初中三年级数学中考专题复习：轴对称变换下的最值问题探究-“将军饮马”模型及其变式导学案

初中三年级数学中考专题复习：轴对称变换下的最值问题探究——“将军饮马”模型及其变式导学案

  一、设计理念与依据

  本导学案的设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，特别是几何直观、逻辑推理、模型观念与应用意识。课程改革强调从“双基”走向“核心素养”，要求教学不仅仅是知识的传授，更是思想方法的渗透和问题解决能力的建构。“将军饮马”问题作为初中几何最值问题的经典载体，其本质是轴对称变换下“化折为直”的数学思想。本设计旨在打破传统复习课“知识点罗列-例题讲解-习题操练”的窠臼，构建一个以“问题情境-模型抽象-变式探究-迁移应用”为主线的探究式学习框架。通过引导学生经历完整的数学建模过程，从具体情境中抽象出数学模型，深入理解其原理，并能够灵活应用于不断变化的复杂情境中，从而实现对这一核心知识的深度理解与高阶应用，有效应对中考中日益强调的综合性、探究性与创新性命题趋势。

  二、学情分析

  授课对象为初中三年级下学期的学生，正处于中考总复习的关键阶段。学生已经系统学习了初中阶段全部几何知识，包括图形的轴对称、平移、旋转等全等变换，三角形、四边形、圆的基本性质，以及勾股定理等重要定理。对于“两点之间，线段最短”这一公理有清晰认知，并能解决简单的单线段最值问题。然而，多数学生对于“将军饮马”模型的认识可能停留在“记忆结论、套用模型”的浅层阶段。具体表现为：第一，能够识别标准情境下的模型，但面对背景复杂或模型隐匿的问题时，识别与转化能力不足；第二，对模型的原理理解不深，知其然不知其所以然，导致在模型发生变式时无法进行有效迁移；第三，缺乏将复杂几何最值问题系统归约为基本模型（如“将军饮马”、“胡不归”、“阿氏圆”等）的意识与方法。因此，本节课的重点在于引导学生深度理解模型建构的数学原理，发展其模型识别、拆解与重构的能力。

  三、教学目标

  1.知识与技能目标：熟练掌握利用轴对称变换将“同侧两点一线”的最短路径问题转化为“异侧两点一线”问题的基本原理与方法（即“将军饮马”基本模型）。能够识别并解决该模型的常见变式，如“一定两动”（“遛马”模型）、“两定两动”（“将军遛马”模型）以及“造桥选址”问题。能综合运用轴对称、全等三角形、勾股定理等知识求解具体情境下的最值。

  2.过程与方法目标：经历从历史典故到数学问题的抽象过程，体会数学建模的思想。通过动手作图、几何画板动态演示、小组合作探究等方式，经历“观察-猜想-验证-归纳”的数学活动，发展几何直观与空间想象能力。在变式探究中，学习运用“转化与化归”的数学思想，将未知问题化归为已知模型。

  3.情感、态度与价值观目标：通过“将军饮马”这一富有文化底蕴的数学问题，感受数学与历史、生活的紧密联系，激发学习兴趣与探究欲。在克服复杂变式问题的挑战中，培养不畏艰难、严谨求实的科学态度与合作交流的精神。深刻体会数学对称之美与简洁之美。

  四、教学重点与难点

  教学重点：轴对称变换在解决“线段和最小”一类最值问题中的核心作用与原理。基本“将军饮马”模型的构建与证明。

  教学难点：对非标准形态“将军饮马”问题的模型识别与转化。复杂情境下（如涉及角、多边形、圆等背景）如何构造有效的轴对称变换。理解“造桥选址”问题与“将军饮马”模型在思想方法上的内在统一性。

  五、教学资源与环境

  教学环境：配备交互式电子白板、投影设备的智慧教室。支持学生平板电脑或图形计算器进行动态几何探究。

  软件资源：几何画板动态课件（预设“将军饮马”基本模型及其多种变式的动态演示，可拖动动点观察路径和变化）、班级学习管理系统（用于推送预习微课、发布任务、收集与分析学情）。

  教具与学具：学生每人一份坐标网格纸、直尺、圆规。小组合作学习任务卡片。

  六、教学实施过程（核心环节）

  （一）情境导入，问题驱动（时长：约10分钟）

    不直接给出“将军饮马”的故事，而是呈现一个简化的实际情境问题：“如图，在一条笔直的河流l同侧有A、B两个营地。将军每天需从A地出发，先到河边饮马，再前往B地。请问，在河边何处饮马，可使所走的总路程最短？”请学生独立思考，尝试在发的网格纸上画出点A、点B和直线l，并用自己的方法寻找这个“饮马点”P。

    学生可能的方法有：凭直觉选择线段AB与l的交点（但该点不存在）；或者尝试取几个特殊点测量计算。此时，教师利用几何画板动态演示，在直线l上任意取一点P，连接AP、BP，显示总路程AP+BP的长度，并拖动点P，让学生观察长度变化，感知最值的存在。进而提问：“我们能否运用学过的几何知识，将这个‘两折线’的和最短问题，转化成一个更简单的问题？”引导学生回顾“两点之间，线段最短”公理。关键启发：“目前A、B在直线l的同侧，折线的端点不在一直线上。能否通过图形的变化，让其中一个点‘变’到河的另一侧，使得新的点与另一个定点的连线成为一条直线段？”自然引出“轴对称”变换。请学生尝试以直线l为对称轴，作出点A的对称点A’。再连接A’B，与直线l的交点即为所求点P。引导学生口头证明：在直线l上任取另一点P’，利用轴对称性质证明AP+BP=A’P+BP=A’B，而AP’+BP’=A’P’+BP’>A’B（三角形两边之和大于第三边）。至此，完成从具体情境到数学模型“同侧两点，到定直线上一动点的距离和最小”的抽象，并得到解决策略：作定点关于定直线的对称点，连接对称点与另一定点，连线与定直线的交点即为所求。

  （二）模型建构，原理深析（时长：约15分钟）

    将上述解决问题的方法进行提炼，正式命名为“将军饮马”基本模型。板书模型结构与解题步骤：

    1.模型特征：两个定点(A,B)位于一条定直线(l)的同侧。一个动点(P)在定直线上运动。求(AP+BP)的最小值。

    2.核心原理：利用轴对称变换，将“同侧”问题转化为“异侧”问题，化“折线”为“直线”。

    3.解题步骤：（1）选定点，作对称。选择其中一个定点（如A），作出它关于定直线l的对称点A’。（2）连线段，定交点。连接对称点A’与另一个定点B，线段A’B与定直线l的交点即为所求动点P的位置。（3）求最值。最小值即为线段A’B的长度。

    组织学生进行小组讨论，深化理解：①为什么可以任意选择A或B做对称点？结论是否唯一？②证明过程中，三角形三边关系定理起到了什么作用？③除了用A’B的长度表示最小值，还能用其他线段表示吗？引导学生理解轴对称变换的不变性是证明的关键，以及转化思想的普适性。同时，通过几何画板动态变换，展示选择B点做对称点，得到的对称点B’，连接AB’与l的交点依然是同一个P点，验证结论的确定性。

    为了巩固模型，立即进行基础性变式练习：“如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是____。”此题将定直线（角平分线AD）和两个动点（M在AD上，N在AB上）融入，但BM+MN的最小值本质是求定点B到角一边AB的最短路径问题，可通过作B关于AD的对称点B’，B’到AB的最短距离即为垂线段长度。引导学生识别出虽然动点有两个，但通过转化，核心依然是“一定点、一定线”的基本模型。

  （三）变式探究，拓展升华（时长：约40分钟）

    这是本节课的主体与深化环节，旨在引导学生探索“将军饮马”模型的一系列重要变式，构建知识网络。

    变式一：“一定两动”型（“遛马”模型）。提出问题：“将军从营地A出发，先去草地OM上让马吃草，再去河边ON上饮马，最后返回营地B。如何在OM、ON上分别选择吃草点P和饮马点Q，使得总路径AP+PQ+QB最短？”（已知∠MON）。这是一个“两个动点、两条定直线”的问题。引导学生思考：能否通过两次轴对称变换，将三段折线转化为一条直线段？组织学生以小组为单位，在网格纸上合作探究。预设探究路径：尝试作A关于OM的对称点A1，B关于ON的对称点B1。连接A1B1，线段A1B1与OM、ON的交点即为P、Q。请小组代表利用几何画板展示探究过程和证明思路。教师总结：对于“角内两定点和角两边上两动点”的折线和最小问题，需通过两次轴对称变换，将两个定点“转移”到角的两边外侧，使折线的四个端点“共线”。

    变式二：“两定两动”型（“将军遛马”模型）。进一步复杂化：“如图，将军在平行河岸l1和l2之间的区域行军，他从A点出发，先到l1上点P，再到l2上点Q，最后到达B点。如何选择P、Q使路径最短？”此变式引入两条平行定直线。引导学生与变式一对比，发现平行线可视为“角”的特例（平角）。探究发现，只需作A关于l1的对称点A’，B关于l2的对称点B’，连接A’B’，其与l1、l2的交点即为P、Q。此模型可迁移到“楼梯侧面铺地毯最短”等实际问题。

    变式三：“造桥选址”问题。呈现经典问题：“如图，A、B两村位于一条河的两侧，现要在河上垂直架设一座桥（桥的宽度等于河宽，且桥必须垂直于河岸）。桥址应选在何处，才能使从A村到B村的路径（AM+桥长MN+NB）最短？”此问题与“将军饮马”表面不同，因为桥长MN是定值。引导学生分析：总路径=AM+MN+NB=(AM+NB)+定值。因此，核心是求AM+NB的最小值。但AM和NB是两条分离的线段。关键转化：由于桥垂直于河岸且长度为定值d，可以将点B沿垂直于河岸的方向向上游“平移”距离d到B’，这样，NB的长度就等于MB’的长度！于是问题转化为：在靠近B的河岸上找一点M，使AM+MB’最短，即标准的“将军饮马”模型（A、B’在河岸同侧）。此变式的探究价值极高，深刻揭示了“平移变换”与“轴对称变换”在化归问题中的协同作用，体现了数学思想方法的融合。

    在探究每个变式后，均配备一道对应的中考真题或模拟题进行即时巩固训练，要求学生先进行模型识别，再口述或书写解题思路。

  （四）综合应用，能力进阶（时长：约25分钟）

    本环节旨在培养学生综合运用模型解决复杂、隐蔽问题的能力。设计2-3道综合性例题，背景可涉及正方形、菱形、圆等更复杂的图形。

    例题1：如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上的中点，P是对角线AC上的动点。求PB+PE的最小值。分析：此题为“同侧两点（B、E）到定直线（AC）上一点距离和最小”的模型。关键在于识别定直线是对角线AC。作定点B（或E）关于AC的对称点。由于正方形对角线是其对称轴，点B关于AC的对称点即为D。连接DE，与AC的交点即为P，最小值即为DE的长。

    例题2：如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且MN=2，点P、Q分别在边OB、OA上运动。求四边形MPQN周长的最小值。分析：四边形周长=MP+PQ+QN+MN。MN=2为定值，故求MP+PQ+QN的最小值。这是“两定（M、N）两动（P在OB，Q在OA）”问题，但动点路径是两条射线。可通过作M关于OB的对称点M’，N关于OA的对称点N’，连接M’N’，其与OB、OA的交点即为P、Q。最小值即为M’N’的长度。此题综合了轴对称、等边三角形判定等知识。

    例题3：如图，在平面直角坐标系中，点A(1,3)，点B(3,-1)，点P是x轴上的动点，点Q是y轴上的动点。求四边形APQB周长的最小值。分析：四边形APQB周长=AP+PQ+QB+AB。AB长度固定，故求AP+PQ+QB的最小值。此为“两定两动”，但动点分别在两条坐标轴上（相互垂直）。可看作变式一在直角坐标系中的具体化。作A关于x轴的对称点A’(1,-3)，B关于y轴的对称点B’(-3,-1)。连接A’B’，其与x轴、y轴的交点即为P、Q。此时，A’B’的长度即为AP+PQ+QB的最小值。此题将几何模型与坐标系、距离公式相结合。

    学生先独立审题思考，然后小组讨论，分享模型识别与转化策略，最后由教师点评，提炼解题的通性通法：复杂最值问题的解决，往往需要将其分解、识别或构造出基本的“将军饮马”模型结构，综合利用轴对称、平移等几何变换进行转化。

  （五）反思总结，体系构建（时长：约10分钟）

    引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结。以思维导图的形式，师生共同构建“几何最值问题——‘将军饮马’及其变式”的知识体系。

    知识层面：回顾基本模型（同侧两点一线）与三大变式（一定两动、两定两动、造桥选址）。

    方法层面：核心方法是“轴对称变换”，辅助方法是“平移变换”。一般步骤：①分析动点、定点、定直线；②判断模型类型；③实施几何变换（作对称点或平移点）；④连接“转化后”的定点，确定动点位置；⑤计算最值。

    思想层面：深刻体会“转化与化归”的数学思想——将折线化和最短问题化归为两点之间线段最短问题；将复杂变式化归为基本模型。感悟“数形结合”思想——通过图形变换直观发现路径，通过逻辑推理和代数计算严密论证和求解。

    布置分层作业：基础巩固题（3道，直接套用模型）；能力提升题（2道，需识别并转化模型）；拓展探究题（1道，如“费马点”问题简介，或链接“胡不归”模型，为学有余力者提供探究方向）。

  七、教学评价设计

    1.过程性评价：通过课堂观察，记录学生在独立思考、小组讨论、发言展示等环节的参与度、思维深度与合作交流情况。利用学生平板电脑的实时反馈功能，收集课堂练习的准确率与完成速度，进行即时诊断。

    2.纸笔评价：课后作业作为重要的评价依据。不仅关注答案的正确性，更关注解题过程中模型的识别、转化步骤的表述是否清晰、逻辑是否严谨。