2024届清华大学强基计划数学学科笔试试题（附答案）

2024届清华大学强基计划数学学科笔试试题

1.已知{sin。,sin2仇sin38}={cos。,cos26,cos36},则6=.

2.已知e"+a=lnb+b=4,则下列选项中正确的有（）

A.a\nb+\na>\B.a\nb+\na=\C.ab<4D.ab>e

3.某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段正中央开始走，每个

点至多经过一次，最终回到出发点.已知向左转了100次，则可能向右转了（）次。

A.96B.98C.104D.102

4.在平面直角坐标系内，工A（2,I）,若△O/W4的面积不超过

[,2008

3,则满足条件的整点M个数为.

5.已知生=""-2"下列选项中正确的有（）

%门+1

A.存在九，使存在正整数N,使〃2N时，恒成立

B.存在3使不存在正整数N,使〃2N时，恒成立

C.存在3使存在正整数N,使〃2N时，%+]>%恒成立

D.存在九，使不存在正整数N,使"NN时，%+1>%恒成立

6.已知q=l,47=%+],下列选项中正确的有（）.

a~

A.liiTi-/=,—\/3B.[a。。]=20C.lim-—V2D.=30

iio

7.正整数Q/,C£{1,2,…,100},且上+上=*,a>b>c,满足这样条件的（a,b,c）的

acb

组数为（）.

A.60B.90C.75D.86

8.从棱长为1个单位长度的正方体的底面•顶点A出发，每次均随机沿一条棱行走一个单位

长度，下列选项中正确的有（）.

A.进行4次这样的操作回到A的概率为:•（1+5）B.进行2次这样的操作回到A的概

率为之

9

C.进行4次这样的操作回到A的概率为:D.进行2次这样的操作回到A的概

率为工

3

9.圆周上4,劣，…，为七个点两两相连，任选两条线段，则这两条线段无公告点的概率

是（）.

31c21

A.—B.—C.—D.一

7273

10.%,生，…《0是一个人2,3,…，10的排列，要求a“和〃川一定有一个大于《

（/=2,3,---,9）,则满足的排列的总数为

11.直线1：ar+by+。=0,pX]乂，Qx,y,,x=十"月十一,下列选项中正确的有（）.

ax24-by2+c

A.若x>l,则I与射线PQ相交B.若x=l,则1与射线PQ平行

C.若工二一1,则1与射线PQ垂直D.若x存在，则Q在1上

12.在△48。中，ZJ=60°,/BAP=/CAP,P在△//8C内部，延长BP交AC于Q,

且」+工二」，则N8PC=（）.

网|CP|\PQ\

A.140°B.130°C.110°D.120°

13.几个人讨论某个比赛的成绩，讨论内容如下：

张三：甲是第4名；

李四：乙不是第2或第4名；

王五：丙排在乙前面；

刘六：丁是第1名

已知只有一个人说假话，下列正确的是（）.

A.丙是第1名B.丁是第2名C.乙是第3名D.甲是第4名

22

14.tan（arctan2+arctan^7+,,,++arctan.

15.已知Q+Z?W2024,使得。/+〃+7,+〃+b的解的组数有（）组.

16.点集S={（xj）k«5,y«4,x,y£N*},则由S中的点可组成个不同的三角形.

17.已知2。必+|-3%+]+1=0,a=-,下列选项中正确的有().

,3

A.lima=-B.S>—C.上是等比数列D.S<-

5"2161%+lJ2

18.己知复数|z|=l,z”=z+JL则n的最小值为.

19.已知一个正四面体边长为28,P点满足|莎+而卜2,考虑万・)万，下列说法正确

的有().

A.最小值为4-2后B.最大值为2+2后C.最小值为2-2及D.最大值为

4+2如

+J---—(a,b,c>0),则/(a,Z),c)的最大值、最

20.已知f(a,b9c)=

小值分别为.

21.已知d+pV+7=o在(0,2)上三个不等实根，则2+q+厂的可能取值为

22.四面体/一45。中，VA=VB=2亚,KC=3,C4=CB=4,求CA与VB所成弦角

的取值范围.

23.已知=下列选项中正确的有().

e

A./(x)=。两根$,x2,且X)+x2=4

B./'(x)=a两根，则4£(0，F)

e~

C.任意"7WR,函数g(x)=|/(x)+同都有最小值

D.任意〃?wR,使得函数g(x)=|/'(x)+〃?|有最大值

24./(丁)是在［0,1］上的连续函数设『小『一吟,则()

A.A<A.nB.An<An+mC.2An<A,D.2A<All+ni

25.双曲线二一4=1,斜率为1的直线1交C于A,B两点，D为C上另一点,

a~b~

ADVBD.△40。，△80。重心分别为P,Q,△460外心为M,若女”/)。

则双曲线的离心率为.

26.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点ARM，Bx28两点，1过B且与抛物

线在A处的切线平行，I交抛物线与另一点Ds为，交y轴于E点，则下列选项中正确的有

().

A.x2+x3=B.|FZ?|=|FE|C.△480面积的最小值为16D.yiy2=1

27./(x)=Inx+cosx所有极值点依次为q，a2,...a,,KOlim|a}-an|=•

28./'(«)=u2+au+b-2,〃=x+—,/(〃)有零点，则/十〃的最小值为

试题解析

1.【正确答案】0="辿兀，keZ

8

:{sin。,sin2。,sin36}={cos。,cos26,cos36}

sin0+sin10+sin3。=cos0+cos29+cos3。

/.sin—(sin0+sin20+sin30)=sin—(cos0+cos20+cos30)

:.sin6sin—+sin20sin—+sin33sin—=cossin—+cos20sin—+cos30sin—

???9?9

6333505070.36.3.50.3.70.50

cos——cos——+cos——cos—+cos------cos——=sin------sin—+sin------sin—+sin------sin——

222222222222

.­.cos^-cos2£=sin^-sin^

2222

00.1070

sin—Fcos—=sin----FCOS—

2222

7。Tl]

/.y/2sin0卜71=V2sin

224；

••---1——I—I—=3。=2kit,ksZ,或----1—+1—i—=4。H—=(2左+1)兀，

I24八24)I24八22

keZ

.2kn(4k+\)

••u—9k£Z,或3—719左£Z

38

459

2兀

兀

兀

---兀

考虑周期性，只需要检验6=0,-71,3888-

93

兀

5兀U兀都符合，0=0,-7C,3兀不符合，・・・0=(4〃+1)7,

经检验：0=-,-71,8-

888338

ksZ

2.【正确答案】ACD

a为方程,二4一x的解,b为方程Inx=4-x的解，其中/与Inx互为反函数，关于直线y=x

对称，函数_y=4—x也关于直线y=x对称，所以点(a,靖)，(b,Inb)关于直线y=x对

称

ea=h=4-a,，。+〃=4,・，."=4,但。工力，不能取等号，

4

C选项正确

V+(7=4>e4-1»>1,a\nb+h\na>a\nb=a2>\,A选项正确，B选项错误,

另外ah=aea>e,D选项正确

3.【正确答案】AC

总体的路线形成一个多边形，如果出发点在多边形的边上，左转、右转的次数差一定是4的

倍数，如果出发点在多边形的顶点上，左转、右转的次数差一定奇数，因此只有AC有可能.

卜面两图的路线分别对应右转96次和104次的情形:

4.【正确答案】65

设M%%,直线OA的方程为>即x-2y=0

；Q川•%件=智皿M3

设方—2为=%，则左=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6,x0=2yQ+k,代入旦+至W1并化简得

2008

2

29y~+4ky()<200-k

当A=0时，29y；m200,^0=0,±1,±2,有5个整点；

当攵=1时，29^+4v0<199,yo=O,±L±2,有5个整点：

当女=2时，29y：+8%(196,yo=O,±l,±2,有5个整点；

当左=3时，29呼+12比4191,yo=O,±l,±2,有5个整点；

当左=4时，29年十16%4184,加=°，±1，±2,有5个整点；

当％=5时，29亦+20打工175,yo=O,±l,±2,有5个整点；

当左=6时,29^+24^<164,为=0,±1,±2,有5个整点;

根据对称性，当左二一1,一2,—3,…6时，也分别有5个整点.

•••共有65个整点.

5.【正确答案】BCD

若2M0,则｛%｝正负交替，BD选项正确：若4>0,则存在正整数N,使〃NN时,

―—丝>1,・・・〃川>&,A选项错误，C选项正确.

n+\

6.【正确答案】AD

d=4+3=2,显然｛4｝单调递增，当，22时，

4

3(1丫32313二

a"-a”+r=+3+—r+~r>+3

\n/nH

a\>a\+3(〃-2)=3/7+2

3131<^+3+-+—!—

。3=力+3+^+=《力+3+

a”%3/2+2(3〃+2/

11

vq：+3+ln

n-\91〃Tn

1(11\_

二^<^+3(/?-2)+ln(/i-l)+-I1一|<3/?+2+ln0?-l)+

n9

••网3n+2WcittW13〃+2+ln(〃-1)+,

j-----33«+2+ln(//-l)+-1——

..</3n+2..V9(n3号

乂因为lim——hmJ------------尸-----------=<J3

<//?W

•e*lim二=>/3,A选项正确

"TW小7

=V3lim超=0,C选项错误

ix\Jn

VV3x400+2<^4OO<^3x400+2+ln399+1

A10<%。。<3/3x400+2+log2512+l=^/1212<11

Ah400]=10,B选项错误

・.•#3x9090+24限j“3x9000+2+In8999+"

/.30<Q^OO</3x9000+2+log/6384+1=也7017<31

・•・[〃9Goo]=3O,D选项错误

7.【正确答案】D

1,1成等差数列

acbabc

...11I、？八「、1kk+dk+2d开卜，，八，

设一，一烟分后为一，-----，-------，其中伏,d)=l；

abcppp

则左|p,(A+d)|p,(女+2d)|p,

1,人为奇数

化%+")=(%,")=1,氏"2d)=化2d)=化2)=：佃如，

2次为偶数

(k+d,k+2d)一(A+d,d)一(A,d)_1

,当k为奇数时,化女+24)=1,k(k+d"k+2d)\p；当k为偶数时，(尼与+2d)=2,

,,,»】k(k+d)(k+2d)k(k+d)(k+2d)[

r伏,，女+d,%+2d]:-^---------------------------------------\px

(1)当k为奇数时,设〃=/成(攵+d)(攵+2d)

则(。也c)=〃7((%+4(左+21),左(4+21),4(％+1))

①若左=1,WJ(a,Z?,c)=/7z((l+J)(l+2J),l+2t/,l+J),A(l+J)(l+2J)<100

/.J=1,2,3,4,5,6

取d=l,(〃,b,c)="(6,3,2),m=\,2.......16；

取d=2,(a,8c)=〃z(15,5,3),m=1,2,…,6；

取d=3,=w(28,7,4),m=1,2,3：

取d=4,（6f,/?,<?）=/??（45,9,5）,w=1,2；

取d=5,（a也c）=〃?（66,11,6）,w=1；

取d=6,（a,ZJ,c）=777（91,13,7）,m=l；

共16+6+3+2+1+1=29种

②若左二3,则（。也。）二阳（（3+"）（3+2"）,3+6乩3+33）,・・.（3+4）（3+24）工100

/.J=1»2,3,4,考虑到=从而d=l,2,4

取d=l,4C）=〃7（2Q,15/2）,"?=1,2,3,4,5；

取d=2,^a,b,c）=w（35,21,15）,加=1,2；

取d=4,=〃?（77,33,21）,〃z=l；

共5+2+l=8种

③若％=5,则（a,〃,c）=加（（5+d）（5+2d）,5+10d,5+5d）,工（5+d）（5+2d）V10（）

，d=l,2,3,

取d=l,（4也c）=〃?（42,35,30）,/n=1,2；

取d=2,=〃?（63,45,35）,〃z=l；

取d=3,（4,6,c）=m（88,55,40）,w=1；

共2+l+l=4种

④若k=7,则（4/©=加（（7+1）（7+2〃）,7+7乩7+74，.,・（7+1）（7+2〃）工100

/.J=1,2,

取d=l,（o,b,c）=m（72,63,56）,w=1；

取d=2,（Q,Z?,C）=〃z（99,77,63）,m=1：

共2种

⑤若去N9,则（9+d）（9+2d）W（）+d）（左+2d）K100

・・.d=l,・・.（a,Ac）=m（（A+l）（4+2），M〃+2），M〃+l））,・・・（〃+l）（k+2）4100

k,矛盾

（2）当k为偶数时，设p=5〃7左（A+d）（左+2d）

则（a,Z\c）=〃7kA•+"）（g+d）,；（〃+2"）,/k+d）

①若女=2,则（。,/"）=加（（2+〃）（1+1）,2（1+4）,2+1）,・・・（2+1）（1+1）<1（）0

・"=1,2,3,4,5,6,7,8,考虑到（4,2）=1,从而d=1,3,5,7

取d=l,（。,九。）=加（6,4,3）,〃2=1,2.......16；

取d=3,（a,b,c）=/w（20,8,5）,m=1»2.......5；

取d=5,（a,/>,c）=m（42,12,7）,m=l,2；

取4=7,（a,£>,c）=/M（72,63,56）,m=l

共16+5+2+1=24种

②若％=4,贝ij（d&c）=m（（4+d）（2+d）,4（2+4）,2（4+d））,・•.（4+4）（2+4）4100

，d=l,2,3,4,5,6,7,考虑到（％,d）=l,从而d=l,3,5,7

取d=l,12,10）,〃？=1,2,…，6；

取d=3,=〃z（35,20,14）,〃？=1,2；

取d=5,（。1,c）=〃z（63,28,18）,m=1；

取d=7,（a,仇c）=〃z（99,36,22）,tn=1

共6+2+1+1=10种

③若左=6,则（。,"，）=加（（6+1）（3+1）,6（3+1）,3（6+1））,・・.（6+1）（3+4）4100

/.J=1>2,3,4,5,考虑到（4,d）=l,从而d=l,5

取d=l,=w（28,24,21）,ni=1,2,3；

取4=5,（a也c）=/w（88,48,33）,m=l；

共3+1=4种

④若〃=8,WiJ（d4c）=M（8+d）（4+d）,8（4+d）,4[8+d））,・・・（8+d）（4+d）V100

・•・d=l,2,3,4,考虑到化d)=l,从而d=l,3

取d=l,(6r,/?,c)=w(45,40,36),m=\,2；

取d=3,(a,Z>,c)=w(77,56,44),m=l；

共2+1=3种

⑤若攵210,则(10+c/)(5+d)W(A+d)—+“<100,d=1

12)

...(a,〃,c)=〃？(左+1>—+11,—(k+2),—(k+1)(k\

・•・(女+1)-+1<100

ik2)2212)

4=10,12

取％=10,(a,c)=w(66,60,55),m=\；

取A=12,(a,b,c)=m(91,84,78),w=l；

共2种

综上所述，(a,b,c)共有29+8+4+2+24+10+4+3+2=86组

8.【止确答案】D

每次操作有3种不同的路线，2次操作，有3?=9种路线，其中有3条可以回到A点，因此

进行2次这样的操作回到A点的概率为L；

3

4次操作，有34种路线，如下图所示，设第n次操作后恰好走到A点的方法数为勺，由对称

性可知第n次操作后恰好走到B,C,D三点的方法数相同，设为“，恰好走到E,F,G三

点的方法数也相同，设为1,设第n次操作后恰好走到H点的方法数为,

B

%=3〃a}=04=3=0

二

屋n+1=。n“+2cn”h.=14=087

则，,由此算出,>,

%二次+"”G=0q=2c3=0

4+1=3g4=oA=°4=6

217

・・・4=21,・••进行4次这样的操作回到A点的概率为弓=',AC选项都错.

3427

9.【正确答案】-

3

共C；=21条线段，选出两条有C；=210种方法，任意四个点对应两组不相交的线段，有

70

2xC：=70组，因此，任选两条线段，它们无公共点的概率为二=一

2103

10.【正确答案】29

若《.＜小，考虑*（/＜8）,必有。卬＜《+2可知从第i项开始，数列开始递增；再考虑4

前面的项，若＞%=＞%＞。小，说明此情况下数列在第1项到第i项递减.若。"心外，

则将原来的i改为同理考虑即可.

由以上分析可知，该数列只有三种情况，单调递减，单调递增，先减后增

故排列总数为C；+C；+C；+…+C；=29.

11.【正确答案】ABC.

W可理解为P,Q两点到直线距离之比；K＞0说明两点在直线同侧，xvO说明两点在直线

异侧，故可知ABC正确.

12.【正确答案】D.

如下图

।"。p八心“尸。"。sinZ.ABQPQsinZPCQ

由题可知AP为/历ic平分线，故±二=^=--------；—=........—

PBABsinNAQBPCsinAPQC

于是

PQ}PQsinZABQ।sinAPCQ।sinZJi?O+sinZPCQsinN430+sin4PCQ

~PB~PC~~sinZAQBsinZ.PQCsinZ.PQCsinf1+ZJ^

7T

化简可得sin/尸CQ=sin--

、3

于是/尸。。=］一/48。或/尸。0+1—//80=兀(舍)

2兀

故4BPC=ZPCO+N/80+ABAC=—

3

13.【正确答案】ABCD

分类讨论即可

若张三说假话，则丁第1名，因为乙不是第2或第4名，于是乙只能是第3名，又因为丙排

在乙前面，于是丙只能为第2名，推出甲为第4名，与张三说假话矛盾！

若李四说假话，则丁笫1名，甲第4名，因为丙排在乙前面，故丙第2名，乙第3名，与李

四说假话矛盾！若王五说假话，则丁第1名，甲第4名，因为乙不是第2或第4名，所以故

丙第3名，乙第2名，这与王五说假话矛盾！

若刘六说假话，则甲第4名，结合乙不是第2或第4名与丙排在乙前面可知乙只能为第3名,

故丙为第1或2名，但丁不为第1名，故丙第1名，丁笫2名

综上，选ABCD.

1Q

14.【正确答案】一一

13

2

这是一个强基考烂了的裂项arctan—=arctan(/?+1)-arctan(/z-l)

，厂

22

于是arctan2+arctan—+•••+arctan--=arctan13+arctan12-arctan1

22122

T口/c22、18

于是tan(arctan2+arctan—+•••+arctan=--.

15.【正确答案】18

由条件。〃+6+7整除。2万+〃6+h2

而a%2+ab+b2=a(ab2+b+7)+b2-7a,

^ab2+b+7\b2-7a

下面分三种情况讨论:

情形一：7。>0：这时〃-7。<〃<。〃+6+7,矛盾;

情形二：b2=la,这时a.b应具有。=76，b=7k,k是正整数的形式，显然

（即）二（7如,7力满足条件;

情形三：b2-7a<0,这时由7。—〃2M/+〃+7,则〃>7,进而6=1或2,

当人=1时，则条件+1=々一7+二人为正整数,57能被。+8整除，可知。+8:19或

。+8。+8

57,进而可知4=11或49,解得（a,6）=01,1）或（49,1）；

la-47a-413

当b=2时，由（a<2）为正整数，可知=:=1,此时〃=',矛盾；

4a+94a+93

综上，所有解为（。/）=（11,1）,（49,1）或〃27〃（k是正整数）

再结合db£N*,。+人工20240女工16可知7427%型的数有16组

故一共有18组.

16.【正确答案】1056

总共有C；0=1140种，

三点共线（红色）有8组

四点共线有9组（图中蓝色加上5条竖线）

五点共线有4组

于是一共能组成-8C；-9C：-4C；=1140-X-36-40=1056.

17.【正确答案】ABD

-11

由题可知%.=------,利用不动点方法求得X=1,%=—，于是可求得

2%-3~2

故lima“=,，于是｛%｝单调递增

n->+x»2

且有极限故

232

18.【正确答案】3

不妨设z=cos6+isin。0e[0,2n)

sinnO=sin0、/J5

由题可知《L=>sin~e+(cos6+\/2)=1=>cos=-----

cos〃。=cos6+>/2'/2

①^二士，可知30==满足条件即n最小值为3(验证可知小于3不满足).

44

57r1S冗

②0二四，验证可知3〃二可满足(验证可知小于3不满足).

44

综上可知〃=3.

19.【正确答案】BC

设AB中点为M,则由|可+而|=2,知|两|=1,且而_L砺.

设诉和万的夹角为9,有

APAD=(AM+MPY(AM-¥MD)=||2^MPAD=2242cos0

所以最大值为2+2五,最小值为2—2五.选BC.

20.【正确答案】无最大值，最小值为2

显然没有最大值.

若a,b,c中没有0,则由均值有J'一二/°2—7—=

\b+cJa(b+c)a+b+ca+b+c

2

同理可得

YC+Qa+b+c\a+ha+b+c

有/(a,b,c)N2.

若a,b,c中有0,则至多有一个0,不妨设c=0,此时所求二2.

综上，最小值为2,当。=力，c=0时取等.

21.【正确答案】区间(-2,0)上的所有实数

2

设/(x)=/+pX+qx+r=(x-&)(x-x2)(x-x3)

则/(I)=l+p+^+r=(l-xl)(l-x2)(l-x3),

设必=1一芭,y2=l-x2,y3=\-x3,则必,丁2,%£(—1,1)，

工必为乃：.\+p+q+r=y]y2y3e(-1,1)

.••p+q+vc(-2,0)

1519

22.【正确答案】----<cosZ.PMQ<-------f=

16V218V2

V39

如图，取P，Q分别为VCAB的中点.由中线长公式可知。8="二、一

2

J39

在月中，PQ<PA=^~,当A,B重合时取等.

4

过B作4〃_LHC于H,设HP=x,则3。2一4/2="。2一"-2,即8=6X,得X=—

3

所以尸0〉x.当A,B,V,C共面时取等.

取BC中点M,则月W〃BP,QM//AC,所以所求的角即为NPM0,于是

PM2+M^-PQ22+4—尸02_6_P02

cosZ.PMQ

2PM-MQ-—472-4>/2

知—<<■—,于是-----尸<cosNKV/Q<-----产.

9=4167218收

23.【正确答案】BC

2,—X

f'(x)=-在区间(-8,2)上，f(x)>0,/⑶单调递增，在区间(2,+00)上,

ex

f\x)<0,/(x)单调递减，lim/(x)=-oo,/(1)=0,/(2)=4，lim/(x)=0

X->-00

・•・/(X)的大致图象如下图所示:

，/(x)=a有两根，则。e(0,5)，B选项正确，

e

/(x)并不是关于直线x=2对称，因此A选项错误.

从图象可.以判断，C选项错正确，D选项错误.

24.【正确答案】A

取f(x)=x,则有其恒等于1,则CD选项错误.

14

取/(x)=x(l-x),则4=一，4=一，则B选项错误.

由绝对值不等式，|/(匕］+A

I2")Jy2nI2/7J1