第4讲 函数的复习解析版

第4讲函数的复习

模块一：正反比例函数

知识精讲

1、正比例函数：y=kx(A^O)；图像是一条直线，与坐标轴仅有一个交点；Q0时，随着x

的逐渐增大，函数值『的值越来越大；K0时，随着x的逐渐增大，函数值y的值越来

越小.

2、反比例函数：y=-(*W0),图像是双曲线，与坐标釉无交点；〃>()时，在每一象限内，

x

随着X的逐渐增大，函数值y的值越来越小；似0时，在每一象限内，随着x的逐渐增

大，函数值y的值越来越大.

例题解析

例1.下列函数(其中x是自变量)中，是正比例函数的是()

A.y=x2B.y=(J2+1)xC.y=6):+lD.y=—

x

【答案】B

【分析】根据正比例函数尸kx的定义条件：k为常数且kWO,自变量次数为1,逐项判断

即可.

【详解】A、y=x2,不符合正比例函数定义，不是正比例函数，故本选项错误;

B、y=（j2+l）x中，k=,2+1#0,符合正比例函数定义，故本选项正确；

C、y=JJx+l中，b=l,是一次函数，但不是正比例函数，故本选项错误；

D、y二,不符合正比例函数定义,不是F比例函数,故本选项错误.

x

故选：B

【点睛】本题考查正比例函数的定义，判断每个选项是否符合正比例函数定义的条件是解

答本题的重要途径.

例2.如果尸伙一3»+卜2-9）是正比例函数，那么k=

【答案】-3

【分析】根据正比例函数的定义可得出关于k的方程，解出即可;

【详解】解：・・・y=（"3）x+（公-9）是正比例函数，

，1<2-9=0且k-3W0,解得k=-3.故答案是：-3.

【点睛】本题考查了止比例函数的定义，应注意求出k的值时，不要忘记检验k-2W0这个

条件.

例3（1）正方形的周长。与正方形的对角线长a正比例（填“成”或“不成”）；

（2）已知正比例函数的自变量x减少2时，对应函数的值增加3,则这个函数的解析式

为.

【难度】★

【答案】（1）成；（2）y=~x.

【解析】（1）正方形的对角线长为〃，则正方形的边长为叵，则2，“丁=2日

2aa

为一定值，所以成正比例.

(2)设了=辰，则由题意，可得：y+3=Z(x-2),解得：k=——»

从而可得这个函数的解析式为y=-*|x.

【总结】考察正比例的定义和正比例函数解析式的求法.

例4(1)如果片A户2股x是正比例函数，求A的值；

(2)如果丁=。〃-1)—0+3是反比例函数，求力的值.

【难度】★

【答案】⑴0；(2)4.

【解析】(1)因为是正比例困数，所以24=0,解得：攵二0；

(2)因为函数是反比例函数，

2

rri._./n[/??-5/??+3=-l.

加以“J得《»,・・/〃=4.

〃，一1Ho

【总结】考察正比例函数和反比例函数的定义，注意比例系数要不为零.

例5(1)正比例函数)，=(nr-m)x/t,2-3m+i经过第___________象限一随x增大而；

(2)反比例函数,=经过第象限，在同一象限内，y随

*增大而.

【难度】★

【答案】(1)一、三，增大；(2)一、三，减小.

【解析】(1)因为是正比例函数，所以可得卜：一碗+1=1,解得：m=3,

in'-m00

・••函数解析式为y=6x,图像过一、三象限，y随才的增大而增大；

(2)因为是反比例函数，所以可得“；-3加+1=-1,解得：吁2,

m-m*0

.••函数解析式为y=2,图像过一、三象限，y随x的增大而减小.

x

【总结】考察正、反比例函数的概念和性质，注意比例系数不为零.

例6.已知正比例函数片九必函数值y随着x的增大而减小，反比例函数万&（%＜（））,它

X

们在同i直角坐标系中的图象大致是（）.

【难度】★

【答案】A

【解析】由题意可知：正比例函数在二、四象限；反比例函数在二、四象限，故选A.

【总结】考察正、反比例函数的图像及性质.

例7.已知y=x-M，,与x成正比例，乃与（汇一2）成反比例，当工=一2时，

y=-7；x=3时，）=13.求：y关于X的函数解析式

4

【答案】y=3x+——

x-2

tn,in

【分析】设,二履，必二江②，得到丁二"一记分，将X与y的两组对应值代入

m

-7=-2k

得到二元一次方程组•，求出解集即可得到答案.

m

13=32

3^2

m.m

【详解】解：设M=履，必=正②，则）'=履一注②,

in

-7=-2k-------

一2一2,解得一k=3

根据题意得：9

m=-4

13=3%---

3-2

4

则函数解析式是：），=3x+--

x-2

【点睛】此题考查正比例函数的定义，反比例函数的定义，求出二元一次方程组的解，正

确理解正比例函数与反比例函数的定义并正确计算是解题的关键.

例8.已知正比例函数的图像上一点尸的横坐标是2,作勿J_x轴（。是坐标原点，〃是垂足），

△。/力的面积是6,求这个正比例函数的解析式.

【难度】★★

【答案】y=3x或y=-3x.

【解析】由题意可得：-OPPD=6,OP=2,则ED=6,，P（2,6）或网2,-6）

2

则正比例函数的解析式为y=3x或产-3x

【总结】考察正比例函数解析式的求法，注意长度转成点坐标需要注意正负.

例9.已知如图，点46是反比例函数尸3图像上的点，分别经过月，6两点向/轴、/轴

x

做垂线段，若周影=1，贝％+&=（$，*指的是空白矩形的面积）•

【难度】★★

【答案】4

【解析】・・・S1+S阴影=3,S?+S阴影=3,S阴影=1，

・・・$=2,Sz=2,AS,+S2=4.

【总结】考察反比例函数的面积问题.过反比例函数y=4

x

上任意一点作X轴、y轴£勺垂线，构成的矩形的面积为卜|.

例10.已知/(0,4)、8(6,4)、C(6,0)三点，经过原点的一条直线把矩形如砥的面积

分成1:2两部分，求这条直线的函数解析式.

【难度】★★

【答案】y=x^y=-x.

【解析】矩形如蛇的面积为24,因为直线将矩形分成1:2两部分，则其中较小部分的面

积为8.当经过原点的一条直线与相交时，其交点为〃,则、4xAD=8，则AD=4，

2

・•・0(4,4),此时正比例函数解析式为)，=x；

当经过原点的一条直线与Q相交时，其交点为2,则，x6xCE=8,则CE=§,

23

・•・《6,g),此时正比例函数解.析式为产)

【总结】考察面积的处理方法和正比例函数解析式的求法，注意分类讨论.

例11.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点力的坐标为(1,0),在直线)，=等工上取一

点R使得△小〃是等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标.

【难度】★★★

【解析】当OP=AP时，「点在的的线段垂直平分线上，则〃点的横坐标为L

代入函数解析式可得纵坐标为除，当OP=OA时，设尸，〃，冬。

当A.=OA时，设〃〃，乎〃），贝JJ（〃一1『+（当〃]=1，••・〃=0或楙，

・•・P（0,0）或回,其中与原点重合舍去.

满足题意的点坐标为科制或尸惇,;或小今一；

综上所述,

例12.已知如图，矩形〃48C的顶点8（例2）在正比例函数y=gx的图像上，点1在x轴

上，点。在y轴上，反比例函数的图像过比边上点M与/历边交于点双且加U36M,求此

反比例函数的解析式及点A'的坐标.

【难度】★★★

【答案】y=p

【解析】・・・4（加，2）在正比例函数y的图像上，，"7=4.

*/：.RM=3,CM=\,：.A/(l,2),

・••反比例函数的解析式为y=2,.•・N（4，F.

【总结】考察反比例函数的解析式的求法和点坐标的求法.

例13.正比例函数），=心的图像与反比例函数），=2的图像相交于点A、B（如图），点A

X

在第一象限，且点A的横坐标为1,作AO_Lx轴，垂足为。点，SM“=1.

（1）求点A的坐标；

（2）求这两个函数的解析式；

（3）如果△Q4C是以。4为腰的等腰三角形，且点。在工轴上，求点C的坐标.

【难度】★★★

【解析】（1）由题可知，点力坐标为：A（l,2）；

（2）反比例函数解析式为y=二；正比例函数解析式为），=2「

x

（3）当。4=OC时，OA=后，则C（0,0）或C（一石,0）,

当OA=4CH寸，由等腰三角形三线合一性质可得：OD=DC=\,AC（2,0）

综上所述：。（6,0）或。（-石，0）或。（2,0）.

【总结】考察正反比例函数解析式的求法和等腰三角形的分类讨论.

例14.如图所示，已知正方形力比方的边长是3厘米，动点〃从点8出发，沿8aM方向运动

至点力停止.点尸的运动的路程为x厘米，外的面积为y平方厘米.

（1）当点，在欧上运动时，求y关于x的解析式及定义域;

（2）当点〃在⑦上运动时，求y关于x的解析式及其定义域;

（3）当x取何值时，△力“的面积为1.5平方厘米？

【难度】★★★

【解析】（1）当点〃在式上运动时，PB=x（0<x<3）

1C

y=—xABxBP=-^x（0<x<3）；

（2）当点P在⑺上运动时，BC+CP=x,

y=—xABxBC=—（3<A*<6）；

22

（3）-xABx//=1.5,h=1

2

当〃在a'边上时，A=1；当〃在物边上时，x=8.

模块二：一次函数

知识精讲

1.函数的概念和图像及性质

（1）定义：解析式形如）〃伏工0）的函数叫做一次函数.

（2）次函数的图象满足:

①形状是一条直线；②始终经过(0,b)和(-2,0)两点；

k

(3)定义：直线产去(心0)与y轴的交点坐标是(0"),截距是加

(4)一次函数)，=履+〃伏工0),当&>0时，函数值y随自变量x的值增大而增大：当k<0

时，函数值y随自变量x的值增大而减小.

2.函数的应用

(1)实际问题；

(2)数形结合类.

例题解析

例1(1)已知一次函数)，=&+2，当产-3时，尸1；当产2时，尸-6,求这个一次函数的

解析式；

(2)已知一次函数尸/'(x),且/'(T)=-3,/(1)=1,求函数的解析式.

【难度】★

【答案】(1)y=-1x-y；(2)f(x)=2x-l.

,f,_7

【解析】(1)由题意可得：「解得：》，

[2k+b=-6b=~

则一次函数解析式为y=—gx-£；

(2)设/(x)=b+b,

Ig上一r,口[-/:+/>=-3\k=2

由题意可得：<»解得：，

k+b=\[/?=—1

则一次函数解析式为/(x)=2x-l.

【总结】考察利用待定系数法求一次函数解析式的求解析式.

例2(1)若一次函数片*(1-幻+3的图像在p轴上的截距是-5,求这个函数解析式；

(2)若一次函数y=(2-k)x+(4-F)的图像经过原点，求女的值.

【难度】★

【答案】（1）y=-8x-5；（2）k=-2.

【解析】（1）若一次函数尸〃（1—x）+3的截距为2+3=—5,则女=—8,

所以这个函数的解析式为），=-8%-5

（2）・.•图像过原点,

.•.4-r=0且2一丘o,:.攵二一2

【总结】考察一次函数的截距等概念.

例3（1）若宜线片〃田人与直线片-2田4无交点，且直线尸与x轴的交点是

（3,0）,求此函数解析式；

（2）已知一次函数的图像经过点（1,-2）、（-2,1）.求这个一次函数的解析式.

【难度】★

【答案】（1）y=—2x+6；（2）y=-x-\.

【解析】（1）•・•・直线片"户6与直线产-2公4无交点，

直线y=kx+b与直线尸-2产"4平行，，攵=一2,故解析式为y=-2x+b,

•・•直线产〃户6与7轴的交点是（3,0）,・・・b=6,

函数解析式为y=-2x+6；

（2）设），=&K+8,

k+b=_2k—~1

由题意可得：…二，解得：~，则一次函数解析式为y=-x-1.

【总结】考察一次函数解析式的求法，注意两直线的位置关系与衣和6的关系.

例4（1）若把函数），=-的图像向下平移4个单位，再向右平移2个单位，求平移

后的函数解析式：

（2）若一次函数的图像向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到的函数解析式是

y=--x，求平移前的函数解析式.

3

【难度】★★

【答案】（1）>»=-—X--;（2）y=-—x+—•

3333

【解析】（1）利用平移规则，可知平移后的函数解析式为：y=--（x-2）-4=--x--；

-333

（2）利用平移规则，可知平移后的函数解析式为：），=-g（x+2）+4=-gx+g.

例5.已知直线广〃户4经过点产（1,加，且平行于直线尸-2户1,它与x轴相交于点儿求

△OPA的面积.

【难度】★★

【答案】2.

【解析】:•直线片AH4平行于直线产-2户1,k=-2,则y=-2x+4,

则它与x轴相交于点A（2,0）.

•・•直线），=一2工+4经过点夕（1,m）,・・・〃z=2,・・・P（1,2）.

・•・△/初的面积为：-xOAxPv=lx2x2=2.

2y2

【总结】考察一次函数的图像性质及与三角形面积的结合.

例6.已知一次函数），=履+〃的自变量的取值范围是-2Wx<6,相应的函数值的范围是

-H<y<9,求这个函数的解析式.

【难度】★★

【答案】y=-3+4或.

【解析】当左<0时，则有[二产”=9解得：卜二一3，

回+〃=-11[/?=4

这个函数解析式为y=-1x+4；

th解得:

当攵＞0时，则有，

b=-6

这个函数解析式为尸Tx-6.

【总结】考察一次函数的性质，注意此类题要有两种情况的分类讨论.

例7.已知直线/过点（-2,4）,旦弓两坐标轴围成一个等腰三角形，

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）所得三角形的周长及面积.

【难度】★★

【解析】设一次函数的解析式为），=匕+人

•・•函数图像与两坐标轴围成一个等腰三角形，・」4=卜詈，则2=1或-1

当&=1时，一次函数为y=x+Z?,直线/过点（-2.4）,「・〃=6,y=x+6

与坐标轴的交点为（0,6）,（-6,0）,此时周长为12+8巨，面枳为18；

当&=一1时，一次函数为y=-x+〃，直线/过点（-2,4）,/.Z?=2,y=-x+2,

与坐标轴的交点为（0,2）,（2,0）,此时周长为4十2亚，面枳为2.

【总结】考察一次函数的性质，注意线段长与点坐标之间的转换.

例8.某中学初二年级准备购买10只米奇品牌的笔袋，每只笔袋配x（＞23）支水笔作为奖

品.已知48两家超市都有这个牌子的笔袋和水笔出售，而且每只笔袋的标价都为2D元,

每只水笔的标价都为1元，现两家超市正在促销，力超市所有商品均打九折销售，而8超市

买1只笔袋送3支水笔，若仅考虑购买笔袋和水笔的费用，请解答下列的问题：

（1）如果只在某一家超市购买所需笔袋和水笔，那么去哪家超市购买更合算？

（2）当年12时，清设计最省钱的购买方案.

【难度】★★★

【解析】（1）1家超市共付（10x20+10x）x0.9=180+9x（x》3）；

6家超市共付10x20-10x-30=10x+170(x23)：

当180+9x=10x+170时，则x=10；当180+9x>10x+190时，则xvlO；

当180+9xvl0x+190时，则x>10；

所以每只笔袋配10只笔时，力、8两家超市都一样；

每只笔袋配超过10只笔时，选力家超市更合算；

每只笔袋配超过10只但是不少于3只笔时♦，选“家超市更合算；

(2)当产12时，即要10支笔袋，配120支笔.

设总费用为公在力超市买a只笔袋，在6超市买(10-a)只，送了3(10-a)支笔，

则h=0.9x[20«+120-3(10-a)]+20(10-a)

/?=0.767+281(0<«<10)

故当a=0时，总费用最少，为281元，

因此在8超市买10只笔袋，在A超市买90支水笔是最省钱的购买方案.

【总结】考察•次函数的应用.

例9.若直线)，=h+£过)，=3X-5与)，=一21+10的交点A,y=kx+b^jy轴于B,

y=-2x+10交x轴于C,若SMBC=l2,求直线y=y=kx+b的解析式.

【难度】★★★

【答案】y=2x-2.

【解析】・・・)，=3X-5与)，=—2工+10的交点力为(3,4),y=履+〃与y轴交于点以0,b),

)，=-2》+10交》轴于点45,0)

又・・・直线丁=丘+人过力为(3,4),・・・3%+8=4,

，过4作力反Lx轴，垂足为反

当0vH4时,

S^ABC=S四边形八雎+S^EC~^/\OBC=—X3X(Z>4-4)+—X2X4——X5XZ>=12

解得：b=-2（舍去）

当。＜0时，设直线45与仇?相交于产

**•S^ABC-S&AFC+SgFC=415+—|(4-^)=12

2

V3k+b=4,:.k=2,b=-2,

・•・直线解析式为＞=2x—2.

【总结】考察面积问题的处理方法，注意分类讨论.

模块三：综合

例题解析

例1.己知反比例函数y=K（&工（））和一次函数y=2x-l,其中一次函数的图像经过点

X

(h5).

（1）试求反比例函数的解析式;

（2）若点/I在第•象限，且同时在上述两个函数的图像上，求点力的坐标.

【难度】★★

【答案】(1)y=—;(2)4(3,5).

x

【解析】（1）•・•一次函数y=2x—l经过点（〃,5）,・,・&=3,，点坐标为（3,5）,

又因为这个点在反比例函数上，所以反比例函数的解析式为y="

x

(2)令"=2x-l,解得：X]=--,X,=3,代入y="可得：y=-6,%=5,

x2x

•・•点力在第•象限，，A（3,5）.

【总结】考察反比例解析式的求法和交点坐标的求法.

例2.如图，一次函数），=奴+人伏wO）的图像与x轴、y轴分别交于点力、8两点,且与反

比例函数），=〃（〃2工0）的图像在第一象限交于C点，徵垂直于X轴，垂足为〃.若

X

OA=OB=Ob=1.

（1）求点力、B、〃的坐标；

（2）求一次函数和反比例函数的解析式.

【难度】★★

【答案】（1）4（-1,0）,8（0,1）,。（1,0）；

2

（2）y=x+1»y=—.

x

【解析】（1）・：0A=0B=0D=\,A>4（-1,0）,4（（）,1）,D（l,0）；

（2）•・•一次函数y="+。伐工0）的图像与x轴、y地分别交于点力、B两点,

y=x+1；

•・•。在y=x+l匕AC（l,2）.

*/。（1,2）在），=乂上，J

xx

【总结】考察反比例函数和一次函数的解析式求法.

例3.如图，一次函数）=奴+。伙。0）的图像与与反比例函数y=-色的图像交于力、8两

x

点，且点力的横坐标和点8的纵坐标都是-2,

求：（1）一次函数的解析式；（2）A/1仍的面积.

【难度】★★

【答案】（1）y=-x+2：（2）6.

【解析】（1）•.•点/的横坐标和点△的纵坐标都是-2,

且两点都在反比例函数丁=-»的图像上，

x

・・・A（-2,4）,8（4,-2）

•・•两点都在一次函数丁=辰+6（&*0）上，

*-2k+b=4♦{k=-1

••A,••S9

4k+b=-2b=?.

・'.一次函数解析式为：y=-x+2-.

（2）・・•一次函数y=-x+l与x轴的交点为（2,0）,

•**S*=SZOE+S△⑷8=/X2X4+]X2X2=6.

【总结】考察反比例函数和一次函数解析式的求法及三角形血积的求法.

例4.已知点力（勿，2勿）（其中加＞0）在双曲线），=色上，直线产过点儿并且与坐标

x

轴正方向所围成的三角形的面积是18,求直线的解析式.

【难度】★★

【答案】y=-x+6或y=-4x+12.

【解析】•・•点月（/〃，2/7/）（其中〃》0）在双曲线），=色上，

X

o

2m=—>，〃z=2或一2,*.*〃?>0,，〃z=2，:.A（2»4）

m

•・•直线尸k/b过点儿：,2k+b=4

•・•直线片与坐标轴正方向所围成的三角形的面积是18,

・・・g♦>（-'）=18,解得：攵二-1或Y

当左=一1时，b=6,直线的解析式为y=-x+6；

当攵=-4时，力=12,直线的解析式为），=Tx+12.

【总结】考察反比例函数、一次函数解析式的求法和面积问题的处理方法.

例5.已知一次函数与反比例函数的图像交于点〃（-3,2）、Q（2,-3）.

（1）求这两个函数的函数解析式；

（2）在给定的直角坐标系中，画出这两个函数的大致图像；

<3）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？当x为何值时，一次函数的

值小于反比例函数的值？

【难度】★★

【解析】（1）反比例的函数解析式为），=-工

x

设•次函数的解析式为），=丘+）,

-3k+b=2

则可得:

2k+b=-3

所以一次函数解析式为)，=-工-1：

(2)如右图：

(3)当x<-3或0cx<2时，-次函数的值大于反比例函数的值：

当-3<x<0或;r>2时，一次函数的值小于反比例函数的值.

【总结】考察反比例函数、一次函数的解析式的求法和函数性质的分析•.

例6.已知一次函数y=(〃?-2)x+2/〃-3；

(1)求证：无论加取何实数，函数的图像恒过一定点；

(2)当工在1<工42内变化时，在4W.yW5内变化，求机的值.

【难度】★★★

【答案】(1)见解析；[2)777=3.

【解析】(1)y=/〃(x+2)—2x-3,当x+2=0,即x=-2时，y=l,

・•・无论机取何实数，函数的图像恒过一定点(-2,11；

(m-2+2m-3=4

当团-2>0时，z*o二4，解得：〃?=3；

(2)[2(〃?-2)+2加-3=5

m-2+2m-3=5

当m-2<0时，L°、°・••解不等式后不存在这样的/〃值,

2(m-2)+2m-3=4

所以tn-3.

【总结】考察解析式图像恒过一定点的条件和一次函数的增减性的运用.

随堂检测

1.(l)y与K成正比例，且产4时，尸-4,那么y与x之间的函数关系式为；

(2)j-1与z成正比例，比例系数为2,z与六1成正比例，当产T时，y=7,那么y

与》的函数关系式为

【难度】★

【答案】（1）y=—x；（2）y=-4x+3.

【解析】（1）由题意可知，函数关系式为：），=-X；

（2）・・51与z成正比例,比例系数为2,

y+1=2z：

,二Z与"成正比例，.••设Z=

+1=2k（x-1）»

••・当片T时，尸7,・・・左=一2,

y=-4x+3.

【总结】考察正比例的定义.

2.已知厂3与x成正比例，且产2时，y=7.

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）计算产4时尸的值；

（3）计算尸4时为的值.

【难度】★

【答案】（1）y=2x+3；（2）11；（3）g.

【解析】（1）设），-3=云，•・•产2时，尸7,・・・k=2,/.y=2x+3；

（2）当x=4B寸，），=11；

（3）当y=4时，x=~.

2

【总结】考察正比例的定义，及根据其中一个变量的值求另一个变量的值.

3.已知正比例函数丁=依伙＞0）的图像上有两点且4（再，y）,例X2，）’2），且小〉羯则

M与理的大小关系是（）

D.不能确定.

A.X<%B.y>y2c.y\-%

【答案】B

【分析】先根据正比例函数的系数衣判断出函数的增减性，再由汨>必即可得出结论.

【详解】解：•・•正比例函数片履中，Q>0,J此函数是增函数.

Xi>x->,.*.yi>j2.故选：B.

【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性与系数k的

关系是解答此题的关键.

4.下列四个函数中，是一次函数的是（）

/\.y=—+\B.y=-XC.y=x2+1I）,y—y[x-1

X

【答案】B

【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数H勺定义：一般地，形如y=kx+b（k

X0,k、b是常数）的函数，叫做一次函数.

【详解】解：A、y=-+h自变量x的次数为-1,不是一次函数，故A错误；

X

B、y=x是一次函数，故B正确；

C、>=/+]是二次函数，故c错误；

D、）,二4一1中，自变量次数不为1,不是一次函数，故D错误.

故选：B.

【点睛】本题考查一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的美键.

5.下列函数中，）'随x的增大而减少的函数是（）

A.y=-2xB.y=-c.y=--D.y=2x

XX

【答案】A

【分析】A.根据一次函数图象性质解题;

B.根据反比例函数图象解题；

C.根据一次函数图象性质解题：

D.根据正比例函数图象性质解题.

【详解】A.正比例函数y=-2x中，k<0,y随x增大而减小，故A正确；

B.在反比例函数y=，中当k>0时，图象分布在一、三象限，在第一象限中，》随工的增大

x

而减小，第三象限中，y随x的增大而减小，故选B错误；

C.在反比例函数广-■!■中，图象分布在二、四象限，在第二象限中，丁随x的增大而增

x

大，在第四象限中，<0时y随4的增大而增大，故c错误；

【）.正比例函数y=2x中,k>（）,y随x增大而增大，故D错误.

故选A.

【点睛】本题考查正比例函数图象的增减性、一次函数图象的增减性、反比例函数图象的

增减性等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

6.已知正比例函数），=攵/中，）'随x的值的增大而减小；反比例函数>=勺■中，在每一

x

个象限内，随工的值的漕大而增大，那么这两个函数在同一坐标系内的大致图像可能是

（）

【答案】A

【分析】根据正比例函数了二勺工中，y随x的增大而减小，图像过二、四象限，反比例函

数），二&中，在每一个象限内，y随x的值的增大而增大，图像位于二、四象限，则可得

X

答案.

【详解】解：正比例函数》=后/中，y随X的增大而减小，

图像过二、四象限，故B、C错误，

又反比例函数y二士■中，在每一个象限内，V随工的值的增大而增大，

x

,图像位于二、四象限，」.只有A正确，故选：A

【点睛】本题考查反比例函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，

利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答.

7.在一次函数尸ax-a中，y随x的增大而减小，则其图像可能是（）

【答案】B

【分析】根据y随x的增大而减小可得aVO,然后判断函数图象即可.

【详解】解：•・•一次函数y=ax-a中，y随x的增大而减小，

Aa<0,-a>0,・••其图象过一、二、四象限，故选：B.

【点睛】本题考查了次函数的图象和性质，根据增减性判断出“VO,是解题的关

键.

8.一次函数V=〃zr+〃的图像如图所示，那么下列说法正确的是（）

A.当x>0时，y>-2B.当时，y<0

C.当工<1时，y>0D.当x<0时，-2<y<（）

【答案】A

【分析】根据图像，结合一次函数的性质逐项分析即可.

【详解】A.由图像可知，当工>0时，y>-2,故正确；

B.由图像可知，当XN1时.，y20,故不正确；

C.由图像可知，当xvl时，yVO,故不正确；

D.由图像可知，当了<0时，y<-2,故不正确；

故选A.

【点睛】本题主要考杏函数和不等式的关系及数形结合思根的应用.解决此类问题关键是

仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合.

二、填空题

9.平面直角坐标系中，点力坐标为（26，2）,将点力沿x轴向左平移加个单位后恰好

落在正比例函数y=-20x的图象上，则/的值为_____.

■田生、7>/3

【答案】_2_.

3

【分析】根据点的平移规律可得平移后点的坐标是（26-〃7,2）,再根据正比例函数图

象上点的坐标特点可得（20一6”（-2月）=2,再解方程即可得到答案.

【详解】解：A坐标为（2JJ,2）,

••・将点A沿x轴向左平移加个单位后得到的点的坐标是（26-机，2）,

恰好落在正比例函数y=-2瓜的图象上，

「.（26-心（-2扬=2,

解得：机=拽.

3

故答案为：友.

3

【点睛】此题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特点，关键是根据点的平移规律解

答.

10.已知函数丁="次+w2+〃2为正比例函数，则常数”的值为______.

【答案】-1

【分析】根据正比例函数为概念可直接进行列式求解.

［详解】解:•・•函数y=mx+nr+m为正比例函数，

/w2+/w=0»且加=0,解得：m=—1：故答案为T.

【点睛】本题主要考查正比例函数的概念及一元二次方程的解法，熟练掌握正比例函数的

概念及一元二次方程的解法是解题的关键.

11.如果正比例函数的图像经过点（Y,2）,则它的解析式为.

【答案】y=--x

2

【分析】设正比例函数关系式为片履（女工0）将点（-4,2）直接代入即可求得函数的解

析式.

【详解】解：设函数的解析式是片履（20）,

把（-4,2）代入就得到：-4A=2,解得：A=--,

2

因而这个函数的解析式为：y=--x.故答案为：y=--x

22

【点睛】本题主要是运用了待定系数法求函数的解析式，这是最常用的求解析式的方法.

12.正比例函数y=（2Z+l）x的图像经过第二、四象限，则k.

【答案】k<―

2

【分析】根据正比例函数经过象限，得到关于k的不等式，解不等式即可求解.

【详解】解：•・•正比例函数y=（2攵+l）x的图像经过第二、四象限，

***2Z+1v0,解得k<—.故答案为：k<—

22

【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，在正比例函数中当k>0时，图象经过第

一、三象限，当k<0时，图象经过笫二、四象限.

13.直线），=履+。与直线y=x-5平行，并且直线与）’轴交点到原点的距离是2,则这条

直线的解析式为—.

【答案】y=x+2或y=x-2.

【分析】设所求直线解析式为y=kx+b,根据两直线平行的问题得到k=l,再根据直线y

=kx+b与y轴交点到原点的距离为2,得到b=±2,于是可确定所求直线解析式.

【详解】设所求直线解析式为y=kx+b,

，・,直线y=kx+b与y=x-5平行,/.k=l,

•・•直线y=kx+b与y轴交点到原点的距离为2,Ab=2或-2,

工所求直线解析式为y=x+2或y=x-2.故答案为：y=x+2或y=x-2.

【点睛】本题考查了两条直线相交或平行的问题：若两条直线的交点坐标，就是由这两条

直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解.若两条直线是平行的关系，

那么他们的自变最系数相同，即k值相同.

14.如图，已知正比例函数图像经过点力（2,3）,8（%6）.

（1）求正比例函数的解析式及〃，的值；

（2）分别过点力与点8作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支分别交于点

a〃（点£〃均在点力、8下方），若盼5AC.求反比例函数的解析式.

【分析】（1）根据A点坐标可知，用待定系数法即可求得正比例函数解析式，再将B点坐

标代入即可求得m的值；

（2）设反比例函数表达式为），=2,表示BD和AC,利用法54c列出方程即可求得n.

【详解】解：（1）设正比例函数的解析式为尸kx,

•••正比例函数图象经过点A（2,3）,・・・3=2k,・・・%=]

33

・•・比例函数的解析式为y=把B（m,6）代入解析式得6二耳机，解得m=4；

（2）・.・AC〃BD〃y轴，・・・C点的横坐标为2,D点的横坐标为4,

设反比例函数的解析式为丁二@，分别代入得先.

x2A

••AC—3—,BD=6—，VBD-5AC»/•5（3—）=6—，解得n=4,

2424

4

反比例函数的解析式为），=一.

【点睛】本题考查反比例函数与•次函数综合.掌握待定系数法是解决（1）的关键，能正

确表示线段的长度是解决（2）的关键.

15.如图，一次函数）="+〃的图像与反比例函数》='的图像相交于A（2,2）、

X

8（T-4）两点.

8(・1/4)

（1）求出两函数解析式；

（2）根据图像回答：当大为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值?

（3）连接4。、B0,试求AAOB的面积.

4

【答案】(1))，:一，y=2x-2；(2)-1<XVO或x>2；(3)3

x

【分析】

(1)利用待定系数法求出函数解析式即可；

(2)观察图象，当一次函数图象在反比例函数图象上方的取值范围即是答案；

(3)设直线A8:)，=2x—2与x轴交于点C,求出点根据

+SA80c即可求出答案.

【详解】解：(1)因为反比例函数y=色的图像经过点4(2,2),

in4

所以，2=-,得m=4,所以，反比例函数解析式为y二,

因为一次函数)，=3+人的图像经过点A(2,2)、8(—1,-4),所以L+b__4

k=2

解得Lc，故所求的一次函数解析式为y=2X-2：

b=-2

(2)当-l<x<0或/>2时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值.

(3)设直线A8:)，=2x-2与x轴交于点。，

当y=0时，2%一2=()，得x=l,・••点C(l,0),・・・0C=l.

=X，X2+X1X4=3

SMOB=Sgoc+SRBOC22,

【点睛】此题考查一次函数与反比例函数的综合题，函数图象与几何图象，待定系数法求