平面与平面垂直的判定与性质课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.3平面与平面垂直的判定1.二面角及其平面角(1)二面角：两个半平面及其棱所成角.ablABPQ二面角a-l-b二面角a-AB-b二面角P-l-Q二面角C-AB-D①记法：②范围：[0o,180o]③求法：棱l上取一点O，在a内作OA⊥l，在b内作OB⊥l，

则∠AOB是二面角a-l-b的平面角.2.面面垂直的定义(2)面面垂直的定义：若两个相交平面所成的二面角是直二面角,

就说这两个平面互相垂直.记作:

a⊥b(平面角是直角的二面角叫做直二面角)画两个平面垂直,一般应把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直.注：(异面)直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直，则直线a,b所成角与这个二面角的平面角相等或互补.3.面面垂直的判定定理(3)面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号：abl3.面面垂直的判定定理[书158页例7]正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面

A1DB⊥平面A1ACC1.3.面面垂直的判定定理[书158页例8]AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.[2021-全国乙卷]四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM.(1)证明：平面PAM⊥平面PBD.(2)若PD=DC=1，求四棱锥P-ABCD的体积.经典模型多角度探析例2如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.

又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M⊂平面A1B1M，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.跟踪训练2

(1)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，且E为BC的中点，点F为棱PC上一动点．求证：平面AEF⊥平面PAD.

经典模型多角度探析[例]已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD为正方形，(1)确定该四棱锥4个侧面的形状；(2)求二面角B-PC-D的大小。(3)证明：平面PAC⊥平面PBD.(4)E为PB的中点，F为线段BC的上的动点.求证：面PBC⊥面AEF.(5)若E为PB的中点，平面ADE交PC于点G，求证：EG//AD.(6)若PA=AB=2，F为线段BC的上的动点，E为PB的中点，异面直线PA和EF所成角为60°，求此时BF的长度.(7)设PA=AB=4，求点B到面PDC的距离.经典模型多角度探析[例]如图，已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD为正方形，(1)该四棱锥的4个侧面的形状是____________.(2)求二面角B-PC-D的大小是_________.(3)证明：平面PAC⊥平面PBD.直角三角形120°[例]如图，已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD为正方形，(4)E为PB的中点，F为线段BC的上的动点.求证：面PBC⊥面AEF.经典模型多角度探析(5)若平面ADE交PC于点G，求证：EG//AD.[例]如图，已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD为正方形，(6)若PA=AB=2，异面直线PA和EF所成角为60°，求此时BF的长度.经典模型多角度探析[例]如图，已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD为正方形，(7)设PA=AB=4，求点B到面PDC的距离.经典模型多角度探析8.6.3平面与平面垂直的

性质定理4.面面垂直的性质定理(4)面面垂直的性质定理：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.αβml①符号：4.面面垂直的性质定理[P160-例10]如图，已知PA⊥面ABC，面PAB⊥面PBC，

求证：BC⊥面PAB.EPABCE证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E，又∵面PAB⊥面PBC，面PAB∩面PBC=PB，AE⊂面PAB，∴AE⊥面PBC.∵BC⊂面PBC，∴AE⊥BC.∵PA⊥面ABC，BC⊂面ABC,∴PA⊥BC.又∵PA∩AE=A，∴BC⊥面PAB.(大本87）例1在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.证明：如图所示，在平面PAB内作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.跟踪训练1如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点．求证：BG⊥平面PAD.证明：由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，由BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD.4.面面垂直的性质定理[练习1]三棱台ABC－DEF中，面BCFE⊥面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.求证：BF⊥平面ACFD.证明：∵∠ACB＝90°，AC⊥BC；又∵面BCFE⊥面ABC，面BCFE∩面ABC＝BC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥平面BCFE.∵BF⊂面BCFE，∴AC⊥BF.三棱台中，延长AD，BE，CF相交于一点P，∵EF∥BC，EF＝1，BC＝2，∴E,F分别是PB,PC的中点，∴PB＝PC＝PC＝2，∴△PBC为等边三角形，且F为CP的中点，∴BF⊥CF.P∵CF∩AC=C，CF,AC⊂平面ACFD，∴BF⊥平面ACFD.4.面面垂直的性质定理[练习2]三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是______三角形.O证明：取AB的中点O，连接PO.∵PA＝PB，∴PO⊥AB.∵面PAB⊥面ABC，面PAB∩面ABC＝AB，∴PO⊥面ABC.∵OC⊂面ABC，∴PO⊥OC.∵PO为公共边，PA＝PB＝PC，∴Rt△POC≌Rt△POA≌Rt△POB(HL)，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，∴△ABC是直角三角形.直角4.面面垂直的性质定理[P171-14]四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧面PAD是等边三角形，面PAD⊥面ABCD，M为PD的中点.(1)求证：AM⊥面PCD.证明：等边△PAD中，∵M为PD的中点，∴AM⊥PD.正方形ABCD中，CD⊥AD，又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴CD⊥平面PAD.∵AM⊂面PCD，∴CD⊥AM.∵CD∩PD=D，CD,PD⊂平面PCD，∴AM⊥平面PAD.4.面面垂直的性质定理[P171-14]四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧面PAD是等边三角形，面PAD⊥面ABCD，M为PD的中点.(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.证明：取AD,BC的中点E,F，连接PE,PF,EF.则EF//CD，又正方形ABCD中，CD⊥BC，∴EF⊥BC；∵PE∩EF=E，