2025届广西大学某中学高三第一次（4月）月考数学试题

2025届广西大学附属中学高三第一次（4月）月考数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是

（）.

（俯视图）

A.2#B.4C.26D.2拉

2.2021年部分省市将实行“3+1+2”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、

政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为

11

A.-B.一

84

11

C.—D.一

62

3.某设备使用年限年）与所支出的维修费用），（万元）的统计数据亿丹分别为（2,1.5）,（3,4.5）,（4,5.5）,（5,6.5）,

由最小二乘法得到回归直线方程为》=L6x+4,若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为

（）

A.8年B.9年C.10年D.11年

4.已知正四面体A-4CQ外接球的体积为8«乃，则这个四面体的表面积为（）

A.1873B.\6+C.1473D.12、行

5.复数-D'+4的虚部为（）

Z+1

A.—1B.—3C.1D.2

6.已知A,B是函数/(x)=〈+r+〃’Y一<0图像上不同的两点，若曲线y=/(x)在点A,B处的切线重合，则

xlnx-a,工>0

实数”的最小值是()

11

A.—1B.C.-D.1

22

7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一人圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径

为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是(注：①平地降雨量等于盆中

积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式面=；(S上+、/S上S[+S卜)・人).

A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸

8.一个陶瓷圆盘的半径为10C77Z,中间有一个边长为4c7〃的正方形花纹，向盘中投入1000粒米后，发现落在正方形

花纹上的米共有51粒，据此估计圆周率乃的值为(精确到0.001)()

A.3.132B.3.137C.3.142D.3.147

9.已知定义在R上的奇函数/(x)和偶函数g(x)满足/。)+且*)=优一优、+2(。>0且〃01),若g⑵=%则

函数/(/+2”)的单调递增区间为()

A.(-U)B.(-oo,l)C.(1,-Ko)D.(-1,-Hx))

10.设。，b,c分别是AA8C中NA,DB,NC所对边的边长，则直线sin4工一纱一c=0与Z?x+sin8-)，+sinC=。

的位置关系是()

A.平行B.重合

C.垂直D.相交但不垂直

11.一-«0-•«->•-—中，如果—--—cIos._一—wXXA———一■则—--—--—--—的形状是()

A.等边三角形B,直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

12.中国的国旗和国徽上都有五角星，正玉角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A、8、

C、。、E为顶点的多边形为正五边形，且尸7二避二l4Q,则后-避二！的=()

22

D.史加

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，在三棱锥P-ABC中，PC_L平面ABC,AC1CB,已知AC=2,PB=?R,则当RA+AO最大时,

三棱锥P-ABC的体积为.

14.己知椭圆C:Y+E=i,M(、历,0),若椭圆。上存在点N使得AOMN为等边三角形(。为原点)，则椭圆C

m

的离心率为.

15.已知函数，x)=—x3+x+&xed,e]与冢幻=3//比一3-1的图象上存在关于x轴对称的点，则。的取值范围为

e

*

16.若函数/(x)=x]n(x+Ja+x2)为偶函数，则。=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)己知函数/")=⑪2-。-Inn三。G[0,+8),使得对任意两个不等的正实数中.，都有

/(6人)＜。恒成立.

(1)求/(幻的解析式；

(2)若方程，-=/(x)+〃7有两个实根知与,且不＜占，求证：N+巧＞1.

2x

nl

18.(12分)已知4,〃均为给定的大于1的自然数，设集合M={1,2,3,…,g},T={x\x=x]+x2q+-+xnq~9

XjGM,/=l,2-,/z}.

(I)当，7=2,〃=2时，用列举法表示集合了；

(H)当9=200时，A={q，G，・・・M@}tjM,且集合4满足下列条件：

①对任意1力＜/工100,q+a产201：

100

②Z6=12020.

/=1

证明：(i)若DqeA,贝1)201-qwM(集合不为集合A在集合M中的补集);

100

(ii)为一个定值(不必求出此定值)；

r-1

l

(III)设s=A+&夕+/夕2+…+24"7,t=ct+C2q+--+Cllq"~,其中%qeM,i=l,2,...,〃，若

“<c”，则$<，♦

19.(12分)如图1,已知四边形5CDE为直角梯形，ZB=90,BE//CD,且BE=2CD=2BC=2,A为BE

的中点•将沿AO折到位置(如图2),连结PC,P5构成一个四棱锥P-ABCO.

(II)若孙，平面A8CO.

①求二面角B—PC—D的大小;

②在棱PC上存在点M,满足PA/=；l1(04/IV1),使得直线AM与平面/WC所成的角为4S,求4的值.

20.(12分)已知/(工)二工一3(仙工)2-Alnx-1(AeR).

(1)若/(x)是(0,+s)上的增函数，求攵的取值范围；

(2)若函数/(x)有两个极值点，判断函数"X)零点的个数.

21.(12分)已知抛物线C:)，2=2px(p>0)的焦点为F,直线/交C于A3两点(异于坐标原点O).

(1)若直线/过点八。4。分=一12,求C的方程；

(2)当3.砺=0时，判断直线/是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.

22.(10分)某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考

试分数(以十位数字为茎，个位数字为叶)；

若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.

(1)从这20人中任取3人,求恰有1人成绩“优秀”的概率;

（2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题.

频率

组别分组频数频率

靛

1[60,70)

2[70,80)

3[80,90)

4[90,100]

0.05■——l-——r—

O.(M

003

0.02

00)

JHtt

06070SO90100

①估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;

②若从所有员工中任选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.

【详解】

根据三视图作出该四枝锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且AD=A6=2,3c=4,

Q4JL平面A8CQ,且A4=2,

工PB=72、22=2上，PD=S+*=2丘，CO=2夜，PC=y/l^+AC2=74+20=276>

，这个四棱锥中最长棱的长度是2#.

故选A.

【点睛】

本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题.

2.B

【解析】

甲同学所有的选择方案共有C；C：=12种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一

31

科即可，共有C；=3种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率2=言=1,

故选B.

3.D

【解析】

根据样本中心点GJ)在回归直线上，求出“，求解)，>15,即可求出答案.

【详解】

依题意X=3.5,y=4.5,(3.5,4.5)在回归直线上，

4.5=1.6x3.5+=y=l-6x-l.l•

由y=1.6.t-l.l>I5,x>1°白，

估计第I1年维修费用超过15万元.

故选:D.

【点睛】

本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.

4.B

【解析】

设正四面体ABCD的外接球的半径R,将该正四面体放入一个正方体内，使得每条棱恰好为正方体的面对角线，根据

正方体和正四面体的外接球为同一个球计算出正方体的棱长，从而得出正四面体的棱长，最后可求出正四面体的表面

积.

【详解】

将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a,如图所示,

设正四面体ABCD的外接球的半径为R,则上£=8而r,得因为正四面体ABCD的外接球和正方体的

3

外接球是同一个球，则有小=2/?=2"，，a=2夜,而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，

所以，正四面体ABCD的棱长为J5a=26xJ5=4,因此，这个正四面体的表面积为4x正《=16百.

4

故选：B.

【点睛】

本题考查球的内接多面体，解决这类问题就是找出合适的模型将球体的半径与几何体的一些几何量联系起来，考查计

算能力，属于中档题.

5.B

【解析】

对复数二进行化简计算，得到答案.

【详解】

(/-1)2+44-2/(4-2/)(1-/)

z=--------=-----=----------=1-3;

Z+lI+Z2

所以z的虚部为-3

故选B项.

【点睛】

本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.

6.B

【解析】

先根据导数的几何意义写出/（x）在A8两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，

从而得出4=；（父一/*）,令函数且（力二：（工2-62乂）"40）,结合导数求出最小值，即可选出正确答案.

【详解】

解：当xWO时，/（3）=./+1+4,贝|Jf'（x）=2x+l；当x＞0时，f{x}=x\nx-a

则/'（x）=lnx+1•设4（%,/（芭））,巩芍，外电））为函数图像上的两点，

当.册〈毛＜0或。＜玉＜X2时，/'（内）¥/'（々），不符合题意，故不＜。＜毛.

则/（x）在4处的切线方程为y-卜；+%+a）=（2工।+1）（工一七）；

/（x）在6处的切线方程为y—x21nx2+0=（In工2+1）（工一工2）,由两切线重合可知

lnx2+l=2x,+l,整理得〃=玉2_冽）（凡＜0）.不妨设83Tf_/x）（x«o）

—x?—Q=a—Aj2/

则g'（x）=x-/'g"（x）=l-2/',由g"（x）=O可得X=

乙乙

则当x=：ln；时，g'（x）的最大值为=-ln---＜0.

则g（x）=T（V-*）在（f。］上单调递减，则〃2g（o）=-g.

故选:B.

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的

难点是求出。和x的函数关系式.本题的易错点是计算.

7.B

【解析】

试题分析：根据题意可得平地降雨量3、9、（1°2乃+府高高+6%）故选风

-----------------------------/

考点：1.实际应用问题：2.圆台的体积.

8.B

【解析】

结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可

【详解】

如图，由几何概型公式可知：m=二三之焉="=3」37.

汽TU1UOU

故选：B

【点睛】

本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题

9.D

【解析】

根据函数的奇偶性用方程法求出/(X),g(X)的解析式，进而求出4,再根据复合函数的单调性，即可求出结论.

【详解】

xx

依题意有f(x)+g(x)=a-a+2t①

/(-x)+g(-x)=Q-/+2=-/(x)+g(x),②

①一②得f(x)=ax-a\g(x)=2,又因为g⑵=a,

所以a=2J(x)=2、—2T,/(A)在R上单调递增，

所以函数/(V+Zx)的单调递增区间为(T+co).

故选:D.

【点睛】

本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.

10.C

【解析】

试题分析：由已知直线sinAx-冲—c=0的斜率为四1,直线法+sinB)，+sinC=O的斜率为又由正

asinB

sinAsmBsinA\b]sin5f闻?______

弦定理得-----=—：—,故-------X----=---------Xi----।=-X两直线垂直

abaVsin5/6卜随o.貌d

考点：直线与直线的位置关系

11.B

【解析】

化简得，gcosA=/g..=-/g2,即结合0<R<一，可求->得一代入§加。=〃〃氏从

COS-=—=-」=.—+-=―

lix：linZ；9g2

而可求C,B,进而可判断.

【详解】

由二二C。，二—二-二二如二二-二二，可得…三要=-幽二d，

】工一iin_，

々〈n〈二'•二二'_一.,.sinC=^inB=;=b-j.：：=]C=二，B=

U+=

=1--73PM下Tcos_+：sm_y?

故选，R

【点睛】

本题主要考查了对数的运算性质的应用，两角差的正弦公式的应用，解题的关键是灵活利用基本公式，属于基础题.

12.A

【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题.

【详解】

ES=SD-SR=RD=^-QR.

解:

故选：A

【点睛】

本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属

于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.4

【解析】

222

设8C=x，则PC=JPR2—BC2=，24-d'PA=7rc+AC=V28-X»AB=j4+f'

PA+A八j28-f+J4+./«同(28一./)+(4+*2)]=8,当且仅当28---4+1,即乂一26时,等号成

立.

Vp_ABC=-x-xACxBCxPC=-x-x2x2yl3x2y/3=4,

3232

故答案为4

14.显

3

【解析】

根据题意求出点N的坐标，将其代入椭圆的方程，求出参数〃，的值，再根据离心率的定义求值.

将其代入椭圆方程得"7=3,

所以e瑶邛.

故答案为：显.

3

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，属于中档题.

15.[2,♦-2]

【解析】

两函数图象上存在关于x轴对称的点的等价命题是方程-Y+x+a=-3//a+1+1在区间上有解，化简方程

e

。-1=父-3/琳,在区间[Le]上有解，构造函数，求导,求出单调区间，利用函数性质得解.

e

【详解】

解：根据题意，若函数/(幻=一+与g(x)=31nx—x—I的图象上存在关于x轴对称的点，

e

则方程-V+x+a=-3bvc+x+\在区间/⑼上有解，

e

即方程〃-1=炉-3加v在区间P，田上有解，

e

设函数g(x)=x3-3//LT,其导数g\X)=3X2--=3d),

XX

又由ru［L。］,可得：当!<x<l时，g'(x)<O,g(x)为减函数.

ee

当时，g'(x)>O,g(x)为增函数，

故函数g(x)=V-3几¥有最小值抵1)=1,

又由g(-)=1+3,g(e)=/一3：比较可得：gd)<g(e),

eee

故函数g(x)=xy-3lnx有最大值g(e)=/一3,

故函数g(x)=x=3而在区间上的值域为［1,匹3］；

若方程。+1=V-3/址在区间AM上有解，

e

必有14。-14/一3,则有24。4/_2,

即〃的取值范围是［2,/-2］；

故答案为：［2,廿一2|；

【点睛】

本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题，函数零点问题的拓展.由于函数)，=/(x)的零点就是方程

/(公=0的根，在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点,

结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.

16.1

【解析】

试题分析：由函数f(x)=xln(x+yja+x2)为偶函数=>函数g(x)=ln(x+>Ja+x2)为奇函数，

g(0)=Int7=0=>^=1.

考点：函数的奇偶性.

【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结

合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型.首先利用转化思想，将函数f(x)=x\n(x+4a+x^)

为偶函数转化为函数ga)=ln(K+Ja+W)为奇函数，然后再利用特殊与一般思想,取g(O)=ln〃=Ona=l.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)/(x)=-Inx；(2)证明见解析.

【解析】

(1)根据题意，/。)在(0,+8)上单调递减，求导得f(X)=2奴-L(甲>0),分类讨论/。)的单调性，

xx

结合题意，得出/(X)的解析式：

1,1,1

(2)由X2、为方程丁=+m的两个实根，得出In%+丁=m,\nx2+—=int两式相减，分别算出内和x2,

2.xLX?

利用换元法令/=+和构造函数/?")=，-！-根据导数研究单调性，求出〃(/)〈版1)=0,即可证出

X2j

结论.

【详解】

(1)根据题意，/。)对任意两个不等的正实数不占，都有/(“)―/(*)<0恒成立.

则/(x)在(0,+8)上单调递减，

因为f(x)=2ar--=2ax~~{(x>0),

xx

当4=0时，/(X)Vo,/(X)在(0,+8)内单调递减,,

当。>0时，由/'(©=0,有X=/=,

yJ2a

此时，当工£0,亮)时，f(x)<0,/。)单调递减,

当.re(吉‘Xo'时'f(x)>0"(*单调递增,

综上，〃=0,所以f(x)=Tn%.

(2)由内,%为方程丁=/(x)+"?的两个实根，

2x

得Inx,+—=/w,lnx2+—=/«,

2x)-2X2

两式相减，可得In%-ln.q+，—，一=。，

J1上

e..彳，A；

因此玉:一^-,/二----

21n工21n工

七“2

令7=土，由王<々，得0</<1，

犬2

则Z-1

21n/2In/2In/

构造函数〃(f)=f-1-21nf,0</<l.

则/⑺=1+晨2_(If

>0,

所以函数"(f)在(0,1)上单调递增,

故/?(/)<伙1)=0,

1t--

即1——21n/<0,可知/

t---->1

2lnr

故N+超>1,命题得证.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性求函数的解析式、以及利用构造函数法证明不等式，考查转化思想、解题分析能

力和计算能力.

18.(I)7={3,4,5,6}；(II)(i)详见解析.(ii)详见解析.(Ill)详见解析.

【解析】

(I)当夕=2,〃=2时，M={l,2},T={A|A=A-,+2X2,X^M,f=l,2}.即可得出7.

(H)(i)当9=200时，M={1,2,3,…，200},又A={《，的，…，％"()“，€A,201—qeM,必

然有201-a,wW,否则得出矛盾.

1001001(X1

(ii)由a：-(201-0)2=402q—4040l.可得-£(201-〃了=402工《-4040100.又

r=l；=11=1

1001(X1普

Z4+Z(201—6)2=「+2、……+200’,即可得出为定值.

/-I1-1，■]

1

(iii)由设s,/GA,s=%+。沟+…+a,gJ，t=bi+b2c/+...+btlq'',其中q,/=1,2,…，〃.Cin<bn,

可得s—r=(q—々)+(g-aM+…+(〃…―M"~+S“-卜“)/-'»(q-1)+-1'同+…+(q-】W~1»通过求和即可证

明结论.

【详解】

(I)解：当^=2,〃=2时，M={1,2},T={x|x=x+2w，,i=l,2}.

7={3,4,5.6}.

(II)证明：(i)当，/=200时，M={1,2,3,…，200),

又八={《，a2f…，4ajUM,VafeA,201-qeM,

必然有201-《£彳，否则201-qcA,而4+(201-4)=201,与已知对任意1期</100,q+为=2。1矛盾.

因此有201—qeW.

(ii)a；-(201-qy=402q-40401.

1001001(X>

-2(201-4)2=402^a,-4()401(X)=791940.

1=11=11=1

fa；+»0i,)2=F+r+……+200?=200x201x(400.1),

:如"小等^+79194。)为定值.

j-i26

(iii)由设•，，"A,s=%+%q+…+a,qi,1=a+b身+…+b.qZ,其中外,Z?r.GAf,i=\t2,…，〃.an<bn,

n2ni

:.s-t=(al-bi)+(a2-b2)q+...+(a^-2T\q~+(a0-bn)q

“(g_1)+Iq-+...+(q—1)夕"一一夕"T

=(q-1)(1+q+...+q"-?)-qni

15T

=(^-1)-------/

"q

=-l<0.

：.S<1.

【点睛】

本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题.

9

19.(I)详见解析；(II)①120°，②4=()或2=

【解析】

(I)可以通过已知证明出人。_L平面口后这样就可以证明出AD_LP8；

（11）④以点4为坐标原点，分别以A&AD,4尸为x,〉，，z轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标.求

出平面/^C的法向量为万、平面尸CO的法向量而，利用空间向量的数量积，求出二面角8—尸C—。的大小；

②求出平面PBC的法向量，利用线面角的公式求出义的值.

【详解】

证明：（1）在图1中，vAB//CD,AB=CD,

.•."8为平行四边形，.\4）〃8。,

•.•〃=9。，:.ADA.BEt

当沿AD折起时，AD1AB,AD1.AE.即ADJ.%,

又ABcm=A,ABu面户A用PAu面PA8「.AD1平面PAB,

又「PAu平面小3,./。，心.

解：（II）①以点A为坐标原点，分别以AB,AD,4尸为x,7，z轴，建立空间直角坐标系，由于R4_L平面A3CD

则40,0,0),4(1,0,0),C(hl,0),P(0,0,I),力(0,1,0)

PC=(l,b-1),BC=(0,1,0),DC=(1,0,0),

设平面PBC的法向量为万=（MJ,Z）,

PC•万=x+y-z=0

则'取z=l,得”=(1,0,1),

BCh=y=0

设平面PC。的法向量加=（4/）,c）,

m-PC=a+b-c=0

则J,取。=1,得比=（（M,I)，

m-DC=a=0

设二面角8-/）。一。的大小为e,可知为钝角，

c\ih-n\1I

则8S"一丽"万「TN・包12。・

••・二面角B-PC-D的大小为12(T.

②设AM与面尸"C所成角为。，

AM=AP+PM=(0,0,1)+/l(1,1,—1)=(A,2,1—2),

平面尸3c的法向量万=(1.0,1),

•••直线AM与平面所成的角为45,，

・sina-cos(而n\\-丽-上十鹏.立

、力|丽I同V2-7/l2+/l2+(l-2)22

9

解得2=0或2=

【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式

求定比分点问题.

20.(1)(2)三个零点

【解析】

(1)由题意知/。)20恒成立，构造函数Rx)=x—Inx一七对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；(2)当

时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证/(5)>(),/(£)<().

【详解】

(1)由/(A)=A--(lnr)2-Z:lrL¥-l//(x)=-—――,

由题意知f'(x)N0恒成立，即x-hu-AAO,设厂(x)=x—Inx-A,F'(x)=l--,

X

时9(x)v(),尸(力递减,无«1收)时,r(x)>0,F(x)递增；

故尸(x)桢=产(1)=1-%20,即女41,故攵的取值范围是(YO,1].

(2)当心1时，”X)单调，无极值；

当攵>1时，/(1)=1一%<0,

一方面，F(e")=eY>0,且F(力在(0,1)递减，所以F(x)在区间(1,1)有一个零点.

另一方面，F(?)=?-2A:,设g(Z)=廿—2ZU>1),则(候)=才一2>0,从而g(k)

在(L”)递增，则g(Q>g(l)=e-2>0,即尸卜人)>0,又/(x)在(1,+a))递增，所以

尸（丫）在区间（1,/）有一个零点.

因此，当41时/'（切在和（1,力各有一个零点，将这两个零点记为内，

x2（xj＜1＜x»）,当.«0,不）时尸（力＞0,即/（力＞0；当xw（x，w）时/（x）＜°，即

r（x）＜0；当（孙+00）时尸（x）＞0,即/'（工）＞0：从而f（X）在（0,演）递埔在。㈤

递减，在（%,十8）递增；于是.*是函数的极大值点，公是函数的极小值点.

下面证明：/(内)>0，/(^)<0

由/'(%)=()得内_Iru]_k=0,即k='一1丘「，由/(xj=Jr】_g(lnxj2__j

2

得/(xl)=x1-^(inv,)一(N-ImJlnX]-1=x)+；(lnAj—药1%一1,

(l-x)lm:

令〃心)=1+耳(应2-Mnx-1,则M(K)

x

①当xe（O,l）时〃/（x）vO,〃?（x）递减，则〃⑴=0,而内＜1,故/（百）＞0；

②当Xe（l,小»）时加（X）＜（）,"7（X）递减，则〃2（X）＜〃7⑴=（）,而占＞1,故/（9）＜（）;

一方面，因为/卜0）="2人一1＜0,又/（内）＞0,且/%）在（0/）递增，所以/（X）在

{e~2k,3）上有一个零点，即/（x）在（0,内）上有一个零点.

另一方面，根据，＞l+x（x＞0）得才＞1+4,则有：

/卜声）=e"—12公_1＞（1+2『-12公-1=/+4A（k—\J+（A＞0,

又/（々）＜0,且/（"在（电,长。）递增，故/（x）在伍,*）上有一个零点，故/（“在

（£,”）上有一个零点.

又〃1）=（），故f（x）有三个零点.

【点睛】

本题考查函数的零点，导数的综合应用.在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程

的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函

数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论.

21.（1）/=8x（2）直线/过定点（2〃,0）

【解析】

设A(X，K),B(x2,y2).

(1)由题意知,0),,X),B(注,).设直线I的方程为x=少+4(/eR),

2P2

)广=2川

由1〃得)3_2〃(y_p2=0,则△=4〃)2+4//>o,

由根与系数的关系可