甘肃省九师联盟2026届高三上学期12月质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省九师联盟2026届高三上学期12月质量检测数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，得，所以，则.故选：C.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】，故在复平面内，复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.3.已知向量，若与共线，则实数（）A. B.2 C.或2 D.或【答案】D【解析】因为与共线，所以，即，解得或.故选：D.4.已知，，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，即，解得或，即或，所以由推不出，故充分性不成立；由推得出，故必要性成立；所以是的必要不充分条件.故选：B.5.在等差数列中，，则（）A.2025 B.2027 C.2029 D.2031【答案】D【解析】根据等差数列通项公式，可得：.由等差数列的性质：，因此，即.而.联立方程:，解得.则.故选：D.6.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，又，所以，所以.故选：C.7.已知的三边长分别为，则的外接圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】记长为4的边的对角为,则由余弦定理可以知道,所以,设的外接圆半径为,则由正弦定理,得,所以,所以外接圆的面积为.故选：A.8.已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由恰有5个零点，则关于的方程恰有5个相异实根，令，问题转化为满足的恰有5个不同的解.作出函数的图象，如图所示，由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且，此时仅有1个实根，不合题意；当时，仅有两个相异实根，而各仅有1个实根，不合题意；当时，仅有3个实根，且各仅有1个实根，且两实根均小于，则有三个实根，必有，所以.又，所以，此时的5个实根互不相等，即恰有5个零点；当时，仅有2个相异实根，且，此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意.所以实数的取值范围为.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.在上的值域为D.在上单调递增【答案】BC【解析】因为，所以的图象关于点对称，不关于直线对称，故A错误；，故的图象关于点对称，故B正确；当时，，所以，即的值域为，故C正确；当时，，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D错误.故选：BC.10.已知函数，则（）A.的图象关于点对称B.，使得在上单调递增C.若存在极值，则D.若有三个零点，则【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以的图象关于点对称，故A正确；对于BCD，，当时，在上恒成立，所以在上单调递增，当时，令，得，当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以不存在，使在上单调递增，，要使有三个零点，必有极小值，解得，故B错误，CD正确.故选：ACD.11.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内一点（含边界），则（）A.若为棱的中点，则平面截正方体所得截面为梯形B.若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值C.若为的中点，则平面D.若为侧面的中心，则过且与垂直的平面截正方体所得截面面积为【答案】ABD【解析】连接并延长交于，连接并延长，易得交于，连接，得截面，易得四边形为梯形（如图1），故A正确；若为上一点，如图2因为，易证平面，所以点到平面的距离不变，又的面积固定不变，所以三棱锥，即三棱锥的体积为定值，故B正确；如图3，取的中点，连接，则，显然平面即为平面，且与平面相交，故C错误；如图4，若为的中心，即为的中点，取的中点，连接，则.易证，所以，又平面，所以平面，所以，同理可证，进而可证平面，所以过且与垂直的平面截正方体所得截面为，易求，所以的面积为，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数为奇函数，则的值为______．【答案】【解析】定义在上函数为奇函数，则，解之得，经检验符合题意.故答案为：-1.13.紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）.【答案】389【解析】由题意可知，，设，在中，，所以，同理在中，，在中，由余弦定理得，即，所以.故紫峰大厦主体的高度约为米.故答案为：.14.在数列中，，则的最小值为__________.【答案】【解析】由，得，所以当时，，当时，上式成立，所以，所以.因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以在时递减，在时递增，又，因，所以的最小值为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为.（1）若，求角；（2）若的面积为，且为锐角，求的值.解：（1）因为，所以，，由，得，因为，所以，所以；（2）因为的面积为，所以，因为，所以，解得，因为为锐角，所以，所以，所以.16.在数列中，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）因为，所以，即，所以数列为常数列，又，所以，所以.（2）由（1）得，，两边同乘以，得，两式相减，得，所以.17.如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面分别为棱和的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：取棱的中点，连接，因为为的中位线，所以，且，因为四边形为正方形，为的中点，所以，且，所以，所以四边形为平行四边形，所以.又平面平面，所以平面.（2）解：分别取棱的中点，连接，则.因为为的中点，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，所以直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以.设平面的一个法向量，则即，令，解得，所以.设平面的一个法向量，则即，令，解得，所以.记平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知函数.（1）证明：为定值；（2）若数列的通项公式为，求数列的前项和；（3）若数列的通项公式为，记.若（2）中的满足，求及的最大值.（1）证明：由，得，所以，即为定值1.（2）解：由（1）知，所以，即，依题意得，又，所以，，两式相加，得，所以.（3）解：因为，所以，所以，因为，所以数列为递增数列，所以的最小值为，因为恒成立，则，解得，所以正整数的最大值为7.19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上单调递增，求的取值范围；（3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围.解：（1）由，得，当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）因为在上单调递增，所以.由（1）知，因为，所以，即在上恒成立，所以，又，所以，即的取值范围为.（3）①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，所以不存在极值，不合题意；②当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以无极大值，不合题意；