重大计算机在材料工程中的应用课件01计算机应用的数学基础

计算机在材料工程中的应用第1章计算机应用的数学基础1章计算机应用的数学基础1.1方程求解方法1.2回归分析1.1方程求解方法1.1.1迭代法1.1.2有限差分法1.1.1迭代法一、线性方程组的迭代法简单迭代法(基本迭代法)设线性方程组(1)的一般形式为依此类推,线性方程组(1)可化为-----(4)--------(5)对(4)作迭代过程则(5)式转化为矩阵形式--------(6)令例1.用Jacobi迭代法求解方程组,误差不超过1e-4解:依此类推,得方程组满足精度的解为x12迭代次数为12次x4=3.02411.94780.9205d=0.1573x5=3.00031.98401.0010d=0.0914x6=2.99382.00001.0038d=0.0175x7=2.99902.00261.0031d=0.0059x8=3.00022.00060.9998d=0.0040x9=3.00031.99990.9997d=7.3612e-004x10=3.00001.99990.9999d=2.8918e-004x11=3.00002.00001.0000d=1.7669e-004x12=3.00002.00001.0000d=3.0647e-005Jacobi.m分析Jacobi迭代法(5)的迭代过程,将(5)式细化考虑迭代式(7)即将上式改为--------(8)--------(9)上式称为Gauss-Seidel迭代法,简称G-S法利用(8)式展开Gauss-Seidel迭代法也可表示成例2.用Gauss-Seidel迭代法求解例1.解:例2.用Gauss-Seidel迭代法求解例1.解:x1=2.50002.09091.2273d=3.4825x2=2.97732.02891.0041d=0.5305x3=3.00981.99680.9959d=0.0465x4=2.99981.99971.0002d=0.0112x5=2.99982.00011.0001d=3.9735e-004x6=3.00002.00001.0000d=1.9555e-004x7=3.00002.00001.0000d=1.1576e-005通过迭代,至第7步得到满足精度的解x7Gauss_seidel.m从例1和例2可以看出,Gauss-Seidel迭代法的收敛速度比Jacobi迭代法要高Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法统称为简单迭代法超松弛迭代法引如松弛因子ω0<ω<2二、非线性方程的迭代法

Newton迭代法弦截法二分法1.1.2有限差分法1.概述问题提出许多的力学问题和物理问题人们已经得到了它们应遵循的基本规律（微分方程）和相应的定解条件。但是只有少数性质比较简单、边界比较规整的问题能够通过精确的数学计算得出其解析解。大多数问题是很难得到解析解的。解决这类问题通常有两种途径：（1）对方程和边界条件进行简化，从而得到问题在简化条件下的解答；（2）采用数值解法。常用的数值解法大致可以分为两类：有限差分法和有限元法。1.概述(续前页)基本思想把连续问题离散化，最终化成有限形式的线性代数方程组。步骤对求解区域作网格剖分，用有限个节点代替连续区域；其次将微分算子离散化，从而把微分方程的定解问题化为线性代数方程组的求解问题。差分法和有限元法的主要区别是离散化的第二步。前者从定解问题的微分或积分形式出发，用数值微商或数值积分公式导出相应的线性代数方程组。后者从定解问题的变分形式出发，导出相应的线性方程组，但基函数是按特定方式选取。2.差分方程的建立

（1）合理选择网格布局及步长将离散后各相邻离散点之间的距离，或者离散化单元的长度称为步长。（2）将微分方程转化为差分方程差分的类型向前差分向后差分中心差分向前差分向后差分中心差分3.差分格式的物理意义

4.差分格式的误差分析向前:向后:中心:5.差分方程的求解方法直接法－Gauss列主元素消元法间接法－迭代法6.实例见教材P32~35上机实验2

常用数学分析方法应用实践（1）实验目的了解有限差分法的基本原理;初步掌握差分方程的求解方法.实验内容用有限差分法求解教材p32(2-46)的偏微分方程实验要求:采用中心差分格式建立差分方程;用Gauss-Seidel迭代法求解差分方程.实验报告要求:写出差分方程;写出用C语言编写的迭代法解线性方程组程序.1.2回归分析1.2.1概述研究变量与变量之间关系的数学方法变量之间关系种类确定性关系即函数关系相关关系主要解决的问题确定相关关系,找出数学表达式根据变量的值,预测/控制另一变量的取值,给出精度进行因数分析1.2.2最小二乘法原理=++

+=SSR=

SSE=有SST=SSR+SSE总平方和

记回归平方和

残差平方和估计平均误差(标准偏差)的计算相关系数R的计算对的不同的具体值，Y与X之间的相关关系分析如下：当r=1时，称为完全线性正相关；当r=-1时，称为完全线性负相关。当0<│r│<1时，Y与X存在一定的线性相关。当r>0时称Y与X正相关。当r<0时称Y与X是负相关。一般地说,r2≥0.9时，估计模型为＂优＂；0.8≤r2<0.9时，估计模型为＂良＂；0.6≤r2<0.8时，估计模型为＂一般＂。R2≤0.5时估计模型为＂差＂。=SSR／SST=1-SSE／SST

1.2.3一元直线回归分析基本方法利用excel进行线性回归分析的方法输入原始实测量值x（自变量）y（因变量）选择数据区域选择图表类型——xy散点图添加趋势线方差分析相关性检验—求相关系数R例研究腐蚀时间与腐蚀深度两个量的关系实验数据如下：

时间x(min)

3

5

10

20

30

40

50

60

65

90

120腐蚀深度y(μm)

40

6080

130

160170

190

250

250290

4601.2.4曲线回归基本概念应用excel进行曲线回归的方法举例1.2.5多元回归基本概念应用excel进行多元回归的方法举例上机实验3

常用数学分析方法应用实践（2）实验目的了解回归分析的基本概念;初步掌握应用excel进行回归分析方法.实验内容根据下面给定的实验数据应用excel进行回归分析实验数据退火温度对黄铜延性的影响试验数据如下表退火温度x(℃)300400500