中学物理学中的数学问题（下）

)由牛顿第二定律，得 式中是阻力系数.以m遍除各项，得 令 ω0为振动系统的固有圆频率，β为阻尼系数，和振动系统的性质以及介质的性质有关.于是，方程可写为 为二阶常系数齐次微分方程，通解为 为了与高中教材吻合，此处只讨论阻力很小的欠阻尼状态的阻尼振动，即β＜ω0，由上式可求出弹簧振子中质点的运动学方程为，其中 A和为待定常数，由初始条件决定.此式中包含两个因子，Ae－βt表示随时间衰减的振幅，表示振动以为圆频率做周期性变化，二因子相乘表示质点做运动范围逐渐减小的往复运动——阻尼振动.由于质点的运动状态不可能每经过一定时间便完全重复出现，因此阻尼振动不是周期性运动.不过， 是周期变化的，它保证了质点每连续两次通过平衡位置并沿相同方向运动的时间间隔是相同的，于是把的周期叫做阻尼振动的周期，并用T′表示，则有显然，阻尼振动的周期大于同样振动系统的简谐运动的周期（固有周期）对应的频率则小于其固有频率. 例2质量为的质点以初速度从地面竖直上抛，设空气阻力为，为常数，试求(a)(b)(a)(b)(c)解①求物体上升的最大高度.选取坐标系如上图（a）所示，取开始上抛时，这时，上升到最高位置时有，在该过程中受力分析如上图(b)所示，其运动方程为(1)注意到(2)所以(3)对(3)式两边积分，注意到所以有(4)由(4)得到(5)结果讨论：在、不变的情况下，的大小将会影响，如当很小时，有，则.这正是不计阻力时物体以竖直上抛所能达到的最大高度.这一结果还可从另一角度来讨论，即把看作是的函数，即当时，此式为型不定式（当型不定式），所以由罗必达法则，有，当时，，表示物体不能上升.求返回原地时的速度物体在下落时所受阻力与重力方向相反，所以运动方程为（6）仍用（2）式将（6）式表示为（7）将（7）式两边同时积分，上、下限选取:时，物体在最高点，这时有，返回地面时，，所以（8）积分结果为（9）将(5)式代人（9）式并整理有（10）（10）式中的负号仅表示与方向相反.(当时，则有，当非常大时有)，③求开始上升到返回地面所用的总时间先求上升过程所用的时间.将（1）式改写为(11)对(11)式两边积分，确定上下限时注意到当时，当，即（12）由（12）式得(13)在计算下降时间时，为避免混淆，轴正向应向下，原点取在原处，如上图(c)所示，运动方程为(14)即(15)对(15)式两边积分，注意到当时，，所以有.（16）由（16）式解得（17）因此求得总时间为（18）当时（18）式中两项都为型不定式，不难用罗比达法则求出，这正是不计阻力时竖直上抛物体从上抛到返回原地时所用的时间.例3建立如图所示的坐标系，真空中有两个点电荷，电量分别为，位置坐标分别为，则由为库仑定律和电场强度的定义式可求得空间.任意一点的电场强度的两个分量分别为：式中，将上式整理后得：根据电场线的斜率为电场强度的方向，所以电场线应满足以下微分方程：，即代入电场强度的两个分量后，整理得对上式进一步整理后令，换元后得将上式两边积分后可求得通解为即电场线簇的方程为其中，式中每个值对应两条电场线[1][2]只知道这个方程还不能画出电场线的轨迹，因为对于某一常数的方程，要解出与的关系得解一个一元四次方程.但我们可以求出关于与的参数方程，具体过程如下：设，则有联立以上两个方程可求得，式中当时，电场线为等量异种电荷产生的电场线当且时，电场线为不等量异种电荷产生的电场线若两电荷是同种电荷，则电场线簇方程为，式中当时，电场线为等量同种电荷产生的电场线当且时，电场线为不等量同种电荷产生的电场线等势线的轨迹方程建立如图所示的平面直角坐标系，则任意一点的电势为仅通过以上式子很难画出等势线的轨迹，因为要知道某一个等势面的轨迹方程，得求一个一元四次的方程，但可以利用参数方程得到等势面的轨迹，过程如下：令，式中为某一等势面的电势且，则有，联立以上两式求解得当时，等势面为等量异种电荷产生的等势面当且时，等势面为不等量异种电荷产生的等势面若两电荷为同种电荷，则令，式中为某一等势面的电势且，则有联立以上两式求解得当时，等势面为等量同种电荷产生的等势面当且时，等势面为不等量同种电荷产生的等势面.数学不仅是方程的形式的构建方法，尤其在经典物理中更是概念图像构造的构造方法也是实验观察的观察方法.最明显的例子就是“质点”和“位移”的概念很明显是对应数学中的“点”与“直线”的概念.物理学概念的观察最后基本上都可以还原为对“位移”的观察.“力”的概念可以是弹簧测力计指针的位移.“质量”的概念可以看做是秤的指针位移.同样的，这些概念可以看做是其他仪器指针的位移，其他概念也可以用这种方法还原概念的经验原型.这就是数学的思维用在了实验观察上，这种观察要求我们只要关注几个点以及点的运动和重合就可以了.例如，用尺子测量一个物体的长度，我们不是观察它的颜色也不是观察它的内部或者触摸它的硬度，而只是观察物体的两端点和尺子的重合点就可以了，而尺子上的点我们标注了代数符号，我们最后记下了这个长度代数.当然，对于颜色、内部以及硬度的代数表征会用其他的仪器进行同样性质的数学式观察.这种观察方式相当于把现象删繁就简，进行几何切割，舍去其他成分，只剩下几何成分.切割的结果是，不同的物体便可以归结为同样的概念、归结为同样的定律.事实上是，经验现象原初不是这样子的，我们进行了切割才有了普遍性的表征，然而，错误在于我们把普遍性当做了是现象本身而忽略了现象的特殊性.从根本上讲，切割后的图像并不是现象本身，这只是一种方法的使用过程.例如，一个苹果和一个梨在桌子上移动他们在牛顿三定律下只是有速度、加速度的不同，而实际情况呢？数学的观察方式意味着我们对现象的简化与切割.这种数学方法的观察方式并没有认识意义上的优先地位.象形文字和这个有着同等性质的功能，只不过是象形文字更加具体到事物的形体结构，本质上讲都是一种模拟、简化与切割功能.只不过是，数学观察方式立足于“点”运动与重合的观察，把一切事物理解为机械运动.物理方程本身只不过是这种观察方式不同测量代数量之间建立起的函数关系而已，并没有给出现象的原因，并且并不是现象本身.我们是否应该放弃寻找“数学方程”的物理学理想？对此，爱因斯坦在《论理论物理学的现代危机》中曾说：“人们不止一次地提出这样的意见，认为自然规律未必能用微分方程来描述.”带电粒子仅受电场力做匀速圆周运动的可能性研究在双电荷的电场中，一般我们认为只在等量同种电荷的中垂面上，某一带电粒子以一定的速率和适当的电量在适当的位置以垂直中垂线方向的速度方向射入电场，才能做匀速圆周运动，但实际上是这样的吗？对于这个问题可简化为带电粒子在双电荷的电场中受到的电场力的合力方向总垂直指向两电荷的连线，即电场中时，电粒子就可以做匀速圆周运动[3]，则有将上式化简求得通过以上分析，在静电场中电场线与等势面的研究，可以利用参数方程来分析，得出其轨迹方程，最后用电脑模拟出其轨迹，这样可以让抽象的电场线与等势面形象化，同时也证明了一个问题：物理问题到了最后就是一个数学问题.“我尝终日之所思，不如须臾之所学也！”对于中学物理中的一些习题，经常尝试从直觉上解答，不如尝试利用高等数学中的知识去解决它！伽利略曾经讲过:考虑到这些，我开始相信：那些抛弃从吃奶时就被灌输的并为大多数人所信仰的见解，转而接受一种被所有学派排斥的并只有少数人相信的见解的人，他们即使不是被迫承认，也必然是被有力的论据所打动.我考虑更重要的是，一门广博精深的科学已经启蒙，我在这方面的工作只是它的开始，那些比我更敏锐的人所用的方法和手段将会探索到各个遥远的角落.如果不理解它的语言，没有人能够读懂宇宙这本伟大的书，它的语言就是数学.伽利略在他的力学研究中成功地运用了数学方法，是他第一个用数学方法来分析时间和空间的定量关系，用数学关系精确地表述和定义了时间、位置、速度、加速度、匀速运动、匀变速运动等概念，并赋予自由落体、摆、斜面和抛体等运动的规律以简洁、优美的数学表达式.在这里笛卡儿坐标系为他进行这种描述提供了数学框架.所以，伽利略是物理学中数学——实验方法的奠基者；伽利略的动力学理论是数学美与实验美合一的知识体系.牛顿由此而评论说，伽利略是开辟道路的拓荒者.而爱因斯坦则指出：“伽利略的发现以及他所应用的科学的推理方法，是人类思想史上最伟大的成就之一，而且标志着物理学的真正开端.”3.用“约化质量”解“一维两体”问题1960年物理学家尤金·维格纳（EugenePaulWigner）在《数学在自然科学中不合理的有效性》中就表达了他惊奇于数学对物理世界的描述能力，远远超出任何纯粹人造工具的想法.的确，许多物理学家都认为数学深刻地表述了物理现实的本质.在中学物理习题中，有一类譬如“子弹穿越木块、物块在凹槽里碰撞以及弹簧双振子”等问题，由于两体是互动的，故使得求解它们运动及能量的问题往往十分费神.甚至让老师也走进了死胡同.事实上，在质点组动力学中，我们取各个质点的位移并以其质量加权求平均，可以得到所谓质点组的“质量中心”，简称“质心”，质心的位移由确定.并且对不受外力的两质点组成的质点组，引入相对速度后，缘于以质心为参考系有，联立两式得，.随之得到它们相对质心参考系的动能为，式中，就称为“约化质量”（或称“折合质量”）.双星系统在万有引力作用下是绕它们的质心做圆周运动，设两星质量分别为、，相距为及转动角速度为，则我们可简单推导出：，即，这恰好是一个星体（如）绕另一个星体（）做相对运动的力学方程.换言之，只要将一个星体（如）的质量换成，它相对另一星体（）的运动符合新牛顿定律，反之，亦然.尽管其时视为静止的星体并非静止在惯性系中.当然，我们还可从另一角度来进行讨论.在相对静止的平动系来考察的运动，在其中静止的平动系并非惯性系，但只要引入惯性力，牛顿定律仍适用.注意到相对惯性系的加速度；方向指向.于是的动力学方程写为；化简得.可见，当讨论两质点的相对运动时，只要用约化质量代替实际质量，其作用与考虑惯性力相仿.因此，对于“一维两体”的复杂相互作用，或许约化质量和质心就能派上用场.请看下面三例.【例1】一颗子弹以水平速度穿透一块在光滑水平面上迎面滑来的速度也是木块后，二者运动方向均不变.设子弹与木块间相互作用力恒定，木块最后速度为，则（） A．越大，越大 B． 越小，越大 C．子弹质量越大，越大 D． 木块质量越小，越大【解】本题虽为一选择题分值仅为4分，但题目内涵颇丰.为详尽讨论，设子弹质量为，木块质量为，穿越阻力为、厚度为.用“约化质量”，并选择子弹为参考系，由新牛顿第二定律得出，则木块做初速为加速度为的匀减速运动，并记子弹穿出时木块速度（相对子弹），则，；再记穿出木块时子弹速度为（对地面），以地面参考系两体遵循动量守恒定律，我们可有：，及；联立两式得.即.该解法与常规解法比虽不显简单，但尝试一种新思路还是不错的.本题正确选项为A、C.【例2】在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物块B，物块与左右两边槽壁的距离如图1所示，L为1.0m，凹槽与物块的质量均为m，两者之间的动摩擦因数μ为0.05，开始时物块静止，凹槽以v0＝5m/s初速度向右运动，设物块与凹槽槽壁碰撞过程中没有能量损失，且碰撞时间不计.g取10m/s2.求：（1）物块与凹槽相对静止时的共同速度；（2）从凹槽开始运动到两者相对静止物块与右侧槽壁碰撞的次数；（3）从凹槽开始运动到两者刚相对静止所经历的时间及该时间内凹槽运动的位移大小.【析与解】（1）略；（2）以凹槽为参考系，物块B的约化质量为，由于内力做功与参考系无关，故根据动能定理：可得，物块在凹槽里相对路径.由此可知，物块可与凹槽右侧壁碰撞6次，并且物块最终停留在凹槽左侧壁处.（3）同上，由于物块与两侧壁碰撞时间不计，且碰撞前后速度大小不变，可将之看成连续做匀减速直线运动.据新牛顿第二定律：，则经历时间为后，两者相对静止.又因为该系统质心C一直是做匀速直线运动，显然，所以在内，质心位移.设物块位移为、凹槽位移为，又∵，∴从可推得.【例3】如图2甲所示，一劲度系数为的轻弹簧，其两端与质量分别为和的两物块A、B相连接，并静止在光滑的水平面上，已知.现给B瞬时获得水平向右的速度，以此刻为计时起点，求两物块以后的运动.解：在的静止系中，做简谐运动，其角频率由和约化质量决定，因而相对的速度与时间关系为；其中；而由动量守恒定律，有；由此解得；于是.即和的图像如图2乙中A、B所示，而且以上两式右边的第一项实际上代表质心的运动.通过上面三个例题的分析可知，对于不受外力作用的所谓孤立两体系统，用约化质量并关注质心做匀速直线运动，我们是有可能把在地面上使人困惑的物理情境置换到一个新的平台.这样一来，不仅大大简化了问题的羁绊，而且更重要是最终问题的解又能够回归到地面上来.克莱因（M.Kline）曾经讲过：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可以改变生活质量，但数学可以给于以上的一切.”4.量纲分析法的应用一旦某一物理学理论的数学描述被找到，就会发现它们通常都非常简单.这并非说物理的数学很容易，其实远非如此.它意味的是物理学的进展并不会带来更复杂的数学.物理学上的突破往往发生在出现一种全新的看待问题的方法时，这种方法需要的是一个从前没被用来思考这一问题的数学框架，又或者是全新的数学框架.在物理学史上，每当这样一个新的框架在物理学上施展时，就会发现最简单的那个方程成了描述宇宙运行规律的方程.量纲分析（Dimensionalanalysis）是20世纪初提出的在物理和工程等建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定物理量之间的关系.量纲分析的应用并不仅限于换算单位、检查公式对错等简单方面.自本世纪初(约在广义相对论发表前后)以来，量纲分析已发展为通过专门研究物理量的量纲关系进而揭示数量关系的半定量方法，从基础物理各分支到应用领域——工程水利、地质、气象均有广泛应用.量纲分析法的理论基础是“ｘ定理”，它是Ｂａｃｋｉｎｇｈａｍ在１９１４年提出的，此后已有很多方面的应用.尤其是量纲齐次原则和.定理是具有普遍义的、很初等的方法，不需要很专门的物理知识和高深的数学方法，就能得到用其他方法难以获得的结果，或用其他复杂方法才能得到的结果.当然，量纲分析结果仍是半定量化的，其中含有一些未定的无量纲函数或常数，这些无量纲常数或函数只能由其他方法进一步确定，从这个意义上讲，量纲分析法是有局限的、不彻底的方法，然而其结果中所含的无量纲量在物理模拟试验中具有重要用途.量纲分析法也是自然科学中一种研究和分析方法，它根据一切量所必须具有的形式来分析判断事物间数量关系所遵循的一般规律.利用量纲可以定性地表示出导出量与基本量之间的关系，有效地进行单位换算.此外，量纲还是检查物理公式、方程推导过程是否准确的判据，虽然不能完全保证公式的正确，但可以发现错误.特别是可以通过量纲分析法来推测某物理规律，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供定性指导.在物理学中，仅仅靠量纲分析，也可得到某些重要结论.物理量的量纲(dimensioofquantity)是用于表示一个物理量怎样由基本量(包括这些量的幂次)组合的式子，是指该物理量单位的性质或种类，而不表示该量的大小，它包括基本量纲和导出量纲两类.基本量纲是代表基本物理概念的量纲，它不涉及其它量就能直接说明某物理量，导出量纲是由基本量纲组成，是由基本量纲通过各种自然规律导出的.物理量Q的量纲记为dimQ，任何一个导出量Q的量纲dimQ均可用基本量纲的幂次积表示:dimQ=Lα1Mα2Tα3Iα4Θα5Nα6Jα7，其中L、M、T、I、Θ、N、J分别为长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度的量纲.量纲分析是研究较为复杂的自然现象中各物理量之间的关系及内在规律性的有效工具，也是相似理论的理论基础.量纲分析的理论基础是齐次定理和定理，应用量纲分析方法往往可以使寻找物理量间关系或规律的过程变得简单、方便，也常常用于单位换算、方程或等式检查等，因此在物理理论分析和实验中应着力推广.“量纲”或“因次”，是用以度量物理量单位种类的.在国际单位制（即SI单位制）中，规定有7个基本单位（或量纲），对于中学力学、热学问题一般涉及其中的4个，即长度单位为米（m），质量单位为公斤（kg），时间单位为秒（s），温度单位为开尔文（K），对应的量纲即基本量纲，依次是、、和.任何一个物理量都可以用上述基本量纲的某种组合，即导出量纲来表示；它们都可写作基本量纲指数幂乘积的形式，主要的有：速度：；加速度：；力：；角度：；压强：；密度：；功、能量、热量：；功率：.物理量的量纲可以是正数、负数或零，当导出量的量纲积中所有量纲指数均为零时，称为无量纲量.无量纲量的量纲为1，所以它的数值与所选用的单位制无关，用纯数表示.这和国际标准化组织的规定是一致的.在力学中，某个物理量U，它的量纲可以用、、这一组基本量纲的组合来表示，即：(1)式中，基本量纲的指数、、的数值由该物理量的性质来决定.式（1）成为量纲表达式，只要指数、、中至少一个不为零，则表明该物理量U是有量纲的量.当≠0，=0，=0时，称为几何量；当，时，称为运动学的量；当时，称为动力学量；当时，则物理量U为无量纲量，记为：此时物理量U的数值与基本单位（L，M，T）的选择无关，而为一个纯粹的数，它在所有单位制中保持同样的数值.例如底坡i是落差对流程长度的比值，其量纲为，即为无量纲数；圆周率为圆的周长与直径之比，在任何单位制中其数值都不变化.此外，无量纲数还可以是几个物理量综合比较后的结果.例如雷诺数弗劳德数等都是无量纲量.无量纲量的值与单位的选择无关（组合成无量纲量的各物理量所选的单位必须一致），这是无量纲量的重要特点之一.为用数量表示物理量的大小，必须先规定一个计量标准，用此标准与被测物理量进行比较，所得倍数就是被测物理量的数值，这个计量标准叫作单位.只要规定了几个基本量的单位后，就可根据物理公式得到其他物理量的单位，这几个基本量的单位称作基本单位.由基本单位通过数值系数为1的只包含乘、除运算的代数式导出的其他物理量的单位叫导出单位.选择不同的基本单位，可得不同的导出单位，从而形成不同的单位制.如在力学中，以厘米、克、秒作为基本单位时，称厘米-克-秒制；以米、千克、秒作为基本单位时，称米-千克-秒制.每个量纲都可以有几种不同的单位，如长度量纲有米、厘米等，质量量纲有千克、克等，速度量纲可以有每米秒或每小时公里等.用量纲可以定出同一物理量不同单位制之间的换算因素.例如力的量纲为，力的单位从米-千克-秒制换算为厘米-克-秒制时，可以写成：1牛顿=1千克米/秒=1000克100厘米/秒=10克厘米/秒=10达因在量制中，基本量彼此是无条件相互独立的，而在单位制中的基本单位并不一定是无条件彼此充分独立的.也就是说，在单位制中如果改变某个单位的大小，另一个单位的大小也将随之而改变，但它们之间彼此不能导出.在不同的单位制中，不仅基本量的选取可以不同，基本量的数目也可以不同.量纲指物理量的属性，独立于单位，无量纲量可以有单位，部分物理常量也有量纲.值得注意的是，虽然物理量的量纲与取什么单位无关，但量纲却只有在一定的单位制下才有意义.量纲分析（DimensionalAnalysis）是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法.量纲分析就是在量纲法则的原则下，分析和探求物理量之间关系.在物理学中它不但可以用来检验物理关系的正确性，而且还能进行单位换算，推导一些公式及设计实验时做相似模拟的基础.量纲分析首先要对原型中的有关变量和常数进行识别，选择系统的主定变量及其量纲，其次是运用某些方法，如π定理等解出量纲为1的量群，再次是对量纲为1的量群及其乘积和比率进行原型背景的识别与推断.量纲分析的基础是量纲法则.而在深层次运用中，几乎都还会运用到π定理，以至于有时候把量纲分析直接看作了“运用π定理进行无量纲化的过程”.量纲分析的基础是量纲齐次定理和Π定理，凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立.量纲齐次定理指出：物理关系式中其和的各项必具有相同的量纲.量纲和谐原理最重要的用途在于能确定方程式中物理量的指数，从而找到物理量间的函数关系，以建立结构的物理方程式，由于量纲齐次条件对物理量之间函数关系的可能形式提供了某些限制，使得我们可以在一定程度上由这些物理量的量纲关联中得到这种函数关系式，并能够精确到只差一个无量纲因子.量纲分析法的价值在于它抓住了物理问题的本质——问题中所包含的物理量的量纲，并且使用非常简便，不涉及复杂的数学运算.运用量纲齐次定理的一般步骤如下：（1）确定研究对象中所包含的、可能相互关联的物理量（包括物理常数）.（2）列出所有物理量的量纲.例如：设所要研究的物理量为P，与之可能有关的物理量为P1、P2、……Pn，量纲分别为……其中，A1、A2、A3、……Am为国际单位制中的基本量纲符号.（3）假定这些物理量之间的函数关系为其中，C为无量纲因子.（4）代入各物理量的量纲，得量纲方程（5）列出关于量纲指数的线性方程组方程a11x1+a12x2+……+a1nxn=a1a21x1+a22x2+……+a2nxn=a2……am1x1+am2x2+……+anmxn=am（6）解出未知指数：x1、x2、……xn，求得物理量之间的关系式.如果方程组没有解，则说明所假定的这些物理量之间的关系式不存在（但去掉某个物理量后有可能是有解的）；如果方程组有唯一的解，则说明物理量之间的关系可能是存在的；如果方程组有解但不确定（或者说有无穷解），则说明物理量，P1、P2、……Pn并非量纲独立，可以构成若干无量纲量.这时，物理量之间的关系式一般地可写成其中，P1、P2、……Pr为量纲独立量，为由P1、P2、……Pn组成的无量纲量.如果令，则物理量之间的关系又可以写成无量纲形式，，这就是量纲理论中著名的Π定理.Π定理：设某物理问题内涉及n个物理量（包括物理常量）Q1、Q2、……Qn，而所选取的单位制有m个基本量（n>m），则由此可组成n-m个无量纲的量Π1、Π2、……Πn-m，在物理量之间存在的函数关系式：f(Q1、Q2，……Qn-m)=0应用Π定理进行理纲分析，其分析的步骤：（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式.（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基本量纲的代表.一般取m=3.（3）确定无量纲数的个数n-m，并写出用其余物理量与基本物理量组成的各个无量纲量的表达式.（4）确定无量纲量的π参数：由量纲和谐原理联立方程，求出各Π项的指数，从而定出各无量纲Π的参数.Π参数的分子、分母可以相互交换，也可以开方或乘方，而不改变其无因次的性质.（5）写出描述现象的关系式f(Π1、Π2、……Πn-m)=0，或显解某一个Π参数.如：Π1=f(Π2、Π3……Πn-m)或求得一个因变量的表达式.不难看出，任何有量纲物理量之间的关系式都可以表述为无量纲量之间的关系.量纲齐次定理可看作Π定理的一个推论，运用Π定理进行量分析的主要工作就是以相互关联的几个物理量来构建无量纲量，由于无纲量的个数总是少于物理的个数，因而使得问题的复杂性得到了很大简化.众所周知，在算术中，是千真万确的.但是，在物理学中量纲不同的两个量是不能相加减或相等的.例如，1千克与1米这两个量是不能相加减或相等的.因为其中一个是质量，具有质量的量纲；另一个是长度，具有长度的量纲[9].由此可见，量纲的分析应服从一定的规律，即量纲法则.量纲法则有广泛的应用，一般只指出常用的三条：①只有量纲相同的物理量，才能彼此相加、相减和相等；②指数函数、对数函数和三角函数的宗量应当是量纲1.③对于不同物理量之间乘、除法导出新的物理量，量纲的计算满足数学上的指数计算法则，即：相乘则对应指数相加，相除则对应指数相减.量纲法则是量纲分析的基础.若推出的公式不符合量纲法则，那么该式必然是错误的.π定理是由白金汉（E.Buckingham）于1914年提出的一个定理，故又叫作白金汉定理.其内容包括两个基本点：设影响某现象的n个物理量x1，x2，…，xn的函数关系为Φ(x1，x2，…，xn)=0(1)其中x1，x2，…，xm(m<n)有基本量纲，而xm+1，xm+2，…，xn的量纲可由这些基本量纲表示.则（1）式可以表示为（n-m）个无量纲量π1，π2，…，πn-m的关系：设有Φ（x1，x2，…，xn）=0(2)及m个基本量纲[x1]，[x2]，…，[xm]．xi的量纲可表示为(i=1，2，…，n)若矩阵的秩为r，则（2）式可表示为Φ（π1，π2，…，πn-r）=0其中πs为无量纲量，可表示为（s=1，2，…，n-r）而是方程组(α=(α1，α2，…，αn)T)的基本解.π定理是量纲分析中一个非常重要的定理，它与量纲法则是量纲分析的两大方法，在建立模型和简化物理过程方面有着巨大的用途.量纲分析法是研究自然现象中各物理量的性质和内在规律的有力工具，能较直观地接受物理过程的实质，因而用量纲分析法寻找物理量之间的联系，是建立物理关系的常用方法之一.例对于单摆的周期，可能与它相关的条件有单摆的质量m、摆长l和重力加速度g，于是假设，其中λ为常数.两边取量纲，得根据量纲的一致性原则，解得x=0，y=0.5，z=-0.5，故只需用实验测出λ的值就可以求得单摆周期.事实上，物理学激发数学的进程与科学本身一样古老.古希腊数学家和发明家阿基米德描述了力学定律如何激发了他的一些最重要的数学发现.还有牛顿，他与他同时代的德国博学家莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz）在试图理解下落物体的运动时，发展了一种全新的数学——微积分.但在20世纪中叶，从物理学流淌来的新数学几乎枯竭了.物理学家和数学家都对对方那边发生的事情不太感兴趣.在数学界，一群有影响力的年轻法国数学家，称为布尔巴基（Bourbaki）学派，试图使数学尽可能精确.他们努力从头开始重建整个领域，并将合作成果发表出来，以期促进未来的数学发现.与此同时，物理学家们兴奋地发展着开创性的想法，例如标准模型（StandardModel）——时至今日仍然是物理学家关于原子和亚原子世界的最佳理论.对他们中的许多人来说，数学只是一个方便的工具，他们对布尔巴基学派所倡导的严肃的数学愿景不感兴趣.然而，在已故的黎巴嫩裔英国几何学家迈克尔·阿蒂亚（MichaelAtiyah）的带领下，双方正在进行一场和解.凭借罕见的直觉，再加上一点运气，同样是菲尔兹奖得主的阿蒂亚，经常能注意到后来理论物理学家感兴趣的领域.“在1970年代中期，他开始相信理论物理学是迄今为止最有希望的新思想来源，”与阿蒂亚合作的牛津大学荣休教授、数学家尼格尔·希钦（NigelHitchin）在2020年写道.“从那时起，他就成为数学家和物理学家之间互动的促进者，应对物理学家提出的数学挑战，利用物理学思想证明纯粹数学结果，并为物理学家提供他认为重要但对他们来说不熟悉的现代数学内容.”数学物理学家爱德华·威滕（EdwardWitten）是阿蒂亚的长期合作者之一，他们于1977年首次见面.比阿蒂亚小20多岁的威滕后来成为弦论的先驱，弦论认为微小的一维振动的弦是宇宙的基本组成部分，而不是标准模型中的那些粒子.弦论最初被誉为一种可能的“万物理论”，将会统一量子理论与爱因斯坦的引力理论，但迄今为止，可以说，弦论对数学中一些最抽象的领域——诸如代数几何和微分拓扑——的影响比在物理学中的更大.在这些领域，威滕和其他弦论家已经能够提出数学家后来才证明的精确猜想.例如在1991年，物理学家坎德拉斯（PhilipCandelas）、奥萨（XeniadelaOssa）和他们的同事将弦论应用于枚举几何（Enumerativegeometry）中一个已有数十年历史的难题.枚举几何是一个古老的数学分支，致力于计算几何问题的解的数量.最简单的问题比如，“有多少条线可以穿过一个平面上的两点？”（1条）；或者阿波罗尼乌斯（Apollonius）的著名问题，“可以画出多少个与三个给定的圆相切的圆？”（8个）坎德拉斯与合作者能够使用弦理论中的工具来解决枚举几何中一个特别棘手的问题：计算卡拉比—丘（Calabi-Yau）流形中特定类型曲线的数目，这些奇怪的六维形状是弦论的核心.他们的结果将两种几何学联系起来，即“辛几何”和“复几何”，数学家们几十年来一直孤立地研究这两种几何，认为它们无关.这种进步——将两个被认为无关的领域联系起来——在数学中被认为是一个“深刻”结果：你突然可以使用一个领域的工具来解决另一个领域的问题，从而推动并加速了数学的进步.棘手问题：物理学家菲利普·坎德拉斯与合作者使用弦论的工具解决了枚举几何中的一个棘手问题：计算卡拉比—丘流形（如图所示）中特定种类的曲线的数量.这些奇怪的六维形状是弦论的核心.丨图源：WikimediaCommons仅几年后，即1995年，威滕提出了五个不同版本的弦论，每个版本都需要10维，都是他称之为“M理论”的单个11维概念化的不同方面.尽管M理论仍未得到证实，但绘制不同理论之间的对应关系已经导致了惊人的数学发现.“感觉就像每个月弦论都在以前所未有的方式为数学家提供新的结构，”伦敦数学科学研究所的数学物理学家何杨辉（Yang-HuiHe）说.弦论是两个数学世界之间那种意想不到的关系或“对偶性”（duality）的丰富来源，至今仍让数学家兴奋不已.何杨辉和他的合作者、同样来自伦敦研究所的弦论家弗里德里克·卡塔（FedericoCarta）在研究最简单的卡拉比—丘流形类型（K3曲面）时，偶然发现了表面的“同伦群”（homotopygroup，在拓扑学中用于对形状进行分类），与一种称为“Mathieu

24”的对称群之间的关系.两人的发现揭示了纯数学中两个不同领域之间意想不到的联系——拓扑学、形状研究以及现代代数中一个称为群论的领域，该领域涉及物体所具有的对称类型.何杨辉谈到，为什么物理学会产生如此有趣的数学，这是一个“深奥的问题”.存在无数种模式和结构可供数学家加以研究，“但那些来自现实的（模式和结构）是我们在某种程度上有直觉的.”希钦表示同意.“数学研究不是凭空产生的，”他说.“你不能为发明一个新理论而发明.你需要相信那里有一些东西需要调查.新的想法必须围绕着一些现实的观念，或者也许是某人的观念.”这就带来一个问题，即物理学是否仅仅通过提供更强烈的探索动机和数学家精力的焦点来滋养数学.在关于世界应该如何运作的直觉和看似合理的终点的指引下，数学家有时可以在某个问题上取得比其他情况更快的进展.它还可以解释一个奇怪的事实：“糟糕的”物理学有时可以带来好的数学.例如，涡旋（vortex）理论是英国数学物理学家威廉·汤姆森（WilliamThomson），即开尔文勋爵的早期尝试，旨在解释为什么原子的种类相对较少.他将原子想象成旋转的环，可以打成错综复杂的结，每个结对应不同的化学元素.在发现电子后，该理论被抛弃了——但其数学导致了纽结（knot）理论的发展.此后，纽结理论成为纯数学家探索的沃土，并在流体动力学和理解像DNA这种缠结分子方面发现了令人惊讶的应用.第十四章利用中学物理知识验证数学结论物理学能回馈数学什么吗？能！近几十年来，我们观察到了一个有趣的新动态：物理学的观点已经渗透到数学中，解决了原本似乎完全无法企及的数学问题.一个漂亮的例子来自于物理学家在理解未知物体时最喜欢用的方法.他们会用一大堆他们理解的相当好的粒子，轰击那些未知的物体，再从这些粒子散射的方式推断出物体的属性.这也正是在大型强子对撞机（LHC）等实验中所发生的粒子碰撞的情况.自黎曼以来，数学家开始对流形（manifold）产生极大的兴趣.如果你没听过流形这一概念，那么可以想象一个弯曲且闭合的表面，比如一个球或甜甜圈的表面，而流形就是这种形状在多维空间的推广.从近处看，这些都是几何物体，看起来与我们熟悉的普通欧几里德空间完全相似.但是，它们的整体结构可以比平面或三维空间要复杂得多.它们甚至可以拥有三个以上的维度.但由于我们无法勾勒出这样的流形，所以数学家们对此仍有许多困惑.这时便可以借鉴物理学中的散射思维了.物理学家允许那些用数学方程描述的假想粒子在这些抽象流形上来回移动，使它们“感受”到它们移动时所处的空间.当所使用的假想粒子是那些可以同时出现在很多地方的量子粒子时，这种方法被证明尤其有效，而且在弦理论中粒子的概念会被弦所取代.例如，这种弦使物理学家发现某些流形是成对的，这是数学家完全没有想到的一个事实.这种方法彻底改变了几何学，并解答了一百年来都无法解决的几何问题.那么数学和物理学真的享有某种特殊的关系吗？自然的内秉是数学吗？或者这些例子只是我们选择的、或演化出的看待周围世界的方式？这是留给哲学家的问题了，或许未来我们也会找到其中的答案.最后，引用维格纳曾说过的一句话来结尾：“数学语言在表述物理定律时的适当性是一个奇迹，一个我们既不理解也不应得的奇妙天赐.”狄拉克于1937年提出了著名的大数假说，其内容是：“自然界出现的任何两个很大的无量纲数是彼此相关的，他们都由一个简单的数学关系相联系”.用量纲分析法证明勾股定理.解：一个直角三角形的面积A可由它的一边（譬如斜边c）和一个锐角（譬如α）所决定，α是无量纲的，我们有A=c2Φ（α）.作c边的垂线将三角形分成两个与原来相似的小直角三角形，它们各有一个同样的锐角α，故它们的面积应分别为A1=a2Φ（α），A2=b2Φ（α）.由A=A1+A2得c2Φ（α）=a2Φ（α）+b2Φ（α），消去Φ（α），即得c2=a2+b2.注：可以证明——Φ（α）=1/4sin2α，利用A=1/4sin2αc2证明勾股定理犯循环论证，因为该公式的证明间接利用两点间距离公式，而两点间距离公式需要利用勾股定理，只能验证不能用来证明.爱因斯坦讲：“牛顿第一次成功地找到了一个用公式清楚表达的基础.从这个基础出发，采用数学思维，逻辑地定量的演绎出范围很广的现象，并且与实验相符合.第十五章形式逻辑在中学物理学中的应用尼古拉斯·布尔巴基在1950年出版的《数学的体系结构》一书中，从数学作为一个学科的整体出发，思考数学中那些出现并发展的独立理论（因目标、方法甚至语言而各自分离）是否影响了数学的统一性.布尔巴基对这一问题的回答是否定的，他们的论点围绕数学结构的概念展开.布尔巴基认为，数学和其他非数学学科共有的演绎推理仅仅是一种应用于前提集合的转换机制，因此它无法用来表征这些前提或不同数学理论的复杂性.尽管逻辑形式主义和公理化方法似乎是统一数学的工具，但布尔巴基认为，它们无法确保数学作为一个整体的统一性，正如物理学和生物学不能仅仅依靠它们共同的实验或假说演绎方法来统一一样.无法提供这一“统一intelligibility”的正是这些方法，而数学结构的概念能够在布尔巴基看来提供这种统一的可理解性.布尔巴基结构概念产生于对数学内容的全面观察，其基本思想是从理论或数学领域集合元素之间建立的关系中提取出尽可能少的独立属性集；这个提取出的独立属性集是可以从中导出任何其他属性的集合，并将确定这些属性是否适用于其他集合（可能属于其他理论）元素之间定义的关系，这些元素的性质不会以任何方式影响这些属性的导出.在数学理论所表现的关系层面上，独立于这些理论的语言和方法论，对几种数学理论所共有的概念的认识，确保了公理方法和必要真理本身无法提供的“可理解性”.当结构的公理被归因于经验影响或解释时，结构数学的这种“可理解性”就会增强.当然，也有一些数学结构是在没有任何经验影响的情况下发展起来的，有些甚至是公理化的智力游戏的结果，尽管它们没有经验的起源，但这些结构后来可以应用到另一个以原本经验结构为基础的数学理论或经验科学中，从而间接地获得了经验的成分.布尔巴基的典型类型学确保了数学结构的经验成分，因为它存在于复杂结构中，并且三类母结构中的每一种都在表征、动作、现象或对象层面反映了明显的经验影响，具体如下：组合定律反映计数、收集、加法、乘法、组合等；序公理反映量序、比较、层次等；拓扑公理反映空间的邻域、隔离、接近、形状、极限和连续性.总体而言，初等数学的结构反映了人类的经验.数学始于人类活动的经验，通过抽象这些经验并通过逻辑形式主义和公理方法扩展这些结构来形成其基本结构.1.基本概念假言命题是反映某一事物情况是另一事物情况存在条件的命题.假言命题按照其所表达的条件性质的不同，相应地区分为三种，即：充分条件假言命题、必要条件假言命题和充分必要条件假言命题.1.1充分条件假言命题充分条件假言命题反映某事物情况是另一事物情况充分条件的假言命题.什么是充分条件呢？就是说，如果有p，就必然有q；而没有p是否有q不能确定（即可能有q，也可能没有q）.这样，p就是q的充分条件.例如，“摩擦”对于“生热”来说，就是一个充分条件，因为只要“摩擦”就必然生热，而不“摩擦”，未必不“生热”.充分条件假言命题所反映的就是事物情况之间的这种充分条件的联系.如：如果物体摩擦，则物体就会生热.1.2必要条件假言命题必要条件假言命题是反映某事物情况是另一事物情况必要条件的假言命题.什么是必要条件呢？就是说，如果没有p，就必然没有q；而有了p，却未必有q（即可能有q，也可能没有q）.这样，p就是q的必要条件.换句话说，对于q的存在而言，p的存在是必不可少的.例如，“两个力大小相等”对于“二力平衡”来说，就是一个必要条件，因为没有“两个力大小相等”，就不可能有“二力平衡”，但是有了“两个力大小相等”，未必就有“二力平衡”.1.3充分必要条件假言命题充分必要条件假言命题是反映某事物情况是另一事物情况的充分而又必要条件的假言命题.什么是充分必要条件呢？就是说，如果有p，必然有q；如果没有p，必然没有q.这样，p就是q的充分必要条件.即p这一事物情况的存在，对于q这一事物情况的存在来说，不仅是足够的，而且也是必不可少的.2.物理中的案例2.1物理中的充分条件假言推理在热学中，关于吸收热量和内能增加之间的关系，我们可以表达成，只要物体吸收热量，物体的内能就会增加.也就是说，“吸收热量”对于“内能增加”来说就是一个充分条件.上述推理就是一个充分条件假言推理.又如，在研究凸透镜成像时，我们可以表达成，只要物体在两倍焦距以外，物体通过凸透镜就可以成一个实像.也就是说，“物体在两倍焦距以外”对于“凸透镜成实像”来说，就是一个充分条件，但不是必须的（物体也可以在两倍焦距处或者在一倍焦距和二倍焦距之间）.再如，在热学中，我们可以说，做功可以改变物体的内能.也就是说“做功”相对于“物体内能的改变”来说是一个充分条件，但不是必要的条件（热传递也可以改变物体的内能）.2.2物理中的必要条件假言推理在《声现象》一章中，研究了声音的产生、传播和声音的三要素等知识，经常出现这样的问题，人耳能听到声音必须要满足哪些条件？综合起来可以知道，需要声音在人耳听觉频率范围内，有介质，响度足够大，人耳听觉正常等.那么我们就可以说“声音在人耳听觉频率范围内”对于“能听见声音”来说就是必要条件了，但不是充分条件.又如，在《物态变化》这一章，晶体的熔化需要两个条件，要达到熔点并继续吸热.我们可以说晶体如果要能熔化，必须要达到熔点.也就是说，“达到熔点”对于“晶体熔化”来说是必要条件，但不是充分条件.同理，“达到沸点”对于“液体沸腾”来说也是必要条件.再如，在研究二力平衡条件时，学生在观察的基础上提出三个猜想：猜想一，两个力大小相等；猜想二，两个力方向相反；猜想三，两个力作用在同一直线上.针对这三个猜想是不是都是必要的条件，我们可以采用“单个破坏”的方法，即每次“破坏”一个条件.比如，首先来验证一下猜想一是不是必须的，可以使这两个力的大小不相等，而方向相反且作用在同一直线上，观察物体是否能平衡，如果能平衡说明这个猜想就是错误的，即两个力大小相等就不是必要条件.依此类推.最后我们发现这三个猜想都成立，于是我们可以说“两个力大小相等”对于“一个物体处于平衡状态”来说是必要条件.△s=const是质点做云变速运动的必要条件.2.3物理中的充分必要条件假言推理在物理中多次出现两个事物之间的关系是充分必要条件，涉及到充分必要条件假言推理.比如，在《声现象》这一章，“振动”就是“发声”的充分必要条件.物体要想发声必须要振动，只要物体振动就会发声，发出来的声音你是否能听见那是主观判断的问题，客观上是产生了声音的.在《物态变化》这一章，“晶体达到熔点和继续吸热”就是“晶体熔化”的充分必要条件.我们可以说，只要而且必须晶体达到熔点和继续吸热，晶体就能熔化.“液体达到沸点和继续吸热”就是“液体沸腾”的充分必要条件.在运动和力的关系中，“物体受到非平衡力的作用”就是“物体运动状态发生改变”的充分必要条件.其推理内容是，只有并且只要物体受到非平衡力的作用，物体的运动状态就会发生改变.机械能守恒的充要条件是系统只有稳定场（保守力）.在每个宇宙中，这些领域的相互作用和互联性也存在着相似性：正如所列出的人类活动并非独立和分离的一样，数学领域也相互交流，彼此分享思想、概念和属性,例如群的概念揭示了运动(旋转和平移群)、对称性(晶体群)和代数运算(伽罗瓦群、微分方程的李群)等数学概念所共有的属性.这种基本概念和属性层面的互联互通，完成了布尔巴基结构层面的数学统一，促进了经验成分向复杂结构的传递，远远领先于经验经验.一些不同性质的数学概念在不同理论和领域中表现出意想不到的联系，这是数学之美和神秘的一部分,例如欧拉的著名公式eiπ+1=0,这个关系将虚数（复数）、超越数（不能是具有有理系数的代数方程的解）和实数联系起来！它甚至被称为“上帝方程”.数学结构概念的普遍性来自两个方面：第一是形式化的条件，即基于结构公理推导出的性质是普遍的，即不需要解释相关元素或它们之间的关系就可以推导出来；第二是普遍性甚至建立在集合论的基础上，允许在数学内部或外部进行外部引用、实例化或解释，以及通过集合论进行无限延伸.数学结构的普遍性通过其在自然科学中的应用得以保持，并传递到对应用结果的解释中.通过数学建模研究经验现象假设获得普遍的结果，这些结果适用于可以使用相同数学结构建模的一类现象，而不是孤立的特定现象，即使这种现象是研究问题的对象.显然，我们可以将数学结构说成是一类（等价的）公理描述的数学实体，其中的类代表实际上是附加在公理集和演绎过程上的逻辑形式，特定于结构的属性，并可通过特定类型的结构来识别.所有这些对数学结构的刻画都与数学的应用过程、动机和机制有关，也与数学作为纯数学的内在特征的适用性有关.我们都知道，科学的发展是以两个重要的方法为基础的，一个是实验研究，一个是逻辑演绎.这两者是相辅相成的.通过实验可以发现某些重要的规律，排除一些次要的原因，剥茧抽丝一样逐渐找到现象背后的本质.通过逻辑演绎，可以将实验结果抽象为可以用数学描述的理论模型和符号语言，并在此基础上做逻辑推理和数学运算.一个典型的例子是开普勒的实验和牛顿的万有引力理论.开普勒利用实验观察发现了太阳系行星的三大定律，而牛顿发现了隐藏在这些现象背后的根本原因，即天体之间满足的万有引力定律.反过来，牛顿的力学为研究天体的运动提供了可靠的数学模型，并可以指导天体实验.一般来讲，当一些科学实验所观察的现象可以用数学公式描述的时候，我们就可以在此基础上做演绎和推理，给出更多预言，最终反过来指导实验研究.二者互相促进，就像一个人的两条腿一样，互相合作，一步一步将科学推向前进.那么，这里有一个问题值得进一步分析和讨论，即什么样的实验结果可以用于搭建理论模型？选择合适的实验结果搭建理论模型，是非常关键的.就像盖高楼一样，在松软的沙滩上，是无论如何也搭建不了坚固的高楼大厦的.即便是搭建起来了，最终也会被一阵风吹跨.我们可以想象一下，如果在错误的结果上搭建理论模型，随着实验结果被推翻，这个理论是不是也就倒塌了呢？类似的例子很多，最著名的例子是以太说、地心说、热质说以及燃素说等，它们都被实验推翻了.所以，我们可以肯定，绝大部分实验结果是不适合建立理论模型的.这是因为这些实验，尽管得到了一些结果，它们都是不干净的，指向性是不明确的，结果也不是百分之百可靠的.比如在化学、材料和生物中的很多实验，其结果受到了很多因素的影响，即便是同一个物质或者材料的实验，由不同的实验组完成，其结果在定量上甚至定性上都是不同的.这个时候，我们无法完全确定到底哪些因素是主要的，哪些因素是次要的.换句话说，在这些过程中，温度、浓度、非均匀性、杂质、压强、以及非平衡性等，都可能影响最终的结果.从微观层次来看，就更加复杂了，原子之间的复杂的相互作用等，使得我们完全无法确定具体是什么相互作用导致了这些结果的出现.在建模过程中，如果影响因素太多，一般情况下我们很难建立直观的物理模型，除非我们像第一性原理计算一样，把所有可能的相互作用考虑进去.这也是为什么这些领域无法建立在公理体系上的根本原因.所以，让我们回答上面的问题.如果要建立可以用于逻辑演绎的科学模型，一个最合适的做法是以那些可以反复被精确测量的实验为基础.物理学之所以可以发展起来，并建立它的公理体系，其根本原因也是在这里.天体的运动、抛物运动、电磁感应、库伦相互作用、黑体辐射、光的干涉、光的速度、电子和原子的质量等，都属于这样的例子.不同地方的人，利用不同的实验仪器和方法，都可能反复地、精确地测量这些过程.但是化学、生物、医学等，就没有那么幸运了.在这些领域，经验可能是更加重要的，所以在这些领域要通过实验检验理论的正确性，以及通过理论的预言指导实验，二者互相促进，同步发展，还是非常困难的.但是，这并不是说在这些领域，就完全没有科学模型.恰恰相反，在这些领域和物理中一样，存在着各种各样的模型以及各种推导.它们都是在一定的假设下实现的.科学家在现有实验基础上评估各种因素的影响，忽略一些更复杂的东西，仅仅保留一些必不可少的最接近本质的要素，从而建立一些高度简化的科学模型.从DNA的复制，到化学反应过程、到材料的制备、到地球的演化和大气的运动等，都可以看到类似的简化的理想模型.在这些简化的模型中，我们可能可以看到出现某个现象的最本质的原因.比如在化学反应中，科学家将这个复杂的过程简化为从一个位势到另外一个位势的转变过程.在这个过程中，原子的种类，相互作用等细节，以及可能的量子效应，都是被忽略掉的，从而仅仅保留一个最简单的势垒，以及几个必不可少的参数，攀爬这个势垒，则可以用随机过程实现.这就是所谓的Kramers化学反应理论，它将两个看起来毫无关联的问题联系在一起.后续的理论模型，自然需要想方设法把这些细节考虑进去，从而更加精确地理解一些实验结果.接下来，我们可以在这些模型的基础上做逻辑演绎和推理，但是不能保证它们是正确的.很有可能这个理论可以解释某些现象，但是在另外一些现象中是完全失效的，这是在化学、生物、地球、大气等领域广泛存在的问题.我们不得不像打补丁一样，提出各种可能的替代模型.因此，初学者在看到这些各种各样的模型的时候，往往有眼花缭乱的感觉；而在一些科学研究中，也是比较混乱的，哪个理论可以和实验问题，就用哪个理论.我们很难判断到底哪个理论是真正正确的，因为它们都是在高度简化中得到的结果，它们的“基础”都是不牢固的.换句话说，即便某个理论和实验一致，也不能证明其正确性.因此，让我们回到本文的主题.我们可以看到，如果要建立可靠的理论，必须将它建立在可靠的实验基础之上.这是对实验的苛刻要求，绝大部分实验是无法满足这样的要求的.这是因为它要求这些实验可以重复，而且可以精确测量.直到今天，只有在物理中，才可能建立公理体系，在生物、化学、地球、大气等领域，还无法做到这一点.因此，当我们在实验上或者某个领域见到一些严格的结果时，一定要抓住这个千载难逢的机会，它可能蕴含更深层次的东西.这是来自科学史的重要启示.对阿蒂亚来说，物理学和数学之间的神秘关系都归结为人脑.“人类是长期进化的产物，其中强大的大脑是一个优势.这样的大脑是在物理世界中进化而来的，因此进化的成功是通过生理的成功来衡量的，”他在2018年的一次采访中解释说.“因此，人类大脑进化来解决物理问题，这需要大脑发展正确的数学.”要做到这一点，大脑还必须适应识别和欣赏自然界中的数学模式.阿蒂亚甚至在2014年进行了一项大脑成像的合作研究，该研究得出结论，对于数学之美的体验与优美的音乐、艺术或诗歌一样，它们激发大脑的相同部分.这也许可以解释为什么物理学可以成为数学家的指路明灯：从研究现实中产生的那种数学往往是我们的大脑喜欢的那种.2010年在与希钦和当时在普林斯顿大学工作的荷兰理论物理学家罗伯特·迪格拉夫（RobbertDijkgraaf）合著的一篇论文中，阿蒂亚进一步强调了物理学在数学中的成功应用.然而，从那时起，试图理解这种现象的工作就很少了.最近重新审视这个问题是一位哲学家，博洛尼亚大学的丹尼尔·莫利尼尼（DanieleMolinini）.2023年他发表在《英国科学哲学杂志》（TheBritishJournalforthePhilosophyofScience）上的论文，回应了诺贝尔物理学奖得主尤金·维格纳（EugeneWigner）于1960年撰写的一篇经常被引用的文章，即《数学在自然科学中不合理的有效性》（TheUnreasonableEffectivenessofMathematicsintheNaturalSciences）.然而莫利尼尼出言无忌地回应则是探讨“物理学在数学中的不合理的有效性”（TheUnreasonableEffectivenessofPhysicsinMathematics）.他给出一个令人惊讶的回答，一些物理定律可能像数学定理一样无可争议.他说：“我们必须将关于现实世界的一些原则视为基本原理.”哲学家们普遍同意数学真理成为一种“必然”，因为它们必须在所有可能的世界中都是正确的.而对于自然的真理，经验事实，则是不同的——它们依情况而定.光以恒定的速度传播，但可以说在一个不同的宇宙中，它可能并非如此.也就是说，无论如何，数学真理在过去和将来都是正确的.是否存在某些物理定律也以同样的方式成为“必然”？在他的论文中，莫利尼尼认为守恒定律可能就是这样的一条定律.在物理学中，系统的某些属性，例如能量不发生改变，一个骑自行车的人从山上自由滑行而下，将她的重力势能转化为动能，但她和她的自行车所拥有的总能量保持不变.莫利尼尼认为，如果这种守恒是“必然产物”，那也许可以解释阿基米德为何能通过力学的思考成功推断出几何证明的真理性，否则难以解释这一壮举.在这种情况下，物理学和数学是同一枚硬币的两面：两者都是正确的，因为它们都遵循相同的基本原理.另一种著名的观点则是伽利略在17世纪初表述的，并经常受到数学家的拥护，即宇宙是用数学语言写成的.这个想法有着古老的起源，至少可以追溯到毕达哥拉斯和他的追随者，但一个更晚近和极端的版本是马克斯·泰格马克（MaxTegmark）的数学宇宙假说（mathematicaluniversehypothesis）——宇宙本身不仅由数学描述，而且是由数学构成的.在泰格马克的论述中，我们的宇宙只是无数个平行宇宙中的一个，数学的所有无限可能性——每一个定理、每一个证明——都在这个多重宇宙的某个地方实现了.这也难怪物理学激发了数学的新发现——物理学所描述的现实，无论如何，归根结底都是数学的.“实证科学和数学之间存在着密切的联系，”悉尼大学研究数学和物理学之间关系的哲学家马克·科利文（MarkColyvan）说.“我们可以得出的一个结论是，不知何故，世界本身即数学.”然而，在这两种表述中，从物理学产生的数学应该非比寻常的丰富.可是已知物理学产生的数学只是所有数学的一小部分（几乎所有数学可能都没那么有趣）.宇宙完全由数学构成并不能解释这个问题.莫利尼尼正在对一种流行的数学适用性的哲学阐释发起挑战，即“映射”（mapping），他认为这种阐释无法解释为什么好的数学可以从物理学中产生.映射理论认为，通过将物理概念[如质量或间隔（separation）]转化为数学对象，例如牛顿万有引力定律的方程，可以使用它来计算某些东西，然后将其映射回物理属性——两个物体间的吸引力.但莫利尼尼质疑说，当人们试图颠倒它来解释数学是如何从物理学中出现的时，映射过程就失效了.他说，哲学家们对这个问题的兴趣越来越大，他们一直关注为什么数学可以应用于实证科学的反问题，即为什么实证科学可以得到数学.“现代物理学为数学家提供了一大堆新工具和意想不到的线索，”何杨辉说.“未来，物理学和数学将需要更紧密地合作，以解决纯数学中的一些最大问题.”他表示，罗伯特·朗兰兹（RobertLanglands）在1960年代构思的朗兰兹纲领（Langlandsprogram）就是这样一个领域，它通常被称为“数学的大统一理论”.据称，该纲领的一个分支，即几何朗兰兹纲领（geometricLanglands），最近由一支数学家团队解决，他们提出的证明横跨五篇论文，长达800页（编者注：可参阅《在监狱中萌生的数学大一统之愿景，离实现又近了一大步》）.该证明的核心基于最初从共形场论（conformalfieldtheory）中得出的洞见，共形场论是物理学的一个分支，是弦论及其他领域的基石.何杨辉认为，数学家需要借鉴更多的物理学来探索该证明的含义，并在朗兰兹纲领的其他方面取得进展.同样，数学家们已经利用物理学来尝试在黎曼假设（Riemannhypothesis）和BSD猜想（BirchandSwinnerton-Dyerconjecture）问题上取得进展，它们是数学中两个最具挑战性的开放问题.何杨辉感觉，这两个领域间的结合将是最终解开这些宏伟命题的关键.何杨辉说：“物理学和数学开始再次合二为一，就像它们在牛顿和高斯的时代一样.”他接受过理论物理学家的训练，但越来越倾向于将物理思想应用于纯数学问题.这是个迷人的想法.宇宙的故事可以用数学的语言写成.但是，尽管这个故事看起来很美好，但有迹象表明，要想比物理学家已经理解得更多，将需要越来越奇特和复杂的数学工具，而且有些工具有待被发明.打破这两个领域之间的壁垒可以为理解双方打开新世界.第十六章直觉思维在物理学习过程中的局限性美国科学建模教学理论的创立者海斯特斯(Hestenes)认为,科学研究(或学习)的过程就是对自然世界建模的过程.从这个意义上讲,科学课程育人价值的重要体现就是培养学生的科学建模能力.所谓科学建模能力就是针对自然现象抽象出其主要特征,依据科学直觉建构其关系、结构等概念模型,并用科学语言进行表征的能力20世纪的物理学革命将物理学的研究范围推向了更宽的尺度，物质的基本结构和时空理论成为新物理学的基础.在这些研究中，理论的先导性成为了必然.物理学家不可能再像他们的前辈一样通过经验的综合获得线索，因此他们必须充分发挥理性的作用.1952年爱因斯坦在给M·索洛文的信中用一个图示表述了他对思维和经验的关系观念.他指出，作为公理体系的A可以通过逻辑道路推出各个个别的结论S，S可以通过实验验证同经验E联系起来；但是这一步骤是超逻辑的(直觉的)，S中的概念与经验E不存在必然的逻辑联系.同时，从心理状态说公理系统A是以经验E为基础的，但它们之间却不存在任何必然的逻辑联系，只是一个不必然的、可以改变的直觉的(心理的)联系.“科学思维”是从物理学视角对客观事物的本质属性、内在规律及相互关系的认识方式,是基于经验事实建构理想模型的抽象概括过程;是分析综合、推理论证等科学思维方法的内化;是基于事实证据和科学推理对不同观点和结论质疑、批判,进而提出创造性见解的能力与品质.主要包括模型建构、科学推理、科学论证、质疑创新等要素.直觉,即直觉思维.在一般性口语交流中,直觉一词有“直觉思维”和“直觉思维的结果”两种含义,本文所指“直觉”均是指直觉思维.在思维的分类中,依据思维的过程是否基于理性的推理和判断,可将思维分为逻辑思维和直觉思维,前者的基本思维形式是概念、判断、推理,后者则刚好相反,它是未经逻辑推理的感性认识,具有快速性、直接性的特点.此外,不同于逻辑思维的分析性和建构性,直觉思维的知识基础是整体的、模块化的,是认知主体对问题的突然的顿悟和理解,因此往往具有很大的不成熟性、模糊性和或然性.由此可见,直觉思维具有很强的非理性,并试图直达事物的本质,缺乏有效的推理过程.直觉思维虽然不同于逻辑思维包含有严密的推理,但存在一定的知识基础,因此可以包含有简单的推理过程.然而,这并不意味着直觉思维的结果总是消极的.有时,直觉可以帮助人们快速做出决策,并直达事物的本质,得到期望的结果.类似地,有观点认为,直觉使人有可能经过长期的认识、实践活动积聚起奇特的创造性,使人对世界的认识有可能出现创造性的飞跃和升华.顾名思义,“反直觉的”是指与直觉相违背的,反直觉现象是指与某一认知主体直觉相违背的现象.现象或问题本身是否是反直觉的,既取决于现象本身,也取决于认知主体自身的知识经验，例如在人的视觉中,太阳和月亮几乎具有相同的大小,因此,对于一个没有受过科学教育的认知主体而言,“太阳体积大约是月亮体积的6500万倍”便极有可能是反直觉的,相反,对于一个受过良好科学教育的人而言,则是符合直觉的.正因为如此,有研究者直接将“反直觉的”(counterintuitive)定义为“对先前掌握的知识或经验的违反”.采用这种定义的优点是可以大大简化问题的讨论,缺点是忽略了直觉本身,从而扩大了概念的范畴.因而,在教学中,一个恰当的解释是,当学生对某个问题或现象的结果有一个主要的直觉指向,并且该指向与最终的科学结果相违背时,就说该问题是反直觉的.爱因斯坦告诉我们，理论体系(思维)和经验不存在绝对的逻辑关联；同时，理论渗透观察，我们所持有的理论在一定程度上决定了我们可以看到的东西.作为经验综合发展起来的物理学，到了当代，经验综合已无法再走下去了，因此物理学的思维方式发生了变化.基础物理学的理论发展表现出一种思维和经验互动的方式，G+P论题表明理性思维的力量可以被大大提升，成为物理学发展的动力.例如，杨振宁博士在他《几何和物理学》一文中指出，与经典思维相反，爱因斯坦发现闵可夫斯基做出的重要的贡献：首先宣告对称性，然后寻求与它相符合的那些方程，并将对称性和等价原理作为20世纪物理学转向的基础.理性可以把握物理现象背后的规律的另一个例子是，在时空的研究中，广义相对论应用黎曼几何表现出的协变特性，对时空本性做了富有成果的揭示.在G+P的观念下，把时空的物理特性转换成为几何性质有着认识论上的对等性，而理性下的几何思维比经验下的物理定律的思维更加有效，能更有效地运用“纯粹的思维”把握物理现象的本质.爱因斯坦在《物理学的进化》中指出：“人的思维创造出一直在改变的宇宙图景，伽利略对科学的贡献就在于毁灭直觉的观点而用新的观点来代替它.这就是伽利略的发现的重要意义.伽利略的发现以及他所应用的科学推理方法是人类思想史上最伟大的功绩之一，而且标志着物理学真正的开端，这个发现告诉我们：根据直觉的观察所得出的直觉的结论常常不是可靠的，因为它们有时会把我们引导错误的线索上去.作为一位物理学家的工作，必须像侦探那样，运用纯粹的思维来进行.这就是伽利略发现的重大意义.”物理学与数学的目标不同，数学家追求的是逻辑的完备性和形式的严谨性，而物理学家追求的是对自然世界现象的解释和预测.物理学家关注的是模型的适用范围，而不是模型在所有情况下都必须严格成立，例如经典力学在微观世界中的失效，并不影响它在宏观世界中的成功应用.这种差异导致了两者在方法上的不同.物理学家常常会选择一种更直观、更易操作的方法，而数学家则需要确保每一步都符合逻辑.这种方法的灵活性，使得物理学家能够快速得到近似的答案，而不必陷入形式上的复杂性.尽管物理学家不需要像数学家那样严谨，但这并不意味着他们忽视数学.事实上，物理学家在使用数学工具时，往往依赖于数学的启发性.比如群论、拓扑学等抽象数学分支在物理中有着广泛的应用.物理学家通过这些数学工具，能够发现自然界中的对称性和结构.物理学家有时会使用物理直觉来引导他们的推导过程，这种直觉往往源于对自然现象的深入理解.例如费曼在推导路径积分时，虽然使用了非严格的数学工具，但他的物理直觉使得最终的结果与实验高度吻合.这种直觉和数学启发的结合，使得物理学家在处理复杂问题时，不必每一步都追求数学上的严谨，而是依赖于整体的物理一致性.狄拉克认为：先选择那种人们认为将会构成新理论基础的数学分支.在作这一选择时，对数学美的考虑必定将给人们以很大的影响……选定了数学分支之后，就应当沿着适当的路线发展它，同时去寻找一种方式，使它能够自然地显示出物理意义.洛伦兹变换从数学观点看来是美的；并且爱因斯坦引入了这个思想:凡是在数学上是美的，在描述基本物理学方面就很可能是有价值的.这实在是比以前任何思想都要更基本的思想.描述基本物理学理论的数学方程必须美，我认为这个思想首先应当归功于爱因斯坦而不是别人.让我们来面对这样一个问题:当理论与观察之间出现了差异，而且这个差异是被公认的和被证实的.人们对它会怎样反应？爱因斯坦的反应又是怎样？那时人们应当认为这个理论基本上错了吗？我要说对最后一问的答案显然是不.凡是欣赏自然运行方式和普遍数学美之间本质上和谐的人们必然会感到，一个理论如果象爱因斯坦的理论那样优美，它必定是本质上正确的.……当爱因斯坦正在建立他的引力理论时，他并不试图去解释一些观察结果.他的整个程序就是寻找一个优美的理论，大自然会选择的那一类理论.他只受这样的要求所吸引，即这个理论应该是美的和优雅的，人们渴望它提供对大自然的基本描述.在当今的物理理论所经受的所有巨大变革当中，就只有一座基石经受住了各场风暴的考验，并且人们能够永远把住不放.这座基石就是这样一个假设:大自然的基本规律对应着一种美的数学理论.这就意味着，一个理论建立在简单的数学概念之上，这些数学概念以优美的方式组合在一起，以致人们在和它打交道时觉得是一种享受.所以，当一个理论物理学家发现了这样一个理论时，人们就会对它给予极大的信赖.一旦这个理论的预言和实验的结果出现了矛盾，人们的第一反应是怀疑实验发生了错误.只有在大量的实验证明确实如此之后，人们才会接受这个理论需要修改的观点，这意味着人们必须去寻找具有更美的数学基础的理论.十分清楚的是，美的确依赖于一个人的文化以及绘画、文学、诗歌等各种美术对他的薰陶.……然而，数学美则大不相同.我也许可以说它是完全不同的一种美，它超越了这些个人因素，在有史以来的各个国家和各个时期它都是相同的.物理学家不需要像数学家那样严格的原因在于物理学的本质是描述和预测自然现象，而非建立纯粹的逻辑系统.物理学家通过实验验证、近似推导、物理直觉，以及对自然界潜在简单性的把握，能够在不完全严谨的数学框架下取得准确的物理结果.这种方法的灵活性，使得物理学在处理复杂的自然现象时，依然能够获得有效的解释.尽管不够严谨，但物理学中的这些“松散”方法，却常常被自然界验证为有效，表明某种深层次的规律正在引导物理学家向正确的方向前进.例1在标准大气压下，一端封闭的玻璃管长96cm，内有一段长20c