（辅导班）2026年新高三数学暑假讲义(基础班)第04讲 对数与对数函数（解析版）

第页第04讲对数与对数函数1、对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；②常用对数：以为底，记为；③自然对数：以为底，记为；(3)对数的性质和运算法则：①；；其中且；②(其中且，)；③对数换底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数且叫做对数函数．对数函数的图象图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上增函数在上是减函数当时，，当时，当时，，当时，【解题方法总结】1、对数函数常用技巧在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)题型一：对数运算及对数方程、对数不等式【例题1-1】______．【答案】【解析】.故答案为：【例题1-2】计算的值为______.【答案】8【解析】原式.故答案为：8.【例题1-3】若，，用a，b表示____________【答案】【解析】因为，所以，.故答案为：.【变式1-1】若，且，则__________．【答案】【解析】，且，且，，，，.故答案为：.【变式1-2】解关于x的不等式解集为_____．【答案】【解析】不等式，解，即，有，解得，解，即，化为，有，解得，因此，所以不等式解集为.故答案为：【解题方法总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像【例题2-1】函数的图象恒过定点（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，即函数图象恒过.故选：A【变式2-1】已知函数，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，不等式，即，等价于在上的解，令，，则不等式为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，可得不等式的解集为，故选：B【变式2-2】不等式的解集为__________．【答案】【解析】由，在同一直角坐标系内画出函数的图象如下图所示：因为，所以由函数的图象可知：当时，有，故答案为：【解题方法总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））【例题3-1】已知函数，若在上为减函数，则a的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】设函数，因为在上为减函数，所以在上为减函数，则解得，又因为在恒成立，所以解得，所以a的取值范围为，故选:B.【例题3-2】已知函数在上的最大值是2，则a等于_________【答案】2【解析】当时，函数在上单调递增，则，解得，当时，函数在上单调递减，则，无解，综上，a等于.故答案为：2.【例题3-3】若函数有最小值，则的取值范围是______．【答案】【解析】当时，外层函数为减函数，对于内层函数，，则对任意的实数恒成立，由于二次函数有最小值，此时函数没有最小值；当时，外层函数为增函数，对于内层函数，函数有最小值，若使得函数有最小值，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【变式3-1】函数的单调递区间为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的定义域为令，又在定义域内为减函数，故只需求函数在定义域上的单调递减区间，又因为函数在上单调递减，的单调递区间为.故选：B【变式3-2】已知函数，则（

）A．在单调递减，在单调递增B．在单调递减C．的图像关于直线对称D．有最小值，但无最大值【答案】C【解析】由题意可得函数的定义域为，则，因为在上单调递增，在上单调递减，且在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，A，B错误；由于，故的图像关于直线对称，C正确；因为在时取得最大值，且在上单调递增，故有最大值，但无最小值，D错误，故选：C【变式3-3】若函数在上单调，则a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】若在上单调递增，则，解得，若在上单调递减，则，解得．综上得.故选：D【解题方法总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题【例题4-1】已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】若在上的最大值，在上的最大值，由题设，只需即可.在上，当且仅当时等号成立，由对勾函数的性质：在上递增，故.在上，单调递增，则，所以，可得.故答案为：.【例题4-2】若，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】因为，不等式恒成立，所以对恒成立.记，，只需.因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减，所以，所以.故答案为：【变式4-1】已知函数.(1)若，求a的值；(2)若对任意的，恒成立，求的取值范围.【解析】（1）因为，所以，所以，所以，解得.（2）由，得，即，即或.当时，，则或，因为，则不成立，由可得，得；当时，，则或，因为，则不成立，所以，解得.综上，的取值范围是.【解题方法总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题【例题5-1】已知正实数，满足：，则的最小值为______.【答案】【解析】由可得：,所以，，设，，所以在上单调递增，所以，则，所以，所以，所以，令，令，解得：；令，解得：；所以在上单调递减，在上单调递增，所以.故的最小值为.故答案为：.【变式5-1】若满足，满足，则等于（

）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】由题意，故有故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，故曲线和曲线的图象交点关于直线对称.即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上，即，求得x1+x2=5，故选：D.【变式5-2】已知是方程的根，是方程的根，则的值为（

）A．2B．3C．6D．10【答案】A【解析】方程可变形为方程，方程可变形为方程，是方程的根，是方程的根，是函数与函数的交点横坐标，是函数与函数的交点横坐标，函数与函数互为反函数，函数与函数的交点横坐标等于函数与函数的交点纵坐标,即在数图象上，又图象上点的横纵坐标之积为2，，故选：．第04讲对数与对数函数1．“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的解集是，反之不成立.所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B2．已知，，有以下命题：①；②；③；④．其中正确命题的序号是（

）A．②③B．①③C．①④D．②④【答案】B【解析】因为，，所以，，所以，即：所以，故①正确，②错误；又因为，所以，所以，即：，所以，故③正确，④错误．故选：B.3．函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，因为函数在区间存在零点，所以，即，解得，所以实数m的取值范围是.故选：B.4．“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】令，，若在上单调递增，因为是上的增函数，则需使是上的增函数且，则且，解得.因为⫋，故是的必要不充分条件，故选：C.5．设，则的大小关系为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，，所以.故选：D.6．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（

）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．69【答案】C【解析】，所以，则，所以，，解得.故选：C.7．已知函数，若方程有解，则实数b的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】（当且仅当，也即时取等号）∴，故选：C.8．已知，，，则的最小值为（

）A．4B．6C．8D．10【答案】B【解析】由知,结合，以及换底公式可知，，当且仅当，，即时等号成立，即时等号成立，故的最小值为，故选：B.7．（多选）（已知，现有下面四个命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】AB【解析】当时，由，可得，则，此时，所以A正确；当时，由，可得，则，所以B正确.故选：AB.9．设定义在上且，则______．【答案】【解析】因为，所以，，同理可得.故答案为：10．设，，，若，，则的最大值为__________．【答案】3【解析】因为，所以，.又，，所以，.因为，，根据基本不等式有，当且仅当，即，时等号成立，所以.则，所以的最大值为.故答案为：.11．（1）计算；（2）已知，求实数x的值