河南南阳市2025-2026学年高一下学期期中质量评估数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南南阳市2025-2026学年高一下学期期中质量评估数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.AB−DB−A.AD B.0 C.AC D.CD2.已知O是△ABC所在平面上的一点，若OA+OB+OC=0，则点OA.外心 B.内心 C.重心 D.垂心3.函数y=tan12x−A.−2π3,0 B.x=−2π3 4.在边长为1的正方形ABCD中，P为BC的中点，则AP⋅DP=A.−34 B.−14 C.5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，A=π4，满足条件的△ABC有两个，则b可能为(

)A.2 B.52 C.226.若函数fx=sinωx+π12ω>0在A.1,175 B.1,175 C.7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用(图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图2).若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米(图3)，已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时(图3中点P0)开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且h=Asinωt+φ+Bω>0,A.A=2,B=1

B.ω=2π15

C.φ=−π6

D.当点P运动8.关于x的方程sin2x+sinx+a−1=0在区间0,2π有两解，则实数A.−1,1 B.−1,1 C.−1,1∪54二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的有(

)A.单位向量都相等

B.物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量

C.两个非零向量a，b，若a−b=a+b，则a与b共线且反向

D.若a10.在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=5，b=7，c=8，AD=λAC.则A.B=π3

B.若λ=12，则BD=1292

C.若BD为∠ABC的平分线，则11.如图，函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π的图象交x轴于点B和点D，交y轴于点C，已知Bπ6,0,C0,3A.fx=sin2x+2π3

B.△BCE的面积为3π6

C.若fx=32在x∈−13π12,11π12有n个解x1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=1,b=2，则a+b13.已知∀x∈R，fx+3=−fx.当x∈0,3时，fx=14.已知y∈0,π2.对∀α∈R,∃x∈α−π12,α+5π四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)(1)一个扇形的周长的数值为4，面积的数值为1，求这个扇形圆心角的弧度数；(2)已知α角的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴，终边过点P−1213,51316.(本小题15分)已知单位向量i,j的夹角为π3，向量a(1)若a//b，求(2)若a⊥b，求(3)若a=b，求λ17.(本小题15分)函数fx(1)请用五点作图法画出函数fx的图象(先填表，再画图)(2)若fx=m有2个根，求实数(3)若fx在a,b上的值域为0,32，求18.(本小题17分)已知函数fx=sinωx+φω>0,φ<(1)求函数fx(2)若函数fx在区间−π3(3)若∀x∈−π6,19.(本小题17分)在▵ABC中，若点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，则点P称为▵ABC的布洛卡点，角α为▵ABC的布洛卡角．已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点P是▵ABC的布洛卡点．(1)若△ABC为正三角形，求α；(2)已知PA①求证：b2②若a+c=2，λ=3，求▵ABC面积的最大值．

参考答案1.C

2.C

3.A

4.D

5.B

6.B

7.D

8.C

9.BC

10.ABD

11.ACD

12.1,3

13.−1

14.π415.解：(1)设一个扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，由题意可得：2r+αr=412所以这个扇形圆心角的弧度数为2．(2)fα因为角α的终边过点P−所以sinα=513

16.解：(1)∵单位向量i,j的夹角为π3，∴∵向量a=λi−∴由平面向量共线定理可知，存在唯一实数k，使得a=k即λi−j=k(i方法二：∵单位向量i,j的夹角为π3，∴不妨设i向量a=λi−∵a//b，∴(2)i若a⊥b，则即λ+2λ−1×1方法二：若a⊥b，则λ−1(3)i所以a=b=因为a=b，所以λ2−λ+1方法二：a=因为a=b所以λ2−λ+1

17.解：(1)函数fx按五个关键点列表：x0ππ3π2πcos10−101f30103描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：(2)若fx=m有2个根，则y=fx的图象与直线y=m由图可知，m=0或1<m≤3．即实数m的取值范围{mm=0或1<m≤3}(3)在x∈0,2π，令fx=0，得x=令fx=32，得3cosx=3由图像可得：当x∈π3,π2时，函数f若fx在a,b上的值域为0,则u=b−a=π2−当x∈π3,5π3时，u=

18.(1)解：由f0=12，得f0因为函数fx图象的两条相邻对称轴间的距离为π所以函数的最小正周期满足T2=π因为T=2πω=π,ω>0，则ω=2(2)令t=2x+π6，因为x∈−要使函数fx在区间−π3解得：−π3<m≤π6(3)∵x∈−π6,π令u=fx∈−令gu=u2−λu−1所以，解得：0≤λ≤32，综上可知，λ的取值范围是

19.解：(1)▵ABC为等边三角形．因为∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，所以∠PBA=∠PCB=∠PAC=π所以∠APB=∠BPC=∠CPA=2π在▵ABP中，由正弦定理得，APsin在▵APC中，由正弦定理得，APsin因为▵ABC为等边三角形，AB=AC，所以sinα=又0<α<π3，所以α=π(2)①证明：因为∠PAB=∠PBC=α，所以∠PBA=∠ABC−α，所以∠APB=π−∠ABC，PBsinα=因为∠PAB=∠PCA=α，所以∠PCA=∠BAC−α，所以∠APC=π−∠BAC在▵APC中，PAsinα=所以PAPB=b因为PA=λPB，所以λ=b2ac②由λ=3可得b2=3ac.在▵ABC中，由余弦定理得，因为a+c=2，所以cos∠ABC=4−5