广东佛山市2024-2025学年高一下学期6月期末数学答案-副本

2024~2025学年下学期佛山市普通高中教学质量检测高一数学2025.6本试卷共4页、19小题.满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】应用复数的乘法及除法运算求解.【详解】.故选：B.2.已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】利用平面向量共线定理即可求解.【详解】向量，是两个不共线的向量，，，存在唯一实数使得，即，，.故选：A.3.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.【详解】将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到.故选：B4.在中，，，，则（）A.9 B.10 C.12 D.15【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】在中，，，，，，，，，即.故选：C.5.为调查学生的体育达标情况，用简单随机抽样的方法，了解全校2506名学生的体育达标情况，抽取100名学生作为样本，第个（，，，，）学生的体育达标情况记为变量值，则表示的含义为（）A.全校学生体育达标的人数 B.样本学生体育达标的人数C.全校学生体育达标率 D.全校学生体育达标率的估计值【答案】D【解析】【分析】由题意理解所表示的意义为样本中达标人数即可得解.【详解】由题意，表示样本中体育达标的人数，所以表示全校学生体育达标率估计值.故选：D6.已知中，是的中点，且，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别在和中利用正弦定理即可求解.【详解】是的中点，，又，，在中，，，在中，，，.故选：B.7.如图，等边三角形与直线在同一平面，垂直于，，则绕旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】应用圆台和圆锥的表面积公式计算求解.【详解】过点作，垂足为，绕旋转一周形成的面所围成的几何体是圆台去掉同底圆锥，几何体的表面积是底面半径分别为1,2，母线为2的圆台表面积去掉上底面再加上底面半径为1，母线为2的圆锥的侧面积，则；故选：C．8.已知，，则的最小值为（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】应用已知条件设坐标，再应用数量积公式及模长公式计算求解.【详解】因为，，设，则，当时，的最小值为2.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则（）A.的虚部为 B.C. D.在复平面内对应的点位于第二象限【答案】BC【解析】【分析】A选项利用虚部定义可判断；B选项利用复数的模的计算公式求解；C选项利用共轭复数的定义进行判断；D选项利用复数的几何意义进行判断即可.【详解】对于A选项，复数的虚部是，故A错误；对于B选项，，故B正确；对于C选项，，故C正确；对于D选项，复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故D错误.故选：BC.10.佛山50公里徒步自2016年首次推出5条路线实现“五龙汇聚”，参与人数逐年增加，到2025年，现场参与人数为45万人，这不仅是一场全民健身的狂欢，更是佛山城市品牌的一次璀璨展示.下面分别为2016年佛山50公里徒步参与人数的扇形统计图（图1）、2025年佛山50公里徒步参与人数的条形统计图（图2，单位：万人），已知2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则（）A.2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万B.2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和C.五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是三水线D.五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线【答案】ABD【解析】【分析】根据扇形图及条形图得出5条线路的各个数据，再结合选项分别判断即可.【详解】因为2025年高明线的参与人数是2016年的2倍，则2016年的高明线的参与人数是万人，对于A：根据扇形图得出万，所以2016年佛山50公里徒步总的参与人数是20万，A选项正确；2016年佛山50公里徒步高明线，三水线，禅城线，顺德线，南海线参与人数分别为：万，万，万，万，万，2025年佛山50公里徒步高明线，三水线，禅城线，顺德线，南海线参与人数分别为：万，万，万，万，万，对于B：因为，2025年顺德线的参与人数超过了2016年南海线与顺德线的参与人数总和，B选项正确；对于C：五条线的参与人数2025年与2016年相比增加人数最少的是高明线，C选项错误；对于D：南海线的参与人数2025年与2016年相比增长率，顺德线的参与人数2025年与2016年相比增长率，禅城线的参与人数2025年与2016年相比增长率，三水线的参与人数2025年与2016年相比增长率，高明线的参与人数2025年与2016年相比增长率，所以五条线的参与人数2025年与2016年相比增长率最高的是南海线，D选项正确；故选：ABD.11.已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（）A.若为的垂心，则 B.若为的重心，则C.若为的外心，则 D.若为的内心，则【答案】ACD【解析】【分析】根据垂心的性质及向量的线性运算判断A，根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断B，根据外心特征计算判断C，根据内心的性质即可得解判断D.【详解】因为为的垂心，所以，故，故A正确；延长交于中点，如图，因为点O是的重心，，所以，故B错误；如下图所示：若为的外心，取线段的中点，连接，由垂径定理可知，所以，，同理则，故C正确；如图，若为的内心，则，过作，则，由余弦定理得，所以，设内切圆半径为，所以，所以，因为，所以，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分.12.已知，则__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，利用余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由二倍角的余弦公式，可得.故答案为：.13.若物体在共点力，的作用下产生位移，则合力对物体所做的功为__________.【答案】13【解析】【分析】先求出合力，再根据向量数量积的坐标表示及功的计算式计算即可.【详解】已知共点力，则合力为，又已知位移为，所以合力对物体所做的功.故答案为：1314.已知正四面体内部有一个半径为的小球，则正四面体棱长的最小值为__________.若小球可以在正四面体内任意滚动，小球与正四面体所有接触点的轨迹形成的图形面积为，则正四面体的棱长为__________.【答案】①.12②.20【解析】【分析】利用体积法求出小球与正四面体内切时正四面体的棱长即可；根据给定条件，分析确定小球球心的轨迹，再借助正四面体的结构特征求出棱长.【详解】为使正四面体棱长最小，则半径为的小球与正四面体的所有面均相切（为内切球），设此时的正四面体棱长为，其高，该正四面体的体积，即，解得，所以正四面体棱长的最小值为12；小球可以在正四面体内任意滚动，小球与正四面体每个面的所有接触点形成的轨迹为一正三角形，该正三角形可视为小球球心在正四面体对应面上的投影，因此小球任意滚动时，小球球心形成的轨迹为一个小正四面体，该小正四面体的面与正四面体的对应面平行，距离为，设其棱长为，则，解得，高为，令小球与共点的正四面体的3个面都相切时的球心为，点在平面上的投影为，则在线段上，令在平面上的投影为，连接并延长交于，连接，显然是正中心，是正的中线，则，而，于是，令与平面平行的小正四面体的面交于点，则，正四面体的高，而，因此，所以正四面体的棱长为20.故答案为：12；20四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，为中点.（1）求证：平面；（2）若，证明：底面为菱形.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，证得，结合线面平行判定定理，即可证得平面；（2）根据题意，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到，结合菱形的性质，即可得证.【小问1详解】证明：如图所示，连接交于点，连接，因为四边形为平行四边形，可得为的中点，又因为为中点，所以，因为平面，且平面，所以平面.【小问2详解】证明：直四棱柱中，可得平面，因为平面，所以，又因为，且，平面，所以平面因为平面，所以，即四边形的对角线互相垂直，又因为底面为平行四边形，所以四边形为菱形.16.某商场停车收费标准如下：停车时间在1小时内（含1小时）免费，超过1小时的部分，每小时收费4元（不足1小时的部分按1小时算，如停车时长为2.5小时，则按3小时计算，收费8元），一天之内封顶24元.为了解该商场停车情况，通过抽样，获得了100辆车一天内的停车时长（单位：小时），将数据按照，，，分成9.组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）估计停车费为24元的频率；（2）估计停车时长的第85百分位数；（3）假设这个商场节假日一天有800辆车进入车场停车，估计该商场节假日一天的停车费收入.【答案】（1）0.1（2）5.5小时（3）8480元【解析】【分析】（1）先分析出超过6小时收费就是24元，然后再由直方图计算超过6小时的频率即可；（2）通过计算先确定估计停车时长的第85百分位数所在的区间，再根据求百分位数的公式计算即可；（3）先分别求出停车时长在各个时间段的车辆的数量，再对应的求出其费用，再求和即可.【小问1详解】因为停车时间在1小时内（含1小时）免费，超过1小时的部分，每小时收费4元，所以停车时间为小时，收费元，超过6小时收费就是24元，所以由直方图可知超过6小时的频率为，所以估计停车费为24元的频率为0.1；【小问2详解】停车时间为的频率为，停车时间为的频率为，所以估计停车时长的第85百分位数位于区间内，因为，所以估计停车时长的第85百分位数为5.5小时；【小问3详解】假设这个商场节假日一天有800辆车进入车场停车，则停车时长为的估计有辆，收费0元；停车时长为的估计有辆，收费元；停车时长为的估计有辆，收费元；停车时长为的估计有辆，收费元；停车时长为的估计有辆，收费元；停车时长为的估计有辆，收费元；停车时长为的估计有辆，收费元；估计该商场节假日一天的停车费收入为元.17.已知向量，，函数.（1）求的解析式；（2）求的最小正周期及单调递增区间；（3）若在区间上的值域为，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）最小正周期，（3）.【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合二倍角公式、辅助角公式求解.（2）由（1）的结论，利用正弦函数的周期公式及单调性求解.（3）求出，由函数在区间上的值域为，结合正弦函数的性质得到不等式，求出范围.【小问1详解】由向量，得；【小问2详解】函数的最小正周期，由，得，所以单调递增区间为.【小问3详解】由（1）知，，当时，，由在上的值域为，得，解得，所以实数的取值范围是.18.如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，其中为动点.（1）当平面平面时，（i）求证：；（ii）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）（i）证明见解析（ii）2（2）【解析】【分析】（1）由条件先证明，再由平面平面，由面面垂直的性质定理可以得到平面，即可证明；（ii）又由，根据线面垂直的判定定理可以得到平面，即可知点到平面的距离即为；（2）取的中点，的中点，首先确定点在平面上的射影为在直线上，分析得到只研究在上或在左侧的情况，过作，得到的表达式，通过换元，利用基本不等式即可求出直线与平面所成角的正弦值的最大值.【小问1详解】（i）梯形中，，，，，.取的中点，连接，易知四边形为正方形，，可知.，.平面平面，平面平面，平面平面，平面，；（ii），，，平面，平面，点到平面的距离为；【小问2详解】取的中点，的中点，连接可知.由（1）知.设点在平面上的射影为，则由，可得，从而，在直线上.设直线由平面所成的角为，则.可知分别在左右对称位置时，长度相同，而当在右侧时，较长，此时较小，因此只需考虑在上或在左侧的情况.过作，则，设，则，，，，，，.设，则，，，，当且仅当，即时取等号，，直线与平面所成角的正弦值的最大值为.