第4章 因式分解 单元综合练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》单元综合练习题（附答案）一、单选题1．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（

）A．ax−y=ax−ay C．x+1x+3=x2．多项式2x3y+8A．x2y2 B．2x3y3．若9b2−4A．−2a−3b B．2a+3b C．2a−3b D．3b−2a4．多项式x2+x−6可因式分解成x+ax+b，其中a，b均为整数，则a+bA．−1 B．1 C．−2025 D．20255．若P=2m2+m，Q=m2−3m−4，则A．P≥Q B．P>Q C．P=Q D．P<Q6．对于任意整数n，多项式n+112−n+2A．9 B．2 C．11 D．137．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a−b，x−y，x+y，a+b，x2−y2，a2A．我爱美 B．怀化游 C．美我怀化 D．爱我怀化二、填空题8．已知多项式3x2+bx+c分解因式为3x+2x−3，b=9．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则整数m10．因式分解：（1）x4（2）3a11．若mn=2，m−3n=3，则m3n−612．多项式a2−1+b13．若m+n3−mnm+n=m+n14．若正方形的面积是25x2+10xy+三、解答题15．把下列各式因式分解：(1)4a(2)x216．运用简便方法计算：(1)1.23×51(2)842(3)5.76×116+57.6×18.4+576×17．小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料，请你根据阅读材料帮小红解决下列问题：阅读材料分解因式：a+b解：①将“a+b”看成整体，令a+b=m，则原式=m②再将a+b=m还原，得到原式=a+b−1上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想(1)因式分解：x−y2(2)因式分解：x218．阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x=(1+x)[1+x+x(x+1)]==(1)上述因式分解的方法是______，共用了_____次；(2)把多项式1+x+x(x+1)+x(x+1)(3)依照上述方法因式分解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+⋯+x19．课本复习题有道题是“如果ab=0，那么a=0或b=0，利用所学知识，尝试求解方程x2−2x=0”“如果ab=0，那么a=0或b=0”在数学中通常称为零乘积性质．方程x2−2x=0可化为xx−2=0，根据零乘积性质，若ab=0，则a=0或b=0，因此x=0或x−2=0，解得x=0或(1)求解方程a2(2)已知x2+xy+3x+3y=0，当y=−2，求(3)已知△ABC的三边a,b,c满足a2−b20．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+ca≠0的多项式变形为例如：x2例如：求代数式x2原式=x∵x+2∴当x=−2时，x2根据以上材料，解答下列问题．(1)分解因式（利用配方法）：x2(2)求多项式4x(3)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b参考答案1．B【分析】本题主要考查了因式分解的定义，将多项式转化为几个整式的积的形式叫做因式分解，据此可得答案．【详解】解：A选项从左到右是整式乘法，不是因式分解；C选项从左到右是整式乘法，不是因式分解；D选项右边不是积的形式，含有加号，不是因式分解；B选项左边是多项式，右边是2x+y2，且4故选B．2．C【分析】本题主要考查公因式的确定：（1）数字部分：找最大公约数；（2）字母部分：找相同字母的最低次幂，准确分析判断是解题的关键．公因式是多项式中各项都含有的因式，需提取系数的最大公因数和各字母的最低次幂即可得解．【详解】解：∵系数2和8的最大公因数为2，字母x的最低次幂为x2，字母y的最低次幂为y∴公因式为2x故选C．3．D【分析】本题考查平方差公式的灵活运用，利用平方差公式将9b【详解】解：∵9b又∵3b+2a=2a+3b，∴括号内应填3b−2a，故选：D4．B【分析】本题考查了因式分解、有理数的乘方，熟练掌握十字相乘法分解因式是解题关键．先对多项式进行因式分解，求出a和b的值，再计算a+b，最后代入求解即可．【详解】解：∵x2∴a=3,b=−2或a=−2,b=3，∴a+b=1，∴a+b2025故选B．5．A【分析】此题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式进行因式分解是解题的关键．通过计算P与Q的差，并利用完全平方公式判断其非负性，从而得出大小关系．【详解】解：∵P=2m2∴P−Q=∵m∴P−Q≥0，即P≥Q故选：A．6．A【分析】本题考查因式分解的应用，将多项式进行因式分解后进行判断即可．【详解】解：n+11==92n+13故多项式n+112故选A．7．D【分析】本题主要考查了因式分解的应用，通过提取公因式和平方差公式将表达式因式分解，得到四个因式，分别对应给定的汉字，组合后得到密码即可．【详解】解：x===x−y对应汉字：x−y→爱，x+y→我，a−b→化，a+b→怀，∴组合后的密码为“爱我怀化”，故选：D．8．−3−18【分析】本题考查了多项式乘以多项式，通过展开给定的因式分解形式，与原多项式比较系数，即可求出b和c的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：3x+2∵多项式3x2+bx+c∴b=−3，c=−18，故答案为：−3，−18．9．±4【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟悉完全平方公式的结构特征，即a2±2ab+b根据完全平方公式的结构，将多项式x2+mx+4与a2±2ab+b2对应，确定a=x，【详解】解：∵多项式x2∴x∵(x±2)∴mx=±4x．∴m=±4．故答案为：±4．10．(x−3)(x+3)(x3【分析】本题考查了因式分解，包含平方差公式与完全平方公式的使用，解决本题的关键是正确使用公式化简．（1）连续两次应用平方差公式进行分解即可；（2）先提取公因式，再应用完全平方公式求解即可．【详解】解：（1）x4故答案为：(x−3)(x+3)(x（2）3a故答案为：3a+b11．18【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法和公式法因式分解是解题的关键；将所求表达式因式分解，利用已知条件代入计算即可．【详解】解：m=mnm=mnm−3n∵mn=2，m−3n=3，∴原式=2×3故答案为：18．12．a+b+1【分析】本题考查利用完全平方公式与平方差公式进行因式分解，掌握知识点是解题的关键．观察多项式，发现a2【详解】解：a===a+b+1故答案为：a+b+1a+b−113．m【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键．将等式左边提取公因式m+n，然后化简得到A．【详解】解：左边：(m+n)其中(m+n)2∴(m+n)[右边：(m+n)⋅A，因此A=m故答案为：m214．5x+y【分析】本题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方式的特点是解决问题的关键．正方形的面积是边长的平方，给定表达式是一个完全平方式，运用公式法把多项式分解，即可得出答案．【详解】解：给定面积表达式为25x2+10xy+根据正方形面积公式，边长等于面积的算术平方根，且x>0，y>0，故该正方形的边长为5x+y，故答案为：5x+y．15．(1)4ab(2)x−y【分析】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解即可；（2）先将y−x变形为−x−y【详解】（1）解：原式=4ab=4aba−2（2）解：原式====x−y16．(1)246(2)4900(3)0【分析】本题考查了因式分解的简便运算，涉及提取公因式、平方差公式、完全平方公式，掌握观察式子结构，通过提取公因式或凑乘法公式简化计算是解题的关键．（1）提取公因式1.23，再用平方差公式因式分解简化计算．（2）将−28×84转化为−2×14×84，凑完全平方公式因式分解．（3）统一各项系数为5.76，提取公因式后计算括号内的和．【详解】（1）解：原式=1.23×=1.23×=1.23×100×2=246．（2）解：原式====4900．（3）解：原式=5.76×116+5.76×184+5.76×=5.76×=0．17．(1)x−y−4(2)x−34【分析】本题考查整体思想在因式分解中的应用及完全平方公式的运用，核心是通过换元将复杂多项式转化为熟悉的完全平方式进行分解．（1）观察式子结构，可将x−y看作一个整体，式子符合完全平方差公式的形式，直接套用公式分解后还原即可；（2）先将x2【详解】（1）解：令m=x−y，则原式=m将m=x−y还原，得原式=(x−y−4)（2）解：令m=x2−6x将m=x2−6x∵x∴原式=(x−318．(1)提公因式法，2(2)(1+x)(3)(1+x)【分析】（1）根据提公因式法分解因式的过程可得答案；（2）根据因式分解1+x+xx+1（3）仿照已知的计算过程进行因式分解即可．【详解】（1）解：上述因式分解的方法是提公因式法，共用了2次；（2）解：把多项式1+x+x(x+1)+x(x+1)结果是(1+x)2027（3）解：1+x+x(x+1)+x=(1+x)=…=(1+x)19．(1)a=0或a=−2(2)x=−3或x=2(3)△ABC是等腰三角形，理由见解析【分析】（1）对方程a2（2）先将y=−2代入已知等式化简，再将等式左侧因式分解，然后根据零乘积性质求解；（3）先将已知等式左侧因式分解得到a−ba+b+c=0，根据a,b,c是△ABC的三边长，得a+b+c>0，则【详解】（1）解：对方程a2+2a=0左侧因式分解得∴a=0或a+2=0，解得a=0或a=−2；（2）解：将y=−2代入x2+xy+3x+3y=0得整理得x2因式分解得x+3x−2∴x+3=0或x−2=0，解得x=−3或x=2；（3）解：△ABC是等腰三角形，理由如下：∵a2∴对等式左侧因式分解得a−ba+b+c∵a,b,c是△ABC的三边长，∴a>0,b>0,c>0，即a+b+c>0，∴a−b=0，即a=b，∴△ABC是等腰三角形．20．(1)x+4(2)−4(3)12【分析】本题主要考查了因式分解的应用、乘法公式，熟练掌握利用配方法分解因式是解题关键．（1）