浙江金兰教育合作组织2025-2026学年高一下学期4月期中测试数学试题 含答案

浙江省金兰教育合作组织2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学高一数学学科注意事项：1．本题共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效．4．结束后，只需上交答题卡．选择题部分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）．A. B. C. D.2.下列说法中正确的是（）A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台B.一个多面体至少有4个面C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥D.矩形旋转一周一定形成一个圆柱3.已知向量，若向量与的方向相反，则实数的值为（）A. B. C.-1 D.4.在中，已知，则（）A.120° B.或 C.60° D.或5.已知点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A.1 B. C.5 D.6.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形中最长边的长度为（）A. B. C.4 D.67.如图所示，在同一个平面内，向量，，满足：，与的夹角为，且与的夹角为，若，则（）A. B. C. D.8.设是边长为1的正三角形，M是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值时，的值为（）A. B.3 C. D.2二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分）9.已知复数，其中，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若为实数，则 D.若为纯虚数，则10.若向量，满足，，则（）A.B.与的夹角为C.D.在上的投影向量为11.在中，角的对边分别为为的面积，且，，下列选项正确的是（）A.若，则有两解B.周长的取值范围为C.若为锐角三角形，则的取值范围是D.若为锐角三角形，边上的中线长的取值范围是非选择题部分三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.___________．13.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______．14.已知向量满足，设，其中，则动点的轨迹的长度是___________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设，复数．（1）若是实数，求；（2）若是关于的方程的一个根，求的值．16.《九章算术》是我国古代内容丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形的棱台称为“刍童”．在如图所示的“堑堵”与“刍童”的组合体中，已知，且三棱锥的体积为．（1）求该组合体的体积；（2）若点为线段上的动点，求的最小值．17.如图，在梯形中，，点是线段上的动点．（1）若，，三点共线，试用和表示；（2）设，若与的夹角的余弦值为，求．18.在中，角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，且的外接圆半径为1，求的面积；（3）若为边上一点，且，求的最大值．19.如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系．若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．（1）若，，计算的大小；（2）若，，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；（3）设，，，若对恒成立，求的最大值．高一数学学科注意事项：1．本题共4页，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效．4．结束后，只需上交答题卡．选择题部分一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果.【详解】由题意得，.故选：B.【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.2.下列说法中正确的是（）A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台B.一个多面体至少有4个面C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥D.矩形旋转一周一定形成一个圆柱【答案】B【解析】【详解】用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故A错误；多面体中面数最少为三棱锥，四个面，故B正确；正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面投影落在底面正多边形的中心，故C错误；矩形绕其一条对角线旋转一周，所形成旋转体不是圆柱，故D错误.3.已知向量，若向量与的方向相反，则实数的值为（）A. B. C.-1 D.【答案】A【解析】【详解】由向量，得，则不共线，若向量与共线，则，解得，此时，即向量与的方向相反，所以实数的值为.4.在中，已知，则（）A.120° B.或 C.60° D.或【答案】D【解析】【详解】由正弦定理，所以，又，所以所以或．5.已知点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A.1 B. C.5 D.【答案】C【解析】【详解】由点，得，则，，即，所以以，为邻边的平行四边形的面积.6.如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形中最长边的长度为（）A. B. C.4 D.6【答案】D【解析】【详解】将直观图还原为原图，如图，在直观图中，，则，故在原图中，，，所以，而，所以原四边形ABCD中最长边为6.7.如图所示，在同一个平面内，向量，，满足：，与的夹角为，且与的夹角为，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量加法的平行四边形法则可得，结合正弦定理可得，根据题意运算求解．【详解】如图根据向量加法的平行四边形法则可设：，则，∴，在△中，由正弦定理可得：，∵且为锐角，则，解得，∴.8.设是边长为1的正三角形，M是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值时，的值为（）A. B.3 C. D.2【答案】C【解析】【分析】根据向量的线性运算得出，，再应用数量积公式化简，换元即可求出最小值.【详解】如图，，，，，得.，，设，则.当，即，也就是时，取最小值.故选:C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分）9.已知复数，其中，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若为实数，则 D.若为纯虚数，则【答案】BCD【解析】【详解】对于A，，无解，A错误；对于B，，则，B正确；对于C，，由为实数，得，C正确；对于D，，由为纯虚数，得且，解得，D正确.10.若向量，满足，，则（）A.B.与的夹角为C.D.在上的投影向量为【答案】BCD【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式、投影向量的定义逐一判断即可.【详解】A：，因此本选项不正确；B：由上可知，因为，所以，因此本选项正确；C：因为，所以，因此本选项正确；D：在上的投影向量为，因此本选项正确，故选：BCD11.在中，角的对边分别为为的面积，且，，下列选项正确的是（）A.若，则有两解B.周长的取值范围为C.若为锐角三角形，则的取值范围是D.若为锐角三角形，边上的中线长的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】根据正弦定理边角互化后，由余弦定理求出，即可判断A，由正弦定理及三角恒等变换可得，利用正弦型三角函数值域的求法判断B，由正弦定理，结合的范围求解即可判断C，利用向量及数量积的运算、余弦定理求出中线长的范围判断D.【详解】由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，因为，所以，当时，由知，不存在满足条件的，故A错误；由正弦定理可知，所以，因为，所以，所以，周长，故B正确；因为为锐角三角形，所以，解得，所以，又，所以，故C正确；当为锐角三角形时，，所以，所以，令，则，由余弦定理，，所以，设上的中线为，如图，又，所以，即，所以，即上的中线长的取值范围是，故D正确.非选择题部分三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.___________．【答案】0【解析】【详解】.13.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______．【答案】【解析】【分析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为，构造方程，可求出半径.【详解】设圆锥的底面的半径为，圆锥的母线为，则由得，而故，解得，故答案为：.【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确理解这两个关系是解题的关键．14.已知向量满足，设，其中，则动点的轨迹的长度是___________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系并求出点的轨迹，结合对称性求出长度.【详解】由，得，而，则，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，设，由，得，于是，解得，而，则，即，显然，即点满足方程，因此点的轨迹关于原点对称，当时，，且，点的轨迹是线段，其长度为；当时，，且，点的轨迹是线段，线段端点为，长度为，即当时，点的轨迹长度为，由对称性得当时，点的轨迹长度为，所以动点的轨迹的长度是.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设，复数．（1）若是实数，求；（2）若是关于的方程的一个根，求的值．【答案】（1）3（2）或【解析】【分析】（1）根据复数的除法和复数概念可得，再由复数模的计算公式计算求解；（2）将复数代入方程，根据复数相等列方程组计算求解即可.【小问1详解】，因为是实数，于是，则，即，所以；【小问2详解】因为复数是关于的方程的一个根，所以，整理得，所以，解得或当时，；当时，．16.《九章算术》是我国古代内容丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形的棱台称为“刍童”．在如图所示的“堑堵”与“刍童”的组合体中，已知，且三棱锥的体积为．（1）求该组合体的体积；（2）若点为线段上的动点，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设刍童的高为，利用几何体的体积公式，转化求解即可；（2）根据两点之间线段最短，当三点共线时取得最小值，即的长.【小问1详解】设棱台的高为，由，得，记上底面的面积为，下底面的面积为，则，所以，又，所以该组合体的体积为；【小问2详解】将绕着直线旋转至平面，当三点共线时，取得最小值．因为，所以在中，所以的最小值为．17.如图，在梯形中，，点是线段上的动点．（1）若，，三点共线，试用和表示；（2）设，若与的夹角的余弦值为，求．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）先由、、三点共线，结合题设条件根据相似三角形得到，再利用向量三角形法则可得；（2）设，先求出，并利用向量表示向量,再利用向量模及向量的夹角的公式列出方程求解即得.【小问1详解】由已知得，则，所以，因为，所以【小问2详解】设，由已知得与的夹角为，所以，由（1）知，所以，因为，所以，记与的夹角为，则，化简得，解得或，当时，，不符；所以，即的值为．18.在中，角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，且的外接圆半径为1，求的面积；（3）若为边上一点，且，求的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和正弦公式、同角三角函数关系式中的商关系进行求解即可；（2）根据正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行求解即可；（3）根据正弦定理，结合辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，又，则，所以，即，又，则，所以，所以，由，得；【小问2详解】由，得，由，得，可得，所以．【小问3详解】因为，所以，在中，由正弦定理得，所以，又在中，，所以，因为，所以，当即时，的最大值为．19.如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系．若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．（1）若，，计算的大小；（2）若，，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由；（3）设，，，若对恒成