2026高考数学复习高效培优专题06 数列（选填题）（原卷版）

专题05数列（选填题）

目录

第一部分题型解码微观解剖，精细教学

典例剖析方法提炼变式

题型01数列求通项问题

题型02数列求和问题

题型03数列不等式问题

题型04奇偶和插项数列问题

题型05新定义问题

第二部分强化实训整合应用，模拟实战

题型01抽象函数问题

n*

【例1-1】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列an满足a11，an1ann2nN，则an等于（）

nn1nn1

A．2n11B．2n1

22

nn1nn1

C．2n11D．2n11

22

aaana

132n1*2025

【例1-2】（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列an满足nN，则（）

a3a5a2n1n2a3

A．670B．675C．2025D．4050

1.累加法、累乘法

－

①累加法：适用于an＋1anfn，求an

n

具体过程：，，，两边分别相加得；

a2a1f(1)a3a2f(2)an1anf(n)an1a1f(k)

k1

an1

②累乘法：适用于f(n)，求an

an

n

a2a3an1a

具体过程：f(1)，f(2)，，f(n)，两边分别相乘得n1f(k).

a1a2ana1k1

2.同除法及取倒数法

①形如整式anan1kanan10，两边同时除以anan1

ban1bkan1k

②形如an1,则有.

kanban1bananb

11k11k

所以是以为首项,为公差的等差数列,即(n1).

ana1bana1b

3.已知Snfn或Snfan

①用anSnSn1消Sn的3个步骤：①先利用a1S1求出a1;②用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，

利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式;③注意检验n1时的表达式是否可以与n2

的表达式合并.

②若等式中为与或与，则替换题目中的

anSn1SnanSnSn1SnSn1an

4.构造法

q

*qq

①形如anpan1qnN且n2，化为anpan1的形式，令bnan,即得

p1p1p1

bnpbn1,bn为等比数列,从而求得数列an的通项公式.

①形如*且化为的形式，令

an1AanBnCnNn2an1p(n1)qAanpnq

bnanpnq,即得bnAbn1,bn为等比数列,从而求得数列an的通项公式.

*

【变式1-1】（2025·山东济南·二模）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a11,Sn1Sn1nN，

则an

a1

n1

【变式1-2】（2025·江苏苏州·三模）已知数列an满足a11,1an，则（）

an2

1

A．an1anB．a

n2

C．1013a20251D．2025a20251

221

【变式1-3】（2025·河北张家口·一模）已知数列a满足a12，an0且aa1，则

nn1n2n

2

ann.

题型02数列求和问题

【例2-1】（2025·浙江台州·一模）已知等比数列an满足：a1a310,a2a420.设bnanlog2an1，记

数列bn的前n项和为Sn，则S6（）

A．149B．153C．155D．157

【例2-2】（2025·江西·模拟预测）已知数列an满足：a12，an1a12a23a3nan，令

n3

bn，数列bn的前n项和Sn，则S2025（）

an1an2an3

11111111

A．B．C．D．

82029!62028!42027!22026!

1.公式法：对于等差、等比数列，直接利用前n项和公式．

na1,q1

naann1

等差：1n等比：n

Snna1d.Sna11qaaq.

221n,q1

1q1q

2.分组求和法：数列的通项公式为anbn的形式，其中{an}和{bn}满足不同的求和公式．常见于{an}为等差

数列，{bn}为等比数列或者{an}与{bn}分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律．

3.并项求和法

若在一个数列的前n项和中，可两两结合求和，则称之为并项求和.

4.错位相减法：

an

数列的通项公式为anbn或的形式，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．

bn

5.裂项相消法：

将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．

常用的裂项公式：

111111

①()；②(nkn)；

n(nk)knnknknk

n

(a1)a11an1an1

③；④loglogloga

n1nnn1aaan.

(ak)(ak)akakan

6.倒序相加法：如果一个数列的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这

个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式就是用此法推导的.

【变式2-1】（2025·江苏淮安·模拟预测）已知递增等比数列an前n项和为Sn，且a28,S342，则数列

1

的前10项和为．

log2anlog2an1

=

【变式2-2】（2025·青海·模拟预测）（多选题）设数列an的前n项和为Sn，已知S2n0，S2n12，记数

列nan的前n项和为Tn，则（）

A．a992B．a1002

C．T2222D．T3152

13n

【变式2-3】（2025·辽宁·模拟预测）若fxxπsinx，数列an满足an，则

222025

fa1fa2fa2024的值是（）

A．2024B．4048C．3036D．2025

题型03数列不等式问题

【例3-1】（2025·辽宁·模拟预测）记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，若a3S5，a2a4S4，则

使Snan成立的n的最大值是（）

A．3B．4C．5D．6

【例3-2】（2025·吉林·模拟预测）已知递减的等比数列an前n项和为Sn，且满足a12，a1a26a3，若

1

NSnM恒成立，则MN的最小值为（）

Sn

439

A．B．C．2D．

324

数列与不等式的综合问题及求解策略

1.判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．

2.以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．

3.考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．

51

【变式3-1】（2025·海南·模拟预测）数列a满足a,a2a，对于任意的nN,2a12a2

n12n1n2nn

恒成立，则实数的取值范围是（）

33

A．,B．,1C．,D．1,

44

2

【变式】（河南模拟预测）已知数列满足，11，若对*，

3-22025··ana11an11annN

n1n1

n41

ta10，则实数t的取值范围是（）

n2n

A．18,B．16,C．12,D．8,

n

【变式3-3】（2025·上海·高考真题）已知数列an、bn、cn的通项公式分别为an10n9，bn2、，

cnan(1)bn.若对任意的0,1，an、bn、cn的值均能构成三角形，则满足条件的正整数n有（）

A．4个B．3个C．1个D．无数个

题型04奇偶和插项数列问题

3a1,当a为奇数

nn

【例4-1】（25-26高三上·重庆·月考）已知数列an的前n项和为Sn，且满足a24,an1a，

n当为偶数

,an

2

则S150.

nk

【例4-2】（25-26高三上·河南南阳·期中）已知数列an的通项公式an2，在每相邻两项ak,ak1之间插入2

*

个3kN，使它们和原数列的项构成一个新的数列bn，记数列bn的前n项和为Sn，则Sn150成立的

n的最小值为（）

A．35B．36C．37D．38

1.奇偶数列求和：

bn,n2k1

已知an，其中an的前n项和为Sn，bn的前n项和为Tn，cn的前n项和为Qn.

cn,n2k

S2nTnQn

(2)若n为偶数，则SnTnQn

22

(3)若n为奇数，则SnTn1Qn1

22

2.常见奇偶数列模型

bn,n2k1

an，则直接按奇偶分开讨论.

cn,n2k

3.数列插项问题

①在an和an1之间插入n个数，使这n2个数构成等差数列，

an1an

记这个等差数列的公差为d，则aa(n1)d，整理的d.

nn1nnnn1

②在an和an1之间插入n个数，使这n2个数构成等比数列，

n1

an1an1

n1

记这个等比数列的公比为qn，则qn，整理的qn.

anan

为奇数，

an1,n

【变式】（25-26高三上·云南昭通·月考）已知数列a满足a1，a则

4-1n1n1为偶数，

2an1,n

a5；其通项公式为．

【变式4-2】（25-26高三上·辽宁大连·月考）设数列an满足an13an2an1（n2），a11，a22.在数

*k

列an的任意ak与ak1项之间，都插入k（kN）个相同的数1k，组成数列bn，记数列bn的前n项

的和为Tn，求T27.

【变式4-3】（2025·海南海口·模拟预测）已知数列an的首项为1，Sn是an的前n项和，且

1n*

Sn1Sn12Sn()，（n2），若存在nN，使得anman1m0成立，则实数m的取值范围

3

为．

题型05新定义问题

【例5-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）（多选题）如图，曲线yx下有一系列正三角形，设第n个正三角

形Qn1PnQn（Q0为坐标原点）的边长为an，则（）

24

A．a，a

1323

a3

．记为的前项和，则为n1

BSnannPn1Sn,an1

22

31

C．记S为数列a的前n项和，则Sa2a

nnn4n12n1

n2n1

D．数列an的前n项和为S

n3

a1a2an*

【例5-2】（2025·江苏南通·三模）（多选题）已知数列an，设mnnN，若数列an满

n

足：存在常数c，使得对于任意两两不相等的正整数i，j，k，都有ijmkjkmikimjc，则

称数列an具有性质，下列结论正确的是（）

A．若an2n1，则数列an具有性质

n

B．若数列an的前n项和Sn21，则数列an具有性质

C．若数列an具有性质，则常数c0

D．若数列an具有性质，则an为等差数列

解答新定义型创新题的基本思路是：

（1）正确理解新定义；

（2）根据新定义建立关系式；

（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；

（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．

【变式5-1】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选题）在科技竞逐的舞台上，降本增效是突破创新的关键．在

量子计算领域，九章量子计算机在2020年便以不到谷歌1%的资金实现了量子计算优越性，展现了中国科

技界的卓越实力．2025年九章量子计算机在态叠加编码中提出一种分形数列模型，该模型中将量子态能量

分解为连续奇数组，规律如下：

131

2335

337911

4313151719

．．．

*

记ai,ji,jN表示第i个等式中第j个量子态能量值（如a3,29,a4,419），研究人员发现ai,j满足：第i行

恰含有i个连续奇数，且ai,iai1,i12i(i2)，则下列结论正确的是（）

2

A．a44,442025a45,45B．ai,jii2j1

nnn23n110011

．．

Cai,iD

a9

i13i10i,2

n

*

【变式5-2】（2025·山东·模拟预测）（多选题）若数列an满足：存在0，使得ai1ai对任意nN

i1

成立，则称an是“受限数列”，的最小值称为an的“受限上界”.记an的前n项和为Sn，则下列说法正确

的是（）

A．若an2n1，则an是受限数列

2

B．若等差数列an满足a33，S1166，则是受限数列

an

a1

C．若Sn，则a是受限数列，其受限上界为3

n3n

D．若an，bn都是受限数列，则anbn也是受限数列

*

【变式5-3】（2025·北京海淀·三模）设数列an的前n项的和为Sn，若对任意的nN，都有Snan1，则

称数列an为“超神数列”，下列命题中，正确的有．

①存在递增数列an，使得它是“超神数列”；

②存在周期数列an，使得它是“超神数列”；

③存在等差数列an，使得它是“超神数列”；

15

若为等比数列，对于任意，存在a，使得为超神数列．

④anq,01an

2

1.（2025·江西·模拟预测）设数列an的前n项和为Sn，已知a11,annSn，则2024!a2025（）

A．2024B．2025C．2024D．2025

4n2

2.（2025·湖北·模拟预测）已知数列an前n项和为Sn，a11，an1Sn1，bn，则bn的最大值为（）

an

A．4B．9C．10D．12

n

3.（2025·重庆·三模）数列an满足an11an3n1，则an的前100项和S100．

n2

4.（2025·湖南益阳·三模）已知数列{a}满足alog，给出定义：使数列{a}的前k项和为正整数的

nn2n1n

k（kN*）叫做好数，则在1,2025内的所有“好数”的和为．

22

5.（2025·云南·模拟预测）数列an满足：a1，且aaaa，则a60.

3n1n3n1n

n

6.（2025·浙江·模拟预测）已知数列an和bn通项公式分别为an3n19，bn2，将数列an和bn的

公共项按照从小到大的顺序排成一个新数列，则数列cn的通项公式；

为的倍数

an1,n3

7.（2025·河南·模拟预测）（多选题）已知数列a满足a1,a，则（）

n1n1不是的倍数

an5,n3

A．a3n25n4

**

B．nN,TN,anTan

*

C．若nk(kN),an2026，则k的最大值为1214

D．an的前36项和为1226

n1*

8.（25-26高三上·湖北·期中）（