《等式性质与不等式性质》课件

2.1等式性质与不等式性质123不等式的性质不等式证明不等式的综合应用2.1.2等式性质与不等式性质教学目标1.掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题;2.进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小;3.通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质.核心素养：1.数学抽象；2.逻辑推理；

3.数学运算；4.数据分析；

5.数学建模.

知识梳理1.等式的性质性质1如果a＝b，那么________；性质2如果a＝b，b＝c，那么________；性质3如果a＝b，那么________________；性质4如果a＝b，那么____________；性质5如果a＝b，c≠0，那么_____________.b＝aa＝ca±c＝b±cac＝bc知识梳理2.不等式的性质性质1如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.性质2如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒________.性质3如果a>b，那么a＋c>b＋c.性质4如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么____________.性质5如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.性质6如果a>b>0，c>d>0，那么____________.性质7如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2).a>cac<bcac>bd知识梳理(1)在应用性质2时，如果两个不等式中有一个带等号，而另一个不带等号，那么等号不能传递下去.如由a≥b，b>c不能得到a≥c，只能得到a>c.(2)在应用性质4时，要特别注意c的符号.当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若没有“c≠0”这个条件，则“a>b⇒ac2>bc2”是错误的.(3)在使用不等式的性质时，一定要弄清它们成立的前提条件.如性质5要求两个不等式为同向不等式，性质6要求两个不等式为同向不等式且不等式两边同正，性质7要求不等式两边同为正数且n∈N，n≥2.

不等式的性质解析选项A中，当c＝0时，ac2＝bc2，不成立，其余选项都成立.答案

BCD不等式的性质【例】

(多选题)已知实数a，b，c满足c<b<a且ac<0，则下列选项中一定成立的是(

) A.ab>ac B.c(b－a)>0 C.ac(a－c)<0 D.cb2<ab2解析

因为c<b<a且ac<0，故c<0，a>0，所以ab>ac，故A成立；又b－a<0，故c(b－a)>0，故B成立；而a－c>0，ac<0，故ac(a－c)<0，故C成立；当b＝0时，cb2＝ab2，当b≠0时，有cb2<ab2，故cb2<ab2不一定成立，综上，选ABC.答案

ABC总结提升不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值求解.不等式的性质解析

a>b>0，c<d<0，即为－c>－d>0，则有－ac>－bd>0，即ac<bd<0，故A错；由－c>－d>0，－ac>－bd>0，可得ac2>bd2，则D错.故选B.答案

B不等式的性质【练】设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(

) A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2 C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax

解析

∵x<a<0，∴x2>a2. ∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.

又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2. ∴x2>ax>a2.答案

B不等式的性质【练】(多选题)若x>1>y，则下列不等式一定成立的有(

) A.x－1>1－y B.x－1>y－1 C.x－y>1－y D.1－x>y－x

解析

x－1－(1－y)＝x＋y－2，无法判断它与0的大小关系，

任取特殊值x＝2，y＝－1得x－1－(1－y)<0，故选项A中不等式不一定成立； x－1－(y－1)＝x－y>0，故选项B中不等式成立； x－y－(1－y)＝x－1>0，故选项C中不等式成立； 1－x－(y－x)＝1－y>0，故选项D中不等式成立.故选BCD.答案

BCD不等式证明

常用的证明不等式的方法1.比较法：比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负;2.综合法：从已知条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论;3.分析法：“从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”；综合过程有时正好是分析过程的逆推，所以常用分析法探索证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程.不等式证明证明

∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b).总结提升

利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．不等式证明证明

(1)因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc.不等式的综合应用解

∵3<b<4，∴－4<－b<－3.∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3.不等式的综合应用【例】判断下列各命题的真假，并说明理由.解(1)a<b,c<0,不一定有ab>0,(2)当c>0时，c3>0，∴a<b，∴是假命题.(3)当a＝1，b＝－2，k＝2时，显然命题不成立，∴是假命题.(4)当a＝2，b＝0，c＝－3时，满足a>b，b>c这两个条件，但是a－b＝2<b－c＝3，∴是假命题.不等式的综合应用【例】若1<x<2，4<y<6，则2x－y的取值范围是__________________.解析

由1<x<2，4<y<6得2<2x<4，－6<－y<－4，两式相加得－4<2x－y<0答案(-4,0)不等式的综合应用求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除不等式的综合应用∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6.则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10.法二令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.不等式的综合应用【练】(多选题)下列说法正确的是(

)解析

对于选项A，因为a>－b>0，所以a2>(－b)2，即a2>b2，所以选项A正确；答案

AD课堂总结1.利用不等式的性质判断命题的真假时，一定要注意不等式成立的条件.不要弱化条件，尤其是不能凭空捏造性质.2.利用不等式的性质证明简单的不等式是否成立，实际上就是根据不等式的性质把不等式进行适当的变形，证明过程中注意不等式成立的条件.

123456789101112A级必备知识基础练1.(多选题)下列关于不等关系的说法正确的是(

)A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌,是指示司机要安全通过隧道,应使车载货物高度h米满足关系为h≤4.5B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为a-b>0C.不等式x≥2的含义是指x不小于2D.若a<b或a=b之中有一个正确,则a≤b正确ACD解析

因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”.不超过用“≤”表示,故说法A正确;因为“非负数”即为“不是负数”,所以a-b≥0,故说法B错误;因为不等式x≥2表示x>2或x=2,即x不小于2,故说法C正确;因为不等式a≤b表示a<b或a=b,故若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b一定正确,故说法D正确.1234567891011122.已知0<b<a,a+b=2,则(

)A.0<a<1 B.1<b<2C.0<a-b<2 D.ab>a2C解析

取a=1.2,b=0.8,满足0<b<a,a+b=2,故A,B,D错误.因为0<b<a,a+b=2,则0<b<a<2,故0<a-b<2.故选C.123456789101112A.b>a>c B.c>b>aC.a>b>c D.c>a>bA1234567891011124.

已知实数a,b,c满足c<b<a,ac<0,那么下列选项中正确的是(

)A.ab>ac B.ac>bcC.ab2>cb2 D.ca2>ac2A解析

因为c<b<a,且ac<0,所以c<0,a>0,b-a<0.所以ab>ac,故A正确;因为a>b,c<0,所以ac<bc,故B错误;当b=0时,ab2=cb2,故C错误;因为a>c,ac<0,所以ca2<ac2,故D错误.故选A.1234567891011125.(多选题)已知a,b,c为非零实数,且a-b≥0,则下列结论正确的有(

)A.a+c≥b+c

B.-a≤-bC.a2≥b2

AB解析

因为a-b≥0,则a≥b,根据不等式性质可知A,B正确;因为a,b符号不确定,所以C,D选项无法确定,故不正确.故选AB.1234567891011126.(多选题)若正实数x,y满足x>y,则有下列结论,其中正确的有(

)A.xy<y2

B.x2>y2BCD解析

A中,由于x,y为正实数,且x>y,两边乘y得xy>y2,故A选项错误;B中,由于x,y为正实数,且x>y,所以x2>y2,故B选项正确;C中,由于x,y为正实数,且x>y,m>0,所以y(x+m)-x(y+m)=m(y-x)<0,则y(x+m)<x(y+m),所以

成立,故C选项正确;D中,由于x,y为正实数,且x>y,所以x>x-y>0,取倒数得1234567891011127.能说明“若a>b,则”为假命题的一组a,b的值依次为

(写出一组,答案合理即可).

1,-1(答案不唯一)

解析

易知当a>0>b时,“若a>b,则

”为假命题,不妨取a=1,b=-1.123456789101112123456789101112B级关键能力提升练9.已知实数a,b在数轴上对应的点如图所示,则下列式子中正确的是(

)A.

B.