小学数学第十章　§10.1　10.1.3　古典概型

10.1.3古典概型学习目标1.理解古典概型的概念及特点，会判断古典概型.2.掌握古典概型概率公式，能利用公式解决简单的概率计算问题.3.对有放回简单随机抽样、无放回简单随机抽样的概率与统计知识的综合运用.一、古典概型的定义问题1我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些？知识梳理一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性.

则称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称.

例1下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1)从区间[1，10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；(3)从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率.反思感悟判断某个概率模型是否为古典概型，要看其是否具备古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，如果具备，则是古典概型；若不具备，则不是古典概型.跟踪训练1(多选)下列试验中是古典概型的是()A.抛一枚质地均匀的硬币，观察其正面或反面出现的情况B.口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取1个球C.向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点D.射击运动员向一靶心进行射击，观察其环数二、古典概型概率的计算问题2在掷骰子的试验中，记事件A为“点数为偶数”，事件A包含哪些样本点？事件A发生的概率是多少？知识梳理一般地，设试验E是，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)==.

例2一个口袋内装有大小相同的1个白球和3个黑球，从中随机摸出2个球.求：(1)样本空间中样本点的总数n；(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；(3)摸出2个黑球的概率.反思感悟在求古典概型的概率时，若事件可以表示成集合的形式，则可以用列举的方式把样本点一一列出来，注意做到不重不漏，有时也可以借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点.跟踪训练2某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.三、“放回”与“不放回”问题例3班级新年晚会设置抽奖环节.不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1，2，3)，黄球2个(编号为4，5)，有如下三种方案可供选择：方案一：一次性抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；方案二：依次不放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；方案三：依次有放回地抽取2个球，若编号的数字之和大于5，则获得奖品.(1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点；(2)哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由.跟踪训练3从数字1，2，3，4中，若是有放回地取出两个数字，则其和为奇数的概率为；若是不放回地一次性取出两个数字，其和为奇数的概率为.

1.知识清单：(1)古典概型.(2)古典概型的概率公式.(3)“放回”与“不放回”问题.2.方法归纳：列举法、列表法、树状图法.3.常见误区：在列举样本点的个数时，要按照一定顺序，做到不重、不漏.1.下列试验中是古典概型的是()A.种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B.掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D.同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率2.在50瓶牛奶中，有5瓶已经过了保质期，从中任取一瓶，取到已经过保质期的牛奶的概率是()A.0.02 B.0.05C.0.1 D.0.93.从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中无放回地随机抽取两张，则抽到的两张卡片数字之积是3的倍数的概率为()A.310 B.C.35 D.4.从a，b，c，d四名学生中任选两名去参加不同的活动，则选到学生a的概率为.

答案精析问题1样本空间的样本点是有限个，每个样本点发生的可能性相等.知识梳理(1)有限个(2)相等古典概型例1解(1)不是古典概型，因为区间[1，10]中有无限多个实数，取出的实数有无限多种结果，与古典概型定义中“样本空间的样本点只有有限个”矛盾.(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”发生的可能性不相等，与古典概型定义中“每个样本点发生的可能性相等”矛盾.(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等.跟踪训练1AB问题2A={2，4，6}.对于掷骰子试验，出现各个点的可能性相同，记出现1点，2点，…，6点的事件分别为A1，A2，…，A6，则P(A1)=P(A2)=…=P(A6)，又P(A1)+P(A2)+…+P(A6)=P(必然事件)=1，所以P(A1)=P(A2)=…=P(A6)=16，P(A)=36=知识梳理古典概型kn例2解(1)将3个黑球编号为A1，A2，A3，白球编号为B，则从装有4个球的口袋内随机摸出2个球，样本空间Ω={A1A2，A1A3，A1B，A2A3，A2B，A3B}，共6个样本点，所以n=6.(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点有A1A2，A2A3，A1A3，共3个样本点.(3)因为样本点的总数n=6，事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数为3，故P=36=12，即“摸出2个黑球”的概率为跟踪训练2解(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15个.所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3个，则所求事件的概率P=315=1(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其包含的样本点有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，共9个.其中包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有(A1，B2)，(A1，B3)，共2个，则所求事件的概率P=29例3解(1)记“摸到1，2，3号红球”分别为事件A1，A2，A3，“摸到4，5号黄球”分别为事件B1，B2，则按方案一一次性抽取2个球的所有样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10个；按方案二依次不放回地抽取2个球的所有样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A1)，(A3，A2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，A1)，(B1，A2)，(B1，A3)，(B1，B2)，(B2，A1)，(B2，A2)，(B2，A3)，(B2，B1)，共20个.(2)方案一中，记事件A表示“一次性抽取的2个球颜色相同”，则由(1)知事件A包含(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，共4个样本点，故P(A)=410=2方案二中，记事件B表示“依次不放回地抽取的2个球颜色相同”，则由(1)知事件B包含(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A1)，(A2，A3)，(A3，A1)，(A3，A2)，(B1，B2)，(B2，B1)，共8个样本点，故P(B)=820=2方案三中，设两次抽取的球所标的数字分别为x，y，则用数组(x，y)表示所有可能的样本点如表，共25个样本点，(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)在方案三中，记事件C表示“抽取的2个球编号的数字之和