山东大学网络教育《线性代数(1-3)》

线性代数模拟题(一)

一.单选题.

1.下列(A)是4级偶徘歹ij.

(A)4321：(B)4123；(C)1324：(D)2341.

2.如果

a\\a\2%344“2。”一3%2a

D==1,D=

a2la22〃23]4%i—3。22。

a3\a32〃334%|2%|-3。32a

那么0=(D).

(A)8；[B)-12；(C)24；(D)一24.

3.设A与8均为〃x〃矩阵，满足A8=O,则必有(C).

(A)A=O或8=。；(B)A+B=O；

(C)网=0或同=0；(D)隔+忸=0.

4.设A为〃阶方阵(〃N3),而A*是A的伴随矩阵，又k为常数,且％*0,±1,则必有(ZA)'

等于(B).

(A)Mx；(B)(C)knA\(D)-M*.

5.向量组四,a?，・・・・，巴线性相关的充要条件是(C)

(A)/,。2,•…，4中有一零向量

(B)a^a24中任意两个向量的分量成比例

(C)4,。2,•…,4中有一个向量是其余向量的线性组合

(D)名,。2,•…,4中任意一个向量都是其余向量的线性组合

6.已知川，鱼是非齐次方程组4工=人的两个不同解，是的基础解系，"

为任意常数，则4x=Z?的通解为(B)

(A)匕0+自(四+%)+」；(B).%+%2(%_%)+/

(C)匕%+&(4+/2)+邑善；(D)匕%+公(力+/2)+"外

7.入=2是A的特征值，则(A2/3)」的一个特征值是(B)

(a)4/3(b)3/4(c)l/2(d)l/4

8.若四阶矩阵A与B相似,矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5,则行列式IB、I|=(E)

(a)0(b)24(c)60(d)120

9.若A是(A),则4必有A=A.

(A)对角矩阵；(B)三角矩阵；(。可逆矩阵：(D)正交矩阵.

10.若A为可逆矩阵，下列(A)恒正确.

(A)(2A)=24；(B)(2A)-1=2A-,；

(C)[(A-')-1]r=[(A)T；(D)[(AT]1=[(A-1)-,J.

二.计算题或证明题

1.设矩阵

’32-2、

A=-k-1k

、42-3,

(1)当k为何值时，存在可逆矩阵P,使得P-AP为对角矩阵？

(2)求出P及相应的对角矩阵。

参考答案：

32-2

解：⑴卜|=-〃-1k=1*0,k为任何值时,都存在可逆矩阵P,使得P-，AP

42-3

为对角矩阵：

x-3-22

(2)令£=0,则囚一川=02+10=(/i+l)"(A-l)=0.=A,=-l,2j=1

-4-24+3

-4,V1-2X2+2,v?=0

当4=4=7时，方程组(〃-4)x=o为，0,^=0^+0^=0,其基础解系为:

-4.v,-2X2+2xy=0

-2芭-2x,+2,vt=0

“二2，匕0:当4=1时，方程组,2.0=0，其基础解系为:

a-4X1-2x,+4x,=0

-110、00、

P=200对角矩阵人=0-10

<02I,<00I；

2.设n阶可逆矩阵A的一个特征值为入，A*是A的伴随矩阵，设|A|=d,证明：d；X是

A*的一个特征值。

证明：设4为/的一•个特征值，有同一才|平…M卜聆一=0，

即自j则4=6%

3.当。取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解.

ax1+x2+x3=1

«x14-ax2+与=a

1

%+x2+ax3=a

参考答案：

4+11(〃+1)2

.当awl,-2时有唯一解:xi=，羽=7，工3=~

。+2-。+2a+2

X1=1+占+&

当a=l时，有无穷多解：X2="1

X3="2

当。=一2时，无解。

4.求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.

<1)6「3、T、

-130i-1

—，。3=,%=,%=

21752

2MGo

参考答案:

‘10321、J030=1

-1301-100000

解：向量矩阵n

217520110-1

、421460,000-4-4

是一个极大无关组，旦出=3q+%，as=-«1-a,+a4

5.若A是对称矩阵，8是反对称矩阵，试证：45-A4是对称矩阵.

参考答案：

证：山条件/'=/,B，=-B,

有｛AB-B/ff=(AB)T=BTAT-ATBrB)A-/(-B)=AB-BA。

线性代数模拟题(二)

一.单选题.

1.若(―1)所必⑸是五阶行列式|为|的一项，则2、/的值及该项符号为

(A).

(A)k=2,1=3,符号为负；(B)k=2,，=3符号为正；

(C)k=3,1=2,符号为负；(D)k=1,1=2,符号为正.

2.下列行列式(A)的值必为零.

(A)〃阶行列式中，零元素个数多于〃个；

(B)〃阶行列式中，零元素个数小于〃2—〃个；

(C)〃阶行列式中，零元素个数多于〃个；

(D)〃阶行列式中，零元素的个数小于〃个.

3.设A,B均为〃阶方阵，若(A+B]A—8)=A?—Zf,则必有(口).

(A)A-Z：(B)B二O；(C)A-B；(D)AB-BA.

4.设A与B均为〃x〃矩阵，则必有(C).

(A)|A+@=|A|+|@；(B)AB=BA；CC)\A^=\B^；=A-14-B-1.

5.如果向量夕可由向量组四,。2，一，a,线性表出，则(D/A)

(A)存在一组不全为零的数匕/2,…/工，使等式尸=匕四+&%+・•••+成立

(B)存在一组全为零的数匕，心,《，使等式」=自0+h%+....+/%成立

(C)对夕的线性表示式不唯一

(D)向量组向%,%，•…，4线性相关

6.齐次线性方程组Ax=O有非零解的充要条件是(C)

(A)系数矩阵A的任意两个列向量线性相关

(B)系数矩阵A的任意两个列向量线性无关

(C)必有一列向量是其余向量的线性组合

(D)任一列向量都是其余向量的线性组合

7.设n阶矩阵A的一个特征值为入，则(入A「)2+I必有特征值(B)

22

(a)X+l(b)X-l(c)2(d)-2

’32-1、

8.已知A=00a与对角矩阵相似，则。=(A)

、。0°，

(a)0;(b)-1;(c)I;(d)2

9.设A,B,。均为〃阶方阵，下面(D)不是运算律.

(A)(A+3)+C=(C+5)+A；(B)(A”)C=AC+3C；

(C)(AN)C=A(BC)；(D)(AB)C=(AC)B.

10.下列矩阵(B)不是初等矩阵.

001]00、00<100

(A)00(B-000；(C)020；(D)01-2

100>10；0<001

二.计算题或证明题

10、

1.已知矩阵A,求A1。。其中A二

(T2)

参考答案:

0

21

解：A=AA=)1

J-2。

2.设A为可逆矩阵，入是它的一个特征值，证明:入wo且入t是的一个特征值。

参考答案：

证：设八为k的一个特征俏，|4/一/-1=风4一/)十|=|4『A——/，氏为4是A

4

的一个特征侑，故;=久，因4=(),故;1/0且4='=4".

3.当。取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解.

axx+工2+=。-3

«为+ax.+x3=-2

ax

xv+々+y二-2

参考答案：

ci—\—3

当aW1,-2时有唯一解：否=------,乂=——，为

a+2"a+24+2

X]=­2—k、一何

当。=1时，有无穷多解：占二4

%一k

当。二一2时，无解。

4.求向晟组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.

1

210

%==

3120

4J

参考答案:

f\ii-r1001、

21100-I0I

解：向量矩阵2120

001-1

、4I12,、0000,

极大无关组为：02M3,%,且4二生+用+4

5.若A是对称矩阵，丁是正交矩阵，证明了一AT是对称矩阵.

参考答案：

证：由条件知T=4,r]=TT,(r/严=7。7(八丫为对称矩阵.

线性代数模拟题(三)

一.单选题.

1.设五阶行列式k/=〃z,依下列次序对卜/进行变疾后，其结果是(c).

交换第一行与第五行，再转置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，

最后用4除第二行各元素.

(A)；(B)-3/n；(C)-Sm；(D)一〃z.

4

3x+ky-z=0

2.如果方程组，4y+z=0有非零解，则(D).

kx-5y-z=0

(A)々=0或k=l；(B)%=1或％=2；(C)Z=—1或A=1；(D)%二一1或

k=-3.

3.设A,B,C,/为同阶矩阵，若ABC=/,则下列各式中总是成立的有(A).

(A)BCA=I；(B)ACB=I；(C)BAC=I；(D)CBA=I.

4.设A,B,C为同阶矩阵，且A可逆，下式(A)必成立.

(A)若A8=AC,则8=C；(B)若48=C8,则4=。；

(C)若AC=3C,则A=B；(D)若3C=。，则3=0.

5.若向量组0],%，•…，氏的秩为r，则(D)

(A)必定rvs

(B)向量组中任意小于，•个向量的部分组线性无关

(C)向量组中任意r个向量线性无关

(D)向量组中任意个r+1向量必定线性相关

6.设向量组外,。2，。3线性无关，则下列向量组线性相关的是(C)

(A)+a2,a2+a3,a3；(B)a],a}-^a21a3+a2^-a]；

(C)ax-aa2-ax；(D)%十%,2a2+4,3%+囚.

7.设A、B为n阶矩阵，且A与B相似，I为n阶单位矩阵，则(D)

(a)XI-A=XI-B(b)A与B有相同的特征值和特征向量

(c)A与B都相似于一个对角矩阵(d)k「A与kl-B相似(k是常数)

8.当(C)时，A为正交矩阵，其中

(a)a=l,b=2,c=3;(b)a=b=c=l;(c)a=l,b=0,c=-l;(d)a=b=l,c=0.

9.已知向量组囚,%，。3，%线性无关，则向量组(A)

(A)a1+%，%+%，%+%，%+%线性无关;

(B)ax-a2,a2-a3,ay-cr4,cr4-%线性无关；

(C)ax+a2,a2+cr3,a3+a4,a4一四线性无关；

(D)ax+a2,a2+a^a3-a4,a4-at线性无关.

10.当A=(B)时，有

a

%a2(\~3c)a2-3c2%-3c3、

Ab|b2by=仇b2by

』c2cjIqc2j)

r100)。0-3、’00-3、’100、

(A)010;(B)010；(C)010；(D)010

「301；<001>J01><0-31,

二.计算题或证明题

I.设A〜B,试证明

(l)Am〜Bm(m为正整数)(2)如A可逆，则B也可逆，且〜B」

参考答案：

证：(1)由条件得A=PBP\

/C=(PBP1『=(心〃1'广*=(产8,P1”8〃'r*=〃"”〃1贝U/T〜牙。

(2)A=PBP-',则4=(PBk『二PB'PT,小〜厅1

2.如n阶矩阵A满足-二A,证明：A的特征值只能为。或-1。

参考答案：

证：设％为A的一个特征值，AX=AX=A2X=AAX=/%,彳14=万，4=0或2=1e

3.当。、b取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解.

为+巧+

2X2-22X4=1

与一七一匕二1

x}+x2-x3+3X4=a

x1一工2+%+5z=b

参考答案:

I2004

I-1

解：增广矩阳

I1000

1-10006+2

（1）当〃工0或〃+2=0时，线性方程组无解;

（2）当°=0、且b+2=O线性方程组彳i无穷解，基础解系为q=（0,1,1,0）\