5.3.2 函数的极值与最大(小)值（2）A基础练（解析版）

5.3.2函数的极值与最大(小)值（2）-A基础练选择题1．在[0，3]上的最大值，最小值分别是（）A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16【答案】A【详解】，∴在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值为，也是最小值，，的最大值、最小值分别为、.故选：A.2．已知函数，若在定义域内存在，使得不等式成立，则实数m的最小值是（）A．2 B． C．1 D．【答案】C【详解】函数的定义域为，.令，得或（舍）.当时，；当时，.所以当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为1.因为存在，使得不等式成立，所以，所以实数m的最小值为1.故选：C3．函数在内有最小值，则的取值范围为()A． B．C． D．【答案】B【详解】∵函数f（x）=x3﹣3ax﹣a在（0，1）内有最小值，∴f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），①若a≤0，可得f′（x）≥0，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在x=0处取得最小值，显然不可能，②若a＞0，f′（x）=0解得x=±，当x＞，f（x）为增函数，0＜x＜为减函数，f（x）在x=处取得极小值，也是最小值，所以极小值点应该在（0，1）内，符合要求．综上所述，a的取值范围为（0，1），故答案为B4．已知函数无零点，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为函数无零点，所以方程在上无解，即在上无解，令，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以时，函数有唯一的极小值，也是最小值．，所以．若无解，则．故选：B．5．（多选题）如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为的半球，下面大圆刚好与高度为的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为（）A． B．C． D．【答案】ABC【详解】令上部分的半球半径为，可得，解得，设小圆锥的底面半径为，小圆锥底面中心到球心距离为，可知，，和可构成直角三角形，即，小圆锥体积．令，则，可知在上单调递增，在上单调递减，所以当时，最大，，即，即ABC三个选项都满足题意．故选：ABC.6．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（）A．若，则函数没有极值B．若，则函数有极值C．若函数有且只有两个零点，则实数a的取值范围是D．若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是【答案】ABD【详解】由题意得，函数的定义域为，且，当时，恒成立，此时单调递减，没有极值，又当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，∴有且只有一个零点，当时，在上，，单调递减，在上，，单调递增，当时，取得极小值，同时也是最小值，∴，当x趋近于0时，趋近于，趋近于，当x趋近于时，趋近于，当，即时，有且只有一个零点；当，即时，有且仅有两个零点，综上可知ABD正确，C错误．故选：ABD．填空题7．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】，当或时，，当时，，∴是函数的极小值点．∵函数在区间上有最小值，即为极小值．∴，解得．8．已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a=________.【答案】1【详解】是奇函数，时，的最小值为1，在上的最大值为，当时，，令得，又，，令，则，在上递增；令，则，在，上递减，，，得．9．已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.【答案】【详解】对任意都存在使成立，所以得到，而，所以，即存在，使，此时，，所以，因此将问题转化为存在，使成立，设，则，，当，，单调递增，所以，即，所以，所以实数的取值范围是.10．已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数的最大值是_______.【答案】【详解】∵，∴，∴，又点在直线上，∴，∴，，设，则，当时，，∴在上单调递增，∴，∴在上单调递增，，解得或，∴的最大值为.解答题11．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【解析】（1）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.12．已知函数，.（1）若在上的最大值为，求实数的值；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）由，得，令，得或.函数，在上的变化情况如下表：，，.即最大值为，.（2）由，得.，，且等号不能同时取得，，即.恒成立，即.令，，则.当时，，，，从而.在区间上为增函数，，.A级必备知识基础练1.[探究点一(角度1)]函数f(x)=x3-3x+1在区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是()A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-192.[探究点三]某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家的关注,据有关统计数据显示,从上午6h到9h,车辆通过该市某一路段的用时y(单位:min)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数表示:y=-18t3-34t2+36t-6294.A.6h B.7hC.8h D.9h3.[探究点一(角度1)]函数f(x)=12ex(sinx+cosx)在区间0,πA.12,12C.[1,eπ2] D.(1,4.[探究点四]当0<x<1时,f(x)=lnxx,则下列大小关系正确的是(A.f2(x)<f(x2)<f(x) B.f(x2)<f2(x)<f(x)C.f(x)<f(x2)<f2(x) D.f(x2)<f(x)<f2(x)5.[探究点一(角度2)]函数f(x)=(x+1)ex的最小值是.

6.[探究点二(角度2)·2023山东东营期末]若函数f(x)=x3-3x在区间(a2-6,a)上有最大值,则实数a的取值范围是.

7.[探究点三]对于企业来说,生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题.对一家药品生产企业的研究表明,该企业的生产成本y(单位:万元)和生产收入z(单位:万元)都是产量x(单位:t)的函数,分别为y=x3-24x2+225x+10,z=180x.(1)试写出该企业获得的生产利润w(单位:万元)与产量x之间的函数关系式;(2)当产量为多少时,该企业可获得最大利润?最大利润为多少?B级关键能力提升练8.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元,销售量为Q件,则销售量Q与零售价p有如下关系:Q=8300-170p-p2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)()A.30元 B.60元C.28000元 D.23000元9.函数f(x)=6x-x3+6在[0,4]上的最大值与最小值之和为()A.-46 B.-35 C.6 D.510.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n均属于[-1,1],则f(m)+f'(n)的最小值是()A.-13 B.-15 C.10 D.1511.若函数f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,则实数a的取值范围是()A.[-3,+∞) B.(-3,+∞)C.(-3,0) D.[-3,0]12.已知f(x)=-x2+mx+1在区间(-2,-1)上的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是.

13.已知存在x∈(0,+∞)使不等式2xlnx≤-x2+ax-3成立,则实数a的取值范围是.

14.已知函数f(x)=alnx-bx2,a,b∈R,且曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-12相切(1)求a,b的值;(2)求f(x)在[1e,e]上的最大值15.[2023江苏淮安期末]已知函数f(x)=-13x3+x2+ax+2,a∈R(1)当a=3时,求函数f(x)的极值;(2)当0<a<43时,若函数f(x)在[0,4]上的最小值为23,求实数a16.已知函数f(x)=2lnx+ax,a∈R.若f(x)≤xex+1xC级学科素养创新练17.[2023重庆沙坪坝期末]定义:设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x),若f'(x)在(a,b)上也存在导函数,则称函数y=f(x)在(a,b)上存在二阶导函数,简记为y=f″(x).若在区间(a,b)上f″(x)>0,则称函数y=f(x)在区间(a,b)上为“凹函数”.已知f(x)=exx-m(x-lnx)在区间(0,+∞)上为“凹函数”,则实数m的取值范围为1.Cf'(x)=3x2-3=3(x-1)·(x+1),令f'(x)=0,得x=±1.又f(-3)=-27+9+1=-17,f(0)=1,f(-1)=-1+3+1=3,1∉[-3,0].所以函数f(x)的最大值为3,最小值为-17.2.C由题意,得y'=-38t2-32t+36=-38(t+12)(t-8).令y'=0得t=-12(舍去)或t=8.当6≤t<8时,y'>0;当8<t≤9时,y'<0,所以当t=8时,y有最大值3.Af'(x)=12ex(sinx+cosx)+12ex(cosx-sinx)=excosx,当0≤x≤π2时,f'(x)≥0,且只有在x=π2时,f'(x)=0,所以f(x)是[0,π2]上的增函数.即f(x)的最大值为f(π2)=12eπ2,f(x)的最小值为f(0)=12.故f(x)在4.D根据0<x<1得到0<x2<x<1,而f'(x)=1-lnxx2,所以根据对数函数的单调性可知,当0<x<1时,1-lnx>0,从而可得f'(x)>0,函数f(x)单调递增,所以f(x2)<f(x)<0,而f2(x)=(lnxx)2>0,所以有f(x2)<f(x5.-1e2函数f(x)=(x+1)ex的导数为f'(x)=(x+2)ex,当x>-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递减,因此当x=-2时,函数有最小值,最小值为f(-2)=(-2+1)e-2=-6.(-1,2]由题意,得f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1).由f'(x)>0,得x<-1或x>1,则f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,由f'(x)<0,得-1<x<1,则f(x)在区间(-1,1)上单调递减,所以a2-6<-1,a>-1,f(7.解(1)因为总利润=总收入-总成本,即w=z-y,所以w=w(x)=180x-(x3-24x2+225x+10),即w=-x3+24x2-45x-10(x≥0).(2)根据导数公式表及导数的运算法则,可得w'(x)=-3x2+48x-45=-3(x-1)(x-15).解方程w'(x)=0,得x1=1,x2=15.比较x=0,x=1和x=15的函数值w(0)=-10,w(1)=-32,w(15)=1340可知,函数w=w(x)在x=15处取得最大值,此时最大值为1340.即该企业的产量为15t时,可获得最大利润,最大利润为1340万元.8.D设毛利润为L(p),由题意知L(p)=Q(p-20)=(8300-170p-p2)·(p-20)=-p3-150p2+11700p-166000,所以L'(p)=-3p2-300p+11700.令L'(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).此时,L(30)=23000.因为在p=30附近的左侧L'(p)>0,右侧L'(p)<0,所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元.9.B由f(x)=6x-x3+6得f'(x)=3x-3x2=3(1-x2x)x,由f'(x)=0可得x=1.当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)的极大值为f(1)=11,又f(0)=6,f(4)=-46,所以f(x)的最大值为11,最小值为10.A对函数f(x)求导得f'(x)=-3x2+2ax,由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0,即-3×4+2a×2=0,∴a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知f(x)在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递增,∴当m∈[-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下,且对称轴为x=1,∴当n∈[-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9,故f(m)+f'(n)的最小值为-13.11.D∵f(x)=-x3-3x2+1,∴f'(x)=-3x2-6x,令f'(x)=-3x2-6x=0,解得x=0或x=-2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,+∞)f'(x)-0+0-f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减由f(x)=1,得-x3-3x2+1=1,解得x=0或x=-3.当x>0时,f(x)<f(0)=1,当x<-3时,f(x)>f(-3)=1.又f(x)=-x3-3x2+1在[a,+∞)上的最大值为1,∴a的取值范围为[-3,0].故选D.12.(-4,-2)f'(x)=m-2x,令f'(x)=0,得x=m2.由题意得m2∈(-2,-1),故m∈(-4,-13.[4,+∞)2xlnx≤-x2+ax-3成立,则a≥2lnx+x+3x成立.设h(x)=2lnx+3x+x(x>0),则h'(x)=(x+3)(x-1)x2.当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'∴h(x)min=h(1)=4.∴a≥h(x)min=4.14.解(1)f'(x)=ax-2bx(x>0)由曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-12相切,得即a-2(2)由(1),得f(x)=lnx-12x2,定义域为(0,+∞)f'(x)=1x-x=1令f'(x)>0,得0<x<1,令f'(x)<0,得x>1,所以f(x)在[1e,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减所以f(x)在[1e,e]上的最大值为f(1)=-115.解(1)当a=3时,函数f(x)=-13x3+x2+3x+2,x∈R,f'(x)=-x2+2x+3=-(x+1)(x-当x<-1或x>3时,f'(x)<0,当-1<x<3时,f'(x)>0,即函数f(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上单调递减,在(-1,3)上单调递增,因此当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=13,当x=3时,f(x)取得极大值f(3)=11,所以f(x)的极小值为13,极大值为(2)函数f(x)=-13x3+x2+ax+2,其中0<a<43,求导得f'(x)=-x2+2x+a,因为0≤x≤4,由f'(x)=0得x=1+a+1,显然1+a+1<4,当0<x<1+a+1时,f'(x)>0,当1+a+1<x<4时,f'(x)<0,因此函数f(x)在[0,1+a+1)上单调递增,在(1+a+1,4]上单调递减,而f(