湖南省岳阳市湘阴县2025-2026学年高二上学期教学质量检测数学试卷数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省岳阳市湘阴县2025-2026学年高二上学期教学质量检测试卷数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线的斜率，倾斜角范围为，所以直线的倾斜角为.故选：B.2.已知等差数列的公差为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为等差数列的公差为，所以.故选：C.3.已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则（）A.3 B. C.6 D.【答案】C【解析】点在抛物线上，抛物线开口向右，，又点到抛物线焦点的距离为4，，.故选：C.4.已知向量与共线，则（）A. B.0 C.2 D.6【答案】D【解析】因为向量与共线，显然：,所以，所以，故．故选：D.5.已知圆与圆，则两圆（）A.内含 B.相切 C.相交 D.外离【答案】D【解析】由两圆方程知：圆心，半径；圆心，半径；圆心距，两圆外离.故选：D.6.已知，则平面的一个法向量的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设平面的法向量，则，因为，所以，令，则，所以平面的一个法向量为．所以平面的一个法向量的坐标为，又，故坐标为的向量不与共线，故A错误；又，故坐标为的向量与共线，故B正确；又，故坐标为的向量不与共线，故C错误；又，故坐标为的向量不与共线，故D错误.故选：B．7.两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”，已知直线，和圆“相切”，则a应满足（）A. B.或C.或 D.或【答案】D【解析】因为圆可化为，圆心为，半径为，当两平行直线和圆相交时，有，解得．当两平行直线和圆相离时，有，解得或．故当两平行直线和圆相切时，把以上两种情况下求得的a的范围取并集后，再取此并集的补集，即得所求．故所求的a的取值范围是或，故选：D．8.若椭圆和的方程分别为和（且）则称和为相似椭圆．已知椭圆，过上任意一点P作直线交于M，N两点，且，则的面积最大时，的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，联立，可得，所以，所以的面积为，由，可得为的中点，所以，因为点在椭圆上，所以，所以，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去得，，，设，，则，，，所以点坐标为，因为点在椭圆上，所以，因为原点到直线的距离为，，所以的面积为，综上，，又，又，所以当时，的面积最大.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.下列数列中，是等差数列的是（）A.1，4，7，10 B.C. D.10，8，6，4，2【答案】ABD【解析】根据等差数列的定义，可得对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故A正确；对于B，满足（常数），所以是等差数列，故B正确；对于C，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误；对于D，满足（常数），所以等差数列，故D正确．故选：ABD.10.如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为BD，的中点，若点G满足（，），则（）A.平面B.当时，平面C.当时，平面D.当时，点G到平面的距离为【答案】AC【解析】因为，所以共面，又均过点，所以共面，所以平面，故A正确；以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，当时，，所以，所以，又，所以不平行于平面，故B错误；所以，所以，所以平面，故C正确；当时，，所以点G到平面距离为，故D错误.故选：AC.11.我们把平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，称为卡西尼卵形线（CassiniOval）．在平面直角坐标系中，两个定点，，，是平面上的两个动点，设满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，满足的的轨迹为一条连续的封闭曲线，则（）A.关于轴、轴对称 B.当不在轴上时，C.当时，纵坐标的最大值大于 D.当，有公共点时，【答案】ACD【解析】对于选项A：设，由，得，将代入得到：，将将代入得到：，所以关于轴、轴均对称，A正确；对于选项B：当不在轴上时，与不共线，可以作为一个三角形的三个顶点，所以，B错误；对于选项C：当时，，当时，可得：，解得：，此时，即，故当时，点的纵坐标的最大值大于1，C正确；对于选项D：由，得为椭圆，且，其方程为，所以，代入，得，所以，因为，所以，解得：或舍去，D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.圆：与圆：的公共弦长为______.【答案】【解析】联立，两圆方程相减得公共弦方程：，化为标准方程：，圆心为，半径为圆心到公共弦的距离为：，公共弦长为：综上所述：公共弦长为：，故答案为：.13.已知=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），则向量与夹角是_____．【答案】90°【解析】∵=（cosα，1，sinα），=（sinα，1，cosα），∴，∴∴与垂直，∴向量与的夹角为：90°故答案为：90°.14.已知抛物线与圆交于两点，且，直线过的焦点，且与交于两点，则的最小值为__________.【答案】或【解析】抛物线与圆交于两点，且，得到第一象限交点(1，2)在抛物线上，所以，解得，所以C：，则，设直线，与联立得，设，所以，，，，当且仅当时等号成立.即的最小值为.故答案：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系.（1）写出点，的坐标；（2）求证：.（1）解：根据空间直角坐标系可得，.（2）证明：∵，，∴，.即，∴，故.16.已知数列的前项和为是首项和公差均为1的等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．解：（1）由是首项和公差为1的等差数列，得，则，当时，当时，，因为满足上式，所以数列的通项公式．（2）因为，所以．17.已知直线与圆交于，两点．（1）当时．（i）若，求；（ii）求a的取值范围．（2）记坐标原点为O，若，求四边形面积的最大值．解：（1）圆的圆心的坐标为，半径，当时，直线的方程为，（i）当时，点到直线的距离，故直线过圆心，线段为直径，故，（ii）圆心到直线的距离，由已知，所以，（2）当时，圆的圆心为，此时的方程为，由可得，，直线的方程为，圆心到直线的距离，此时，又，直线与直线的距离为，所以四边形的面积为，当时，直线的方程为，即，因为，所以，故直线的方程为，此时点到直线的距离，因为，所以直线与圆相交，，又，直线与直线的距离为，所以四边形的面积为，所以，令，则，，因函数在上单调递增，所以，综上，当时，四边形面积取最大值，最大值为.18.已知椭圆上有点，左、右焦点分别为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点Q为椭圆的上顶点，椭圆上有异于Q的两点满足，求证：直线恒过定点．（1）解：根据椭圆定义得，，即，，故椭圆的标准方程为．（2）证明：设，当直线斜率存在时，设直线方程：，则由题意得，将，代入整理得：（*），将代入椭圆方程整理得，需满足，则，代入（*）式得：，整理得，当时，过B点，不合题意；故，直线的方程为，故此时过定点；当直线斜率不存在时，设方程为，代入可得，不妨设，由可得，解得，此时方程为，也过定点，综合上述，过定点.19.已知A，B分别为椭圆：的左顶点和下顶点，T为直线上的动点.（1）求的最小值；（2）设直线TA与椭圆的另一交点为D，直线TB与椭圆的另一交点为C.当四边形ABCD为梯形时，求点T的坐标；（3）已知直线l：（）与圆F：交于M，N两点，与椭圆交于P，Q两点，其中M，P在第一象限，d为原点O到直线l的距离，是否存在实数k，使得取得最大值？若存在，求出k；若不存在，说明理由.解：（1）设，，，，当时，的最小值为.（2