2025年河南高起专数学（文科）试题含答案

2025年河南高起专数学（文科）试题含答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)=2x3在区间（∞,a）上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A.a≤1

B.a≥1

C.a≤2

D.a≥2

答案：D

解析：函数f(x)=2x3是一次函数，其斜率为正，所以在区间（∞,a）上是减函数时，a的取值范围为a≥2。

2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=25，a3=7，则等差数列的公差d为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：B

解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n1)d，由题意得a3=a1+2d=7，S5=5/2(2a1+4d)=25，解得d=3。

3.已知函数f(x)=x²2x+1，求f(x)的单调增区间（）

A.（∞,1）

B.（1,+∞）

C.（∞,0）

D.（0,+∞）

答案：B

解析：f(x)=x²2x+1的导数为f'(x)=2x2，当f'(x)>0时，函数f(x)单调增，解得x>1，故单调增区间为（1,+∞）。

4.若函数f(x)=x²2x+c的图像与x轴相切，则c的值为（）

A.0

B.1

C.4

D.9

答案：C

解析：函数f(x)=x²2x+c与x轴相切，意味着判别式Δ=0，即(2)²41c=0，解得c=1，但此时c的值为1，不满足图像与x轴相切的条件，所以正确答案为c=4。

5.已知三角形ABC的三个角分别为A、B、C，且A+B+C=180°，若sinB=1/2，则角B的度数为（）

A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

答案：B

解析：sinB=1/2，查正弦函数表可知，B=30°或150°。但由于A+B+C=180°，且A、B、C均为锐角，所以角B的度数为60°。

6.若平行线l1：2x+3y6=0与l2：2x3y+c=0之间的距离为3，则c的值为（）

A.3

B.6

C.9

D.12

答案：C

解析：两平行线之间的距离公式为d=|c1c2|/√(a²+b²)，代入l1和l2的方程，得d=|6(c)|/√(2²+3²)=3，解得c=9。

7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4=30，a2=3，则等比数列的公比q为（）

A.1/2

B.1

C.2

D.3

答案：C

解析：等比数列的通项公式为an=a1q^(n1)，由题意得a2=a1q=3，S4=a1(1+q+q²+q³)=30，解得q=2。

8.已知函数f(x)=log2(x1)，则函数的定义域为（）

A.x>1

B.x≥1

C.x<1

D.x≤1

答案：A

解析：对数函数的定义域要求对数内的表达式大于0，即x1>0，解得x>1。

二、填空题（每题5分，共30分）

9.若函数f(x)=x²4x+3在区间（∞,a）上是减函数，则实数a的取值范围是_________。

答案：a≤2

10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=25，a3=7，则等差数列的首项a1为_________。

答案：10

11.已知函数f(x)=x²2x+1，求f(x)的最小值_________。

答案：0

12.若函数f(x)=x²2x+c的图像与x轴相切，则c的值为_________。

答案：4

13.已知三角形ABC的三个角分别为A、B、C，且A+B+C=180°，若sinB=1/2，则角B的度数为_________。

答案：60°

14.若平行线l1：2x+3y6=0与l2：2x3y+c=0之间的距离为3，则c的值为_________。

答案：9

三、解答题（每题20分，共60分）

15.已知函数f(x)=x²2x+1，求f(x)的单调区间及极值。

解：f(x)的导数为f'(x)=2x2，当f'(x)>0时，f(x)单调增；当f'(x)<0时，f(x)单调减。解得x>1时，f(x)单调增；x<1时，f(x)单调减。f(x)在x=1处取得极小值0。

16.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=25，a3=7，求等差数列的首项a1和公差d。

解：设等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意列出方程组：

a1+2d=7

5/2(2a1+4d)=25

解得a1=10，d=3。

17.已知三角形ABC的三个角分别为A、B、C，且A+B+C=180°，若sinB=1/2，求角A和角C的度数。

解：由sinB=1/2可知，B=30°或150°。但由于A+B+C=180°，且A、B、C均为锐角，所以B=60°。因此，A+C=120°。由于A和C均为锐角，所以A=60°，C=60°。

四、应用题（每题20分，共40分）

18.某商品的原价为100元，商店为了促销，规定每购买一件商品，顾客可以享受10%的折扣。顾客一次性购买n件商品，商店还额外赠送顾客m件商品。已知顾客购买的商品数量n与商店赠送的商品数量m之间的关系为n+m=120。求顾客购买n件商品所需支付的总金额S与n的关系式，并求出顾客购买多少件商品时，所需支付的总金额最少。

解：顾客购买n件商品所需支付的总金额S=1000.9^n。由于n+m=120，所以m=120n。顾客购买n件商品所需支付的总金额S=1000.9^n+1000.9^(120n)。

为了求出S的最小值，对S关于n求导得：

dS/dn=1000.9^nln(0.9)1000.9^(120n)ln(0.9)=0

解得n=80。所以，顾客购买80件商品时，所需支付的总金额最少。

19.某水果店老板进购了一种水果，每千克水果的进价为4元。老板计划将这种水果以每千克x元的价格卖出。已知老板每天销售的水果重量y与水果的销售价格x之间的关系为y=10010(x4)。求老板每天销售这种水果的利润P与x的关系式，并求出老板每天销售这种水果的最大利润。

解：老板每天销售这种水果的利润P=(x4)y=(x4)(10010(x4))=100x10