概率 专题练习-2023届高三数学一轮复习

概率专题

1.心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小

组中按分层抽样的方法抽取50名同学，给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择

一道题进行解答，统计情况如下表：（单位：人）

几何题代数题总计

男同学22830

女同学81220

总计302050

（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?

（2）现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对他们的答题进行研究，记甲、乙两名女生

被抽到的人数为X,求X的分布列及数学期望.

附表及公式:

尸（星2词0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-bc).

k2=

(a+b)(c+d)(〃+c)(/+d)

2.某省高中男生身高统计调查数据显示：全

省100000名男生的身高服从正态分布

N07O.5,16）,现从某校高三年级男生中

随机抽取50名测量身高，测量发现被测学

生身高全部介于157.5cm和187.5cm之间，

将测量结果按如下方式分成6组：笫一组

[157.6,162.5）,第二组

[162.5,167.5）,第六组[182.5,187.5],下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.

（1）求该学校高三年级男生的平均身高；

（2）求这50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5cm）的人数；

（3）从这50名男生中身高在177.5cm以上（含177.5ciO的人中任意抽取2人，该2中身高

排名（从高到低）在全省前130名的人数记为求J的数学期望.

（附：参考数据：若J服从正态分布则P（〃一b<JW4+b）=0.6826,

尸(〃一2。＜+2b)=0.9544,一3bv+3b)=0.9974.)

3.中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族，各民族有许多优良的传统习俗，如过大年吃饺

子，元宵节吃汤圆，端午节吃粽子，中秋节吃月饼等等，让人们感受到浓浓的节目味道，某家

庭过大年时包有大小和外观完全相同的肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子，一家4口人围坐在桌

旁吃年夜饭，当晚该家庭吃饺子时每盘中混放8个饺子，其中肉馅饺子4个，蛋馅饺子和素馅

饺子各2个，若在桌上上一盘饺子大家共同吃，记每个人第1次夹起的饺子中肉馅饺子的个数

为X,若每个人各上一盘饺子，记4个人中第1次夹起的是肉馅饺子的人数为丫，假设每个人

都吃饺子，且每人每次都是随机地从盘中夹起饺子.

（D求随机变量X的分布列；

（2）若x,y的数学期望分别记为E（X）、E（y）,求E（X）+E（y）.

5.(本小题满分12分)

西成高铁的开通极大地方便了汉中人民的出行。开通之前必须检测轨道中某新技术的三

项不同的指标1、II、山是否合格。假设该新技术的指标I、n、w独立检测合格的概率分

别为2、工、,，指标I、n、用检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，

332

则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响。

(1)求该新技术检测得8分的概率；

(2)记该新技术的三项指标中被检测合格的个数为随机变量J,求4的分布列与数学期望。

6.12018天津卷16】已知其单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采

用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(H)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进

一步的身体检查.

(D用X表示抽取的3人中睡眠不•足•的员工人数，求随机变量X的分布列与数学

期望；

(ii)设/为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，

求事件A发生的概率.

7.树立和践行、、绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生〃的理念越来越深入人心，已

形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情

况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关

注此问题的约占80%.现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人

按年龄分组:第1组［15,25),第2组［25,35),第3组［35,45),第4组［45,55),第5组(55,65),

得到的频率分布直方图如图所示.

(1)求这200人年龄的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数(精

确到小数点后一位);

(2)现在要从年龄较小的第1,2组中用分层

抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人

进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率；

(3)若从所有参与调查的人(人数很多)中任意

选出3人，设其中关注环境治理和保护问题的人数

为随机变量X,求X的分布列与数学期望.

8.某高用随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需的时间（单位:分钟），并将所得数据绘制

成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为

[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].

频率

（1）求直方图中工的值；

（2）如果上学路上所需时间不少于1小

时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，

请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；

G3）从学校的高一学生中任选4名学生,

这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的

人数记为X,求X的分布列和数学期望.（以直

方图中的频率作为概率）

9..2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速

炒“热”.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，

2

随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占用而

男生有10人表示对冰球运动没有兴趣.

（1）完成下面的2x2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为

“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

有兴趣没兴趣合计

男55

女

合计

（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次

抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为X,若每次抽取

的结果是相互独立的，求》的分相列、期望和方差.

附表:

P(K0.1500.1000.0500.0250.010

卜02.0722.7063.8415.0246.635

n(ad-hc\

一,K92=---------------------,n=a+b+c+d,

参考公式：S+3(c+d)(a+c)(b+d)'

10.自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到

80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如下表所示:

别

男件女性合计

年

[18.2S)16040220

[25,35)3€0240600

[3S,5O>40100140

[50.80)202040

合计6004001000

(1)采用分层抽样的方式从年龄在［25,35)内的人中抽取10人，求其中男性、女性的

使用人数各为多少？

(2)在(1)中选出1。人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；

(3)用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽取4人，其中男性使用的人

数记为求《的分布列.

11.随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的

态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”的赞成人数如

下表：

年龄(单位：

[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

岁)

频数510151055

赞成人数51012721

(1)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2x2列联表，并判断是否

有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关;

年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计

赞成的人数

不赞成的人数

合计

(2)若从年龄在［25,35)和［55,65)的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行

追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在［55,65)的概率.

参考公式：K2=---------Mad---------,n=a-^b+c^d.

(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据:

P(K*k°)O.KX)().05()0.010().(X)1

k。2.7063.8416.63510.828

12.（本小题满分12分）第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌

举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天

收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：

液看时间（单

[0,1)口2)亿3)[4,5)[5⑹

位：小时）[3,4)

收看人数1430162012

28

天

收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，

请根据频数分布表补全2x2列联表：

男女合计

体育达人40

非体育达人30

合计

并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；

（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选

取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为《求的f分布列与数学期望.

附表及公式：

吁法）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

上02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

n[ad-bc^

(a+B)(c+d)(«+c)0+d)

13.针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持

“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示:

支持保留不支持

50岁以下800040002000

50岁以上(含50岁)KXX)20003(XX)

(1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取〃个人，已知从持“不支持”态

度的人中抽取了30人，求〃的值；

(2)在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取1()人看成一个总体，从这1()

人中任意选取3人，求5()岁以下人数J的分布列和期望；

(3)在接受调查的人中，有10人给这项活动打出的分数如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,

9.3,9.(),8.2,8.3,9.7,把这10个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数

与总体平均数之差的绝对值超过0.6概率.

14..近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行

方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方何中设置了用户评价反馈系统，以了

解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出2(X)条较为详细的评价信息进行统

计，车辆状况的优惠活动评价的2x2列联表如下:

对优惠活动好评对优惠活动不满意合计

对车辆状况好评10030130

对车辆状况不满意403070

合计14060200

(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间

有关系？

(2)为了回馈用户，公司通过"P向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种

骑行券.用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得

2元券的概率分别是,，i,且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该

25

公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X,求随机变量X的分布列和数学

期望.

参考数据:

P(K2>k)

0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

参考公式：K=--------3--------------,其中〃=a+"c+d.

(a+力(c+c/)(a+c)(b+d)

15.2018年6月14日，第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.某地方体育台

组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选

出一支球队，现有三人参与竞猜.

（1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支

球队中恰好有两支球队有人选择的概率；

（2）若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为1,男球迷选择德国队

3

的概率为|,记J为三人中选择德国队的人数，求J的分布列和数学期望.

16.为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国

家学生体质健康标准(2014年修订)》，要求各学校每学期开展覆盖本校各年级学生的《标准》

测试工作，并根据学生每个学期总分评定等级.某校决定针对高中学生，每学期进行一次体质

健康测试，以下是小明同学六个学期体质健康测试的总分情况.

学期X123456

总分y(分)512518523528534535

(1)请根据上表提供的数据，用相关系数r说明y与x的线性相关程度，并用最小二乘法求出y关

于的线性回归方程(线性相关系数保留两位小数)；

x♦♦

(2)在第•六•个•学••期测试中学校根据《标准》，划定540分以上为优秀等级，已知小明所在的

学习小组10个同学有6个被评定为优秀，测试后同学们都知道了自己的总分但不知道别人的

总分，小明随机的给小组内4个同学打电话询问对方成绩，优秀的同学有X人，求X的分布列

和期望.

nn

^(Xj-xXypy)Z&《)(yK)

参考公式：6----------