到黑球，

若第一次取到红球，袋中有5个红球，4个黑球，

则P（B2|A1）=，

（2）根据题意，由全概率公式：

P（B1）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B1|A2）=×+×=．

18.【答案】

X的分布列为：X0123P数学期望为

19.【答案】y=-0.02x2+100（0≤x≤50）

f（x）=x（-0.02x2+100）（30≤x≤50）；2721.66

20.【答案】

-8

21.【答案】解：（1）已知f（x）=alnx-ax+1，函数定义域为（0，+∞），

可得，

此时f′（2）=-，

因为经过点（2，f（2））的切线经过原点，

所以，

即，

解得；

（2）因为=alnx+-ax,函数定义域为（0，+∞），

可得，

若函数g（x）在区间为严格递减函数，

此时在区间上恒成立，

即a≥在区间上恒成立，

不妨设h（x）=，函数定义域为，

可得h′（x）=，

当＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；

当2＜x＜4时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，

所以当x=2时，函数h（x）取得极小值，

又h（）=，h（4）=，

所以a＞，

则实数a的取值范围为（，+∞）；

（3）若函数g（x）有两个极值点为x1，x2（x1≠x2），

即g'（x）==0在（0，+∞）上有两个不同的根，

此时方程x2-ax+a=0在（0，+∞）上有两个不同的根，

需满足Δ=a2-4a＞0，且x1+x2=a＞0，x1x2=a＞0，

解得a＞4，

若不等式g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，

即λ＞恒成立，

因为+a（lnx2-x2）+

=alnx1x2-a（x1+x2）+（x+x）=