小学四年级数学下册《数学广角：鸡兔同笼》深度拓展探究式教案

小学四年级数学下册《数学广角：鸡兔同笼》深度拓展探究式教案

一、教学背景与设计理念（基础）

（一）教材与学情深析【重要】

本节课是小学数学四年级下册“数学广角”中的经典内容，隶属于“综合与实践”领域。其核心载体是我国古代数学名著《孙子算经》中记载的一道趣题-1。从知识层面看，学生在至此已经掌握了基本的四则运算能力，具备初步的逻辑推理基础，但面对“鸡兔同笼”这种需要运用假设、推理、调整策略来解决的问题，仍存在较大的思维跨度。教材编排的用意绝非仅仅教会学生解一道题，而是要通过这个“载体”，经历“化繁为简”的探究过程，感受“假设”、“替换”、“建模”等数学思想方法，体会解决问题策略的多样性-1。

从学情角度分析，四年级学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们对于“猜测”和“列表尝试”有天然的亲切感，但这往往停留在无序或盲目的尝试层面。本节课的难点在于如何引导学生从无序猜测走向有序思考，再从有序列表的数据变化中洞察“调整”的规律，最终理解“假设法”这种高度抽象的算理，并能将这种思维模型迁移到同类生活实际问题中去-6。因此，教学设计必须搭建合适的“脚手架”，让思维的台阶既具挑战性又可攀登。

（二）核心素养指向【非常重要】

本节课的设计旨在落实《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，聚焦于以下关键能力的培养：

1、数感与量感：在对总脚数的变化感知中，理解每替换一只动物，脚数变化“2”的这一关键“量”，建立对数量关系的敏感度。

2、逻辑推理意识：这是本课的灵魂。无论是列表法中对规律的发现，还是假设法中“假设—比较—调整—验证”的完整链条，都是演绎推理和归纳推理的集中体现。学生需要清晰地表述“为什么这样假设”、“多出的脚或少的脚意味着什么”，从而有理有据地推导出答案-1。

3、数学模型思想：引导学生认识到，“鸡兔同笼”不仅仅是一个关于鸡和兔的故事，它更是一种数学模型（已知两个对象的总数和总特征数，求各有多少）。通过变式练习，如“龟鹤问题”、“单车与双人车问题”，帮助学生剥离具体情境，抓住数量关系的本质，建立数学模型-3。

4、应用意识与创新意识：在掌握基本解法的基础上，鼓励学生探索不同的解题路径（如古人“抬腿法”的巧思），并能将所学模型创造性地应用于解决生活中的复杂问题，实现知识的迁移与拓展。

（三）教学目标设定【基础】

基于上述分析，本课时的教学目标确定如下：

1、知识与技能：了解“鸡兔同笼”问题的结构特点，理解并掌握用列表法、假设法解决问题的基本思路。能够运用所学方法解决简单的“鸡兔同笼”问题及其变式问题。

2、过程与方法：经历自主探究、合作交流的学习过程，体验“化繁为简”的解题策略，在观察、比较、分析中，发现列表法和假设法之间的内在联系，培养逻辑推理能力和抽象概括能力。

3、情感态度与价值观：感受古代数学问题的趣味性，体会数学文化的博大精深，激发民族自豪感和学习数学的兴趣-7。在解决问题的过程中，培养严谨求实的科学态度和勇于探索的意志品质。

（四）教学重难点剖析【高频考点】【难点】

1、【教学重点】：掌握假设法的解题思想和步骤。能够运用假设法解决“鸡兔同笼”类问题，并清晰表达思维过程。

2、【教学难点】：理解假设法中“相差数”（总脚数差）与“单个差额”（每只鸡兔脚数差）之间的对应关系，即明白为什么要用总差额除以单个差额，以及得出的商为什么是兔子的只数（或鸡的只数）。这背后蕴含的“置换”思想是学生认知上的一个坎。

二、教学准备与课时规划

教师准备：多媒体课件（PPT），包含《孙子算经》原题、数据放缩后的例题、各种解法演示动画、变式练习；精心设计的导学单。

学生准备：预习《孙子算经》中的原题，尝试理解题意；准备草稿纸和笔。

课时安排：建议分为两个课时，本设计为第一课时（拓展探究课），侧重于思想方法的形成与深化；第二课时侧重于变式练习与模型应用。

三、教学实施过程（核心环节，详细展开）

（一）文化浸润，激趣导入——穿越千年的数学谜题

1、【情境创设】：上课伊始，大屏幕缓缓展开一幅古朴的画卷，呈现的是古代私塾的场景。教师用富有感染力的语调讲述：“同学们，我们的祖先早在1500多年前的南北朝时期，就留下了一道非常有趣的数学名题，它被记载在一本叫做《孙子算经》的数学著作里。这道题历经千年，依然魅力不减，直到今天，我们还在津津乐道地研究它。你们想知道这道题吗？”

2、【呈现原题，理解题意】：课件出示古文原题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”

引导学生进行“古今对话”，用自己的话翻译古文意思。指名学生回答，明确：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？

3、【制造认知冲突】：教师顺势提问：“看到这个题，你有什么感觉？”（学生可能会说“数太大了”、“不好猜”等）。教师接过话头：“是啊，数据这么大，直接猜测确实很困难。但伟大的数学家们在研究难题时，往往不会硬碰硬，而是采用一种非常高明的策略——化繁为简。【非常重要】”教师板书：化繁为简。“我们就先从简单些的数据入手，找到解决这类问题的金钥匙。”

（二）化繁为简，合作探究——寻找打开宝藏的钥匙

1、【出示例1，明确信息】：课件出示修改后的问题：“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”

引导学生分析题目中的隐藏信息：每只鸡有1个头2只脚，每只兔有1个头4只脚。并明确：鸡和兔的脚数不同，这是解决问题的关键。【重要】

2、【活动一：自主尝试，初步感知】（约5分钟）

教师布置任务：“请同学们利用老师发的导学单，独立尝试用自己喜欢的方法来解决这个问题。可以画一画、算一算、猜一猜，或者列表格。把你的思考过程清晰地记录下来。”

教师巡视，收集学生中的典型资源，为后续分享做准备。此时学生可能出现的方法有：毫无目的的瞎猜、跳跃式尝试、从中间值开始猜、用画图法（如用圆圈代表头，线段代表脚）或者已经尝试列表。

3、【活动二：交流碰撞，优化策略】（约15分钟）【非常重要】【高频考点】

这是思维从混沌走向清晰的关键环节。教师组织学生按小组交流各自的解法，然后请代表上台板演并讲解。

（1）分享画图法（数形结合）：

请一位用画图法的同学上台。他在黑板上先画了8个圆圈代表头。然后假设全是鸡，在每个头下画2条腿，一共画了16条腿。接着分析：现在只有16条腿，但题目要求是26条，还差10条腿。所以需要给一些鸡“添”上2条腿，让它们变成兔子。每添2条腿就变成一只兔子，10条腿需要添给5只鸡，所以兔子有5只，鸡有3只。教师此时引导全班同学观察画图过程，并追问：“为什么一次要添2条腿？这10条腿是怎么来的？添了5次，这5表示的是什么？”（引导学生说出：5表示兔子的只数，因为给鸡添上2条腿才变成兔子）。【数形结合思想的渗透】

（2）分享列表法（有序思考）：

请列表的同学展示。可能是逐一列表法：

鸡8765……

兔0123……

脚16182022……

引导学生观察表格的规律：每减少1只鸡，增加1只兔，脚的总数就会增加2只。反之亦然。教师指着表格中从16只脚到26只脚的跳跃，提问：“如果我们要快速地找到答案，能不能跳着列？为什么可以跳？跳的依据是什么？”引导学生发现因为脚数每次固定变化2，所以可以从猜测值直接根据差额进行调整。这是从列表法过渡到假设法的关键“桥梁”。【难点突破】

（3）揭示假设法（建模核心）：

教师结合画图和列表，引导学生进行抽象思维。“刚才我们假设全是鸡，通过画图找到了答案。如果不画图，你能用算式把刚才的思考过程表示出来吗？”

引导学生一步步构建算式：

第一步（假设）：假设笼子里全是鸡，那么总脚数就是8×2=16（只）【板书】

第二步（比较）：实际有26只脚，假设情况比实际少了26-16=10（只）【板书】

第三步（思考）：为什么少了10只脚？因为把一只兔看成一只鸡，就会少算2只脚。【板书：每只兔少算4-2=2（只）脚】

第四步（置换）：那么，少的这10只脚，需要把多少只鸡换回成兔子才能补回来？10÷2=5（只），这5只就是兔子的只数。【非常重要】

第五步（求鸡）：兔子有5只，那么鸡就有8-5=3（只）【板书】

最后，教师引导学生完整复述一遍算理，并追问：“如果假设全是兔，该怎么算？请同桌之间互相说一说。”然后指名板演假设全是兔的算式，并讲解算理（重点理解为什么多出的脚数除以2得到的是鸡的只数）。

（4）方法对比，寻找联系【重要】：

教师引导学生将列表法、画图法和假设法放在一起对比：“请同学们仔细观察这三种方法，它们之间有没有什么共同的地方？”

学生讨论后总结：本质上都是一样的，都是先有一个基数（假设），然后通过比较与实际脚的差额，再进行“置换”调整。列表法是把调整的过程一步一步展示出来，假设法是用除法一步到位完成了调整。假设法是列表法的高级阶段和简便算法。列表法是假设法的基础和直观验证。

（三）学以致用，回归古题——用钥匙打开千年宝箱

1、【独立尝试】：教师激发学生的成就感：“同学们，我们现在已经掌握了解决‘鸡兔同笼’问题的秘密武器——假设法！现在，敢不敢回过头去挑战一下1500多年前的那道古题？”（课件再次出示《孙子算经》原题：35个头，94只脚）

2、【自主解答】：学生独立在练习本上用假设法完成解答。教师巡视，个别指导，重点关注学困生对“差额”的理解。

3、【集体校对】：请一位同学汇报计算过程，并完整地解释算理。（假设全是鸡：35×2=70只脚，94-70=24只脚，兔：24÷2=12只，鸡：35-12=23只。检验：12×4+23×2=48+46=94，正确。）通过检验，让学生养成严谨的习惯。

（四）走进历史，感悟智慧——古人的奇思妙想

1、【拓展视野】：教师充满自豪地说：“其实，我们的古人非常聪明，他们不仅留下了这个难题，还创造了很多非常巧妙的解法。其中最有名的就是‘抬腿法’。”【热点】

2、【演示“抬腿法”】：课件播放动画或教师用肢体语言演示。口令：全体都有，听口令，抬起一条腿！再抬起一条腿！教师引导：现在每只鸡都一屁股坐地上了，每只兔是两只后腿着地。那么一共抬起了多少条腿？剩下的腿是谁的？剩下几条？为什么？

结合动画，引导学生列出算式：

第一步：吹一声哨，所有动物抬起一只脚。94-35=59（只）

第二步：再吹一声哨，所有动物再抬起一只脚。59-35=24（只）

第三步：此时，鸡已经坐在地上，剩下的24只脚全是兔子的，而且每只兔子还有2只脚站着。所以兔子有24÷2=12（只），鸡有35-12=23（只）。

3、【升华情感】：让学生谈谈看到古人这种解法的感受（巧妙、简单、有想象力）。教师小结：“古人的解法充满了智慧，这说明数学不仅需要严谨的逻辑，还需要大胆的想象和创新。希望同学们也能在学习中，拥有这份智慧和创造力。”【思政与文化的无痕渗透】

（五）模型拓展，举一反三——从鸡兔笼到生活万象

1、【揭示模型本质】：教师提出问题：“同学们，‘鸡兔同笼’仅仅能解决鸡和兔的问题吗？其实，只要题目中具备‘两类事物、两个总量’这样结构的问题，都可以用这个模型来解决。”

2、【分层闯关练习】：

（1）基础关（龟鹤问题）【高频考点】：“有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？”引导学生快速找出这里的“鸡”和“兔”分别对应谁（鹤是鸡，龟是兔）。

（2）提升关（租船问题）：“全班一共有38人，共租了8条船，每条船都坐满了。大船可坐6人，小船可坐4人。大、小船各租了几条？”引导学生辨析：这里的“头”变成了什么？（船的条数），“脚”变成了什么？（总人数）。再次强化对模型结构的认识。

（3）拓展关（硬币问题）：“小华有1角和5角的硬币共27枚，总值5.1元。1角和5角的硬币各有多少枚？”此题需要学生注意单位换算，进一步训练思维的灵活性。

3、【跨学科融合微探索】：

信息科技链接：向学生简单介绍，像“鸡兔同笼”这种需要列举所有可能性的问题，在计算机编程中通常使用一种叫做“枚举法”的算法来解决。计算机可以通过循环语句，飞快地列举出所有可能的鸡兔只数组合，并判断哪一组脚的只数符合要求。这正是数学逻辑与计算机科学的美妙结合-5。通过这样的介绍，打开学生的视野，让他们看到数学不仅是纸笔计算，更是现代科技的基础。

（六）课堂总结，反思提升——收获与疑问并存

1、【知识梳理】：引导学生回顾本节课的学习历程：我们是怎么从一道千年古题开始的？（化繁为简）我们学会了哪些方法？（列表、画图、假设、抬腿）其中最重要的方法是什么？（假设法）它的关键步骤是什么？（假设—比较—差额—置换）。

2、【思维升华】：教师总结：“今天我们通过‘鸡兔同笼’这扇小小的窗口，窥见了数学思想的浩瀚海洋。我们不仅学会了解题，更重要的是学会了‘化繁为简’的智慧，学会了‘假设推理’的逻辑，还感受到了古人的奇思妙想。希望同学们在今后的学习中，也能像今天一样，敢于尝试，善于思考，勇于创新。”

3、【延伸思考】：留下一个开放性问题：“我们今天研究的都是‘头数’和‘脚数’，假如把题目改成‘自行车和三轮车共10辆，轮子共26个，各有几辆？’这还是一个‘鸡兔同笼’问题吗？它和我们今天学的有什么异同？请同学们课后思考。”【为下一课时学习及思维拓展埋下伏笔】

四、教学评价设计

1、过程性评价：重点关注学生在课堂探究活动中的参与度，是