专项突破：一次函数与三角形综合问题（A题型）（解析版）

专题一次函数与三角形综合问题目录A题型建模・专项突破TOC\o"1-2"\h\u题型一、一次函数与三角形的面积问题 1题型二、一次函数与三角形全等问题 8题型三、一次函数与三角形存在问题 18题型四、一次函数中折叠的综合问题 30题型五、一次函数中旋转的综合问题 38B综合攻坚・能力跃升题型一、一次函数与三角形的面积问题1．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A，B，另一直线经过点，且把三角形分成两部分．(1)如果把三角形分成的两部分面积相等，求k和b的值；(2)如果把三角形分成的两部分面积之比为，求k和b的值．【答案】(1)(2)或【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，（1）首先确定点B，点A的坐标，易得C是的中点，结合直线经过点，且把分成的两部分面积相等，可知直线必经过点B，然后利用待定系数法求解即可；（2）首先解得，结合被分成的两部分面积之比为，易得直线与y轴或与直线的交点的纵坐标为，然后分直线与线段相交和直线与y轴相交两种情况，分别求解即可．【详解】（1）解：对于直线，令，可得，解得，令，可得，∴点B的坐标为，点A的坐标为，∵点C的坐标为，∴C是的中点，∵直线经过点，且把分成的两部分面积相等，∴直线必经过点B，把B，C的坐标分别代入，得，解得；（2）∵，，∴，∴，∵被分成的两部分面积之比为，如图：当时，直线与y轴或与直线的交点的纵坐标为，当直线与线段相交时，由，可得，解得，∴两直线交点的坐标为，∵，∴，解得；当直线与y轴相交时，同理可求坐标为，又∵，∴，解得．综上所述，或．2．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，与直线交于点，且与轴交于点；(1)求点的坐标及直线的解析式；(2)求的面积；(3)已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标．【答案】(1)；(2)；(3)或【分析】（1）先将点代入直线的解析式求出的值，得到点的坐标；再利用待定系数法，将点和点的坐标代入直线的一般式，求出直线的解析式．（2）先求出直线、与轴的交点、的坐标，得到的长度；再以为底，点到轴的距离为高，利用三角形面积公式计算的面积．（3）根据与的面积关系，先求出的面积；设点的坐标，结合直线的解析式表示出点的横纵坐标关系，再利用三角形面积公式列方程求解点的坐标．【详解】（1）解：点在直线上，当时，，点的坐标为，设直线的解析式为，直线经过点和，，解得，直线的解析式为；（2）解：直线与轴交于点，当时，则，解得，点的坐标为，直线与轴交于点，当时，则，解得，点的坐标为，，点到轴的距离为，；（3）解：的面积是面积的，，设点的坐标为，直线与轴交于点，（或），∴，即，∴，当时，解得，此时当时，解得，此时点的坐标为或．3．（25-26八年级上·全国·课后作业）几何直观在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形叫作这个一次函数的坐标三角形．如下图，一次函数的图象与x轴y轴分别交于点E，F，则为此函数的坐标三角形．求：(1)该函数的坐标三角形的三条边长．(2)的面积．(3)原点O到直线的距离．【答案】(1)三条边长分别为6，8，10(2)的面积为24(3)【分析】（1）利用一次函数图象与坐标轴的交点特征可求出点的坐标，进而可得的长，再利用勾股定理求出即可；（2）直接利用三角形的面积公式计算；（3）过点O作于点M，再利用等面积法求出斜边上的高即可．【详解】（1）解：当时，，∴点F的坐标为，∴．当时，，解得，∴点E的坐标为，∴，在中，∴，∴函数的坐标三角形的三条边长分别为6，8，10．（2）解：∵，∴，∴的面积为24．（3）解：过点O作于点M，如图所示：∵，∴，∴原点O到直线的距离是．4．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，的图象与轴，轴分别交于点，，且两个函数图象相交于点．(1)填空：，；(2)求的面积；(3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3，6(2)50(3)存在，【分析】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．（1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出；（2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积；（3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点M的坐标．【详解】（1）解：是一次函数与的图象的交点，，解得，，解得，故答案为：3，6；（2）解：由（1）可知，，当时，，解得，，即，当时，，解得，，即，，，的面积为50；（3）解：的面积与四边形的面积比为，，，当时，，即，设，则，，解得，，，存在，且题型二、一次函数与三角形全等问题5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点、与y轴交于点．(1)直线的函数表达式为_____．(2)若点C是直线上一点，点D是y轴上一点，当与以D、B、C为顶点的三角形全等时，求点C的坐标．【答案】(1)(2)点C的坐标为或或．【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，勾股定理，全等三角形的性质．（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）分三种情况讨论，利用全等三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，把，代入，得：，解得，∴；（2）解：∵，，∴，，当时，且点在点的上方，如图：∴，，即轴，∴，即，∴；当时，且点在点的上方，如图：作轴于点，∴，，∴，∴，当时，∴；当时，且点在点的下方，如图：同理，；综上，点C的坐标为或或．6．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点.(1)求直线的解析式；(2)作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式；(3)过点作直线与轴相交于点，使与全等，请直接写出所有符合条件的点的坐标．【答案】(1)(2)或(3)点的坐标为或或【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题．（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为；（2）可得的面积为，当时，，可得，解得，即得，再求值直线的解析式；当时，同理可得，待定系数法求出直线的解析式即可；（3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可．【详解】（1）解：在中，令得，，∴，，，，把代入得：，解得：，直线的解析式为；（2）解：，，的面积为，当时，如图：此时，，即，解得：，在中，令，则解得，∴，设直线的解析式为：，把代入得：，解得：，∴此时直线的解析式为：；当时，如图：此时，，即，，在中，令，解得，∴，设直线的解析式为：，把代入得：，解得：，∴此时直线的解析式为：；综上所述，当的面积被直线分成的两部分时，直线的解析式为或；（3）在中，，，，①若，过作交轴于，过作于，如图：，，，，设，则，，，而，，整理得，解得或，当时，，此时，符合题意，当时，，此时，不符合题意，舍去，∴，同理可知，时，，∴，∴点B为的中点，∴，，∴；②若时，如图：，，，在中，令，则解得，，此时，，符合题意，，综上所述，点的坐标为或或．7．（24-25八年级下·广东阳江·期末）如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，．(1)求直线与的函数解析式．(2)求的面积．(3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质．掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解答本题的关键．（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）根据三角形的面积公式计算即可；（3）分为或两种情况，利用对称性和一次函数的平移解答即可．【详解】（1）解：设直线的函数解析式为.将点，代入，得解得直线的函数解析式为.设直线的函数解析式为.将点，代入，得解得直线的函数解析式为.（2）解：点，，，，，.（3）解：分两种情况：①如图1，当时，，.，，，.把代入，得，点.②如图2，当时，，.直线的函数解析式为，直线的函数解析式为.将与联立，解得点.综上所述，点的坐标为或．8．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图：直线与轴、轴分别交于、两点，点是直线上与、不重合的动点．(1)求直线的解析式；(2)作直线，的面积被直线分成的两部分，求此时点C的坐标；(3)过点的另一直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，C的坐标为，，【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数与三角形面积的综合应用、全等三角形的判定与性质、一次函数动点问题，分类讨论思想（面积比例的两种分割情况、全等三角形的不同对应情况）：（1）将直线与坐标轴的交点坐标代入一次函数解析式，求解系数和，得到直线表达式．（2）先计算的面积，再根据“面积被分为”的两种比例情况，结合动点在直线上的坐标特征，分别求出点的坐标．（3）根据全等三角形的对应边关系，结合一次函数解析式，分类讨论不同的全等对应情况，筛选出与、不重合的动点的坐标．【详解】（1）解：将点代入：代入得：；代入得：，解得．故直线AB的解析式为：；（2）解：的面积为：．直线OC将其分为两部分，即两部分面积分别为2和4．设，分两种情况：情况1：解得，对应，即．情况2：，同理解得，对应，即．故点C坐标：或；（3）解：是直角三角形（直角在O），边长为，中，D在y轴上，故是y轴上的线段，需使为直角三角形（与全等），分两种直角位置讨论：情况1：直角在点（轴）此时，则，∴，，∵，符合题意，故；情况2：直角在点此时，，则，则或．设，则，解得，当时，，即，此时应该为，则，符合题意；同理，当时，，，则，符合题意；∴C为或；综上所述，满足条件的C点有，，．题型三、一次函数与三角形存在问题9．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为．(1)求k，b，n的值．(2)求四边形的面积．(3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说出理由．【答案】(1)，，(2)(3)存在，点P的坐标为或【分析】（1）对于直线，令求出的值，确定出的坐标，把坐标代入中求出的值，再将坐标代入求出的值，进而将坐标代入求出的值即可；（2）过作垂直于轴，如图1所示，四边形面积等于梯形面积减去三角形面积，求出即可；（3）在轴上存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由为：分两种情况考虑：①；②，分别求出坐标即可．【详解】（1）解：对于直线，令，得到，即，把代入中，得：，把代入得：，即，把坐标代入中得：，即；（2）解：过作轴，垂足为，如图1所示，由（1）可知：一次函数的解析式为，∴令，则有，解得：，∴，，；（3）解：如图2所示，设，，，，分两种情况考虑：①当时，，，，；②当时，由横坐标为1，得到横坐标为1，在轴上，的坐标为，综上，的坐标为或．10．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为．(1)求的值．(2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．(3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定．（1）将代入，得出，再代入，即可求解；（2）由（1）可得的解析式为，进而求得，设交轴于点，得出，进而求得面积为，根据与面积相等得出，即可求解；（3）根据，将绕点逆时针旋转得到，得到等腰直角三角形，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则为的交点，证明，求出，直线与直线的交点为；点关于点的对称点，则直线与直线的交点为另一个．【详解】（1）解：依题意，将代入，得∴将代入得，解得：；（2）解：由（1）可得的解析式为，当时，，解得：∴如图，设交轴于点，当时，，∴∴∵直线与轴交于点，当时，，则∴，∴∵，∴∵与面积相等∴解得：∵∴或（3）存在点，使得，理由如下；将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则是等腰直角三角形，∴为的交点，，，，，，，，，，直线与轴交于点当时，，解得设直线的解析式为，代入得解得：直线的解析式为，，同理可得直线的解析式为，解得：设关于的对称点为，的中点为，即同理可得直线的解析式为解得：∴综上所述，或10．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，直线：与x轴交于点D，直线：与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点．(1)填空：___________，___________，___________；(2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若动点P在射线上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使和的面积比为？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；4；2(2)存在一点，使的周长最短(3)存在的值，使和的面积比为，t的值为或．【分析】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题；（1）利用待定系数法即可求解．（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则此时的周长最小，，求出直线的解析式，即可解决问题．（3）分两种情况：①点在线段上，②点在线段的延长线上，由和的面积比为，即可求解．【详解】（1）解：直线经过定点，∴，，直线为，直线经过点，，点的坐标为，直线经过点，．（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则的周长最小．∵，，直线的解析式为，令，得，点的坐标为，存在一点，使的周长最短；（3）解：直线为点的坐标为，，，点的运动时间为秒，速度为每秒1个单位，，分两种情况：①如图，点在线段上，和的面积比为，，，，；②如图，点在线段的延长线上．和的面积比为，，，，；综上，存在的值，使和的面积比为，值为或；11．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与轴交于点，且．(1)求直线的解析式；(2)线段上是否存在点P，使得将的面积分为两部分．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)射线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，或，理由见解析(3)存在，或，理由见解析【分析】（1）根据非负数的性质，解方程，求出a和b，再用待定系数法求直线的解析式；（2）设，由将的面积分为两部分，得到或，再列方程求解即可；（3）先进行分类讨论，当点M在y轴右侧时，在x正半轴上取点E，使得，连接，过点E作的垂线，交于点F，作轴，垂足为G，设点E坐标为，点F坐标为．不难得出，是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质，可以证出，由全等的性质，计算出点E的坐标，直线与的交点即为点M，利用一次函数计算即可．当点M在y轴左侧时，容易得出此时直线与直线关于y轴对称，利用对称性算出点M的坐标．【详解】（1）解：，∴，，，，设直线的解析式为，把，代入，得，解得，直线的解析式为；（2）解：存在，理由如下：设，则，，，若将的面积分为两部分，则或，即或，∴或，∴或，∴或；（3）解：存在，理由如下：①当点M在y轴右侧时，如图，在x正半轴上取点E，使得，连接，过点E作的垂线，交于点F，作轴，垂足为G，设点E坐标为，点F坐标为．由题意可知，直线与的交点即为所求的点M．∵，，∴是等腰直角三角形，∴，，∵轴，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵点E坐标为，点F坐标为，点B坐标为∴，，，，∴，解得，，∴点E坐标为，设直线的函数解析式为，将，代入得，，解得，，∴直线的函数解析式为，联立方程，解得，，∴点M坐标为，②当点M在y轴左侧时，如图，作点E关于y轴的对称点H，连接，由对称的性质可得，，点H坐标为，由①可知，，∴，∴直线与与的交点即为所求的点M．设直线的函数解析式为，将，代入得，，解得，，∴直线的函数解析式为，联立方程，解得，，∴点M坐标为，综上所述，点M的坐标为或．题型四、一次函数中折叠的综合问题13．（24-25八年级上·江苏南京·月考）一次函数的图像与轴、轴分别相交于点和点．点在线段上，如图，将沿折叠后，点恰好落在边上点D处．(1)求直线的表达式；(2)求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了折叠与勾股定理，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）运用待定系数法进行列式计算，得出直线的表达式为，（2）先得出，再结合折叠性质得，，运用勾股定理列式计算，得，即可得的长．【详解】（1）解：∵一次函数的图像与轴、轴分别相交于点和点．∴，解得，∴直线的表达式：．（2）解：∵点和点．∴，则，∵将沿折叠后，点恰好落在边上点D处．∴，，，则，，∴，故在中，，∴，解得，则．14．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处．(1)求a的值；(2)求直线的解析式；(3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键．（1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可；（2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可．（3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处，∴，∴，∴，∴；（2）设，根据折叠的性质，得，，由（1）得，∵，∴，解得，故，设直线的解析式为，∴，解得，故直线的解析式为．（3）由（1）得：，∴直线与直线的交点在直线的左侧，如图所示：当时，，∴，∵直线与直线的交点在直线的左侧，∴直线经过点N时恰好是临界点，∴，解得：，∴t的取值范围为．15．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．(1)求直线的函数表达式；(2)点是轴上一点，连接，若的面积为，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，将沿折叠，点的对应点为点，请直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)或；(3)点的坐标为【分析】本题考查运用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象和性质等，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．（1）利用待定系数法求解；（2）设点的坐标为，则，根据三角形面积公式可列式求解即可；（3）根据折叠的性质可得结论．【详解】（1）解：设直线的表达式为，将，代入，得，解得，所以直线的函数表达式为；（2）解：设点的坐标为，则，因为的面积为，所以，即，解得或，所以点的坐标为或；（3）解：当点的坐标为时，点的坐标为；当点的坐标为时，点的坐标为16．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，是线段上一点，将沿着折叠，点落在点，连接．(1)求直线的函数解析式；(2)若点正好落在线段上，求点的坐标；(3)若，求点的坐标．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、勾股定理的运用、面积的计算等，分类求解是解题的关键．（1）由待定系数法即可求解；（2）由，即，即可求解；（3）若，即，则，进而求解；【详解】（1）解：将、代入直线得：，解得，∴；（2）解：如图，∵、，∴，∴，由折叠得：．∴，设，则，∴，在中，，∴，∴，∴；（3）解：连接交于点，由翻折可得：≌，，∴，∵，∴，∴，∵，∴直线的表达式为：，延长到，使，作轴于点，∵，∴，∴，∴，∴，∴，同理，直线的表达式为：，联立：解得：，∴，∵，∴．题型五、一次函数中旋转的综合问题17．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，线段的垂直平分线分别交、x轴于点E、C，轴于点D．(1)求点A、B的坐标和线段的长；(2)证明；(3)把直线绕着点B旋转后，与直线交于点P，求点P的坐标．【答案】(1)，，(2)见解析(3)点P的坐标为或【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及勾股定理，等腰三角形的判定，利用平方根的性质解方程，全等三角形的判定与性质等知识点．（1）分别令求解直线与x轴、y轴的交点坐标，再由勾股定理求解即可；（2）先求出点E的坐标为，则可得，再由互余关系求证，即可证明；（3）可得为等腰直角三角形，则，然后求出直线，设，由建立方程，再由平方根的性质解方程即可．【详解】（1）解：∵∴当时，∴∴当时，∴∴∴，∴；（2）证明：∵垂直平分∴点E是的中点，∵，∴点E的坐标为；∵轴于点D．∴，，∴∵∴，∵，∴；（3）解：如图，由题意得，∴，∵∴为等腰直角三角形，∴由（2）知，∴，而，∴，∴，设直线，∴解得，∴直线设，由得，，整理得，即∴，∴或，∴点P的坐标为或．18．（25-26八年级上·四川成都·月考）如图1，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与y轴交于点D，与直线交于点E，且．(1)求直线的解析式；(2)点F在y轴上，过点F作x轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，若，求点F的坐标；(3)如图2，将直线沿y轴向下平移得到直线，直线经过点C，将绕点A顺时针旋转α度（）得到，在旋转过程中，射线，射线分别交直线于点P，Q，当为等腰三角形时，直接写出点Q的坐标．【答案】(1)直线的解析式为(2)点F的坐标为或(3)点Q的坐标为或或【分析】此题考查一次函数交点问题，待定系数法，特殊三角形问题，面积问题与一次函数，（1）先求出点A，B的坐标，由此得到点D的坐标，利用待定系数法求直线的解析式；（2）设点F的坐标为，把代入直线与直线，得到，，根据，求出n的值，即可解答；（3）分三角形的边两两分别相等的三种情况求出点Q的坐标．【详解】（1）解：令中，得；令，得，∴，，∴，∵，∴，∴，设直线的解析式为，∵直线过点，，∴，解得，∴直线的解析式为；（2）解：设点F的坐标为，∵过点F作x轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，∴点M，N的纵坐标都为n，把代入直线，得，解得，把代入直线，得，解得，∴，，∵，∴或，∴点F的坐标为或．（3）解：∵将直线沿y轴向下平移得到直线，直线经过点C，∴直线的解析式为，①当时，∵，∴，∴点P与点C重合，即，∴点Q在y轴上，即；②当时，∵，，∴，∴，过点Q作轴于点M，则，∴；③当时，，∵，∴，∴点Q的横坐标为，当时，，∴，综上，点Q的坐标为或或．19．（25-26七年级上·山东泰安·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形．【模型呈现】如图1，等腰直角三角形中，，．过A作于点D，过B作于点E．试说明：；【模型应用】如图2，已知直线与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰，求点C的坐标及直线的表达式；【深入探究】如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求的面积．【答案】模型呈现：说明见解析；模型应用：；；深入探究：【分析】模型呈现：先根据直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的判定即可证明结论；深入探究：过点C作轴于点H，先证明，可得，，则点，再用待定系数法求直线的解析式即可；深入探究：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，同样先证明，可求得，再用待定系数法求直线的解析式，进一步求出，的长，即可求得答案．【详解】模型呈现：证明：在中，，，，于点，于点，，，，在和中，，；模型应用：解：令，则，令，则，则点A，B的坐标分别为：、，过点C作轴于点H，如图所示：，，，，又，，，，，，则点，设直线的解析式为，将点A、C的坐标代入一次函数表达式得：，解得，故直线的表达式为；深入探究：解：过点Q作轴，过点Q作交于点W，过点P作于点T，过点W作于点K，如图：把代入得，解得，把代入得，，，，，直线绕P点沿顺时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，设直线的解析式为，把代入得，解得，直线的解析式为，在中，令得，，，，的面积为．【点睛】本题考查了图形与坐标，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，求一次函数的解析式，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．20．（25-26八年级上·江苏苏州·周测）【提出问题】（1）将一次函数的图象沿着轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为___________；【初步思考】（2）将一次函数的图象沿着轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表达式．数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点，，将它们沿着轴方向向左平移3个单位长度，得到点，的坐标分别为___________，___________，从而求出经过点，的直线对应的函数表达式为___________．【解决