《第二十八章锐角三角函数数学活动》课件

数学活动R·九年级下册状元成才路状元成才路新课导入半圆形量角器，细线，小挂件(或其他小重物)，软尺，利用这些小物件可以制成什么器具呢？测角仪今天我们就要学习利用测角仪测定实际物体的高度.想一想状元成才路状元成才路活动目标：1.能自制测角仪，根据实际情况设计测量物高的方案.

2.能运用解直角三角形的知识根据测量的数据计算物高.

状元成才路状元成才路制作测角仪，测量树的高度活动1推进新课阅读课本“活动1”.1.测角仪是由哪几个部分组成的？2.测角仪上角的读数与仰角有怎样的关系？思考状元成才路状元成才路

把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处.提问如何制作一个简易的测角仪呢？1

在细线的另一端系一个小挂件即可.2状元成才路状元成才路

将仪器拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点（如图）.提问如何使用测角仪呢？答状元成才路状元成才路

得出仰角α的度数.提问如何测出物体的高度呢？1

测出人到树的底部的距离L.2

根据三角函数可计算出树的高度h.3Lh状元成才路状元成才路利用测角仪测量塔高活动2思考若不能直接测出AN的长度，还有别的方法可以测出物体的高度吗？具体怎么操作呢？状元成才路状元成才路步骤

在塔前的平地上选择一点A，用活动1中制作的测角仪测出看塔顶的仰角α（如图）.1状元成才路状元成才路步骤

在A点和塔之间选择一点B，测出你由B点看塔顶的仰角β.2

测出A，B两点间的距离.3状元成才路状元成才路

设塔高为x，测量者的身高为y，提问如何计算出塔的高度呢？解

则可以得到关于x的方程：

解这个方程，就可以求出塔高x.状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路1.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m到达B点，在B处测得树顶C的仰角为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们的测量数据计算这棵树的高度（结果精确到0.1m）．随堂演练基础巩固解：设CD=x.∴AB=AD-BD，即在Rt△BCD中，BD=在Rt△ACD中，状元成才路状元成才路2.如图，小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M的仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28m且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）.求出旗杆MN的高度（结果精确到0.1m）.状元成才路状元成才路解：如图所示，作AE⊥MN于E，CF⊥MN于F.设MN=x.在Rt△MAE中，ME=MN-EN=MN-AB=x-1.7，∠MAE=45°,∴AE=ME=x-1.7.在Rt△MCF中，MF=MN-NF=MN-CD=x-1.5，∠MCF=30°,状元成才路状元成才路∴x≈11.8.∴MN≈11.8(m).因此，旗杆MN的高度约为11.8m.又∵BD=BN+ND=AE+FC,∴x-1.7+(x-1.5)=28.状元成才路状元成才路综合应用3.大楼AD的高为100米，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60°，爬到楼顶D处测得塔顶B的仰角为30°，求塔BC的高度.状元成才路状元成才路解：作DE⊥BC于E.设BC=x，在Rt△ABC中，在Rt△BDE中，BE=BC-EC=BC-AD

=x-100.状元成才路状元成才路又∵DE=AC，∴x=(x-100)，∴x=150，BC=150（米）.因此，塔BC的高度为150米.状元成才路状元成才路课堂小结

设塔高为x，测量者的身高为y，解状元成才路状元成才路状元成才路状元成才路拓展延伸某数学兴趣小组在河边的一点A处测得河对岸小山顶上一座铁塔的塔顶C的仰角为60°、塔底B的仰角为45°，已知铁塔的高度BC为20m，你能根据以上数据求出小山的高BD吗？若不能，请说明理由；若能，请求出小山的高BD（精确到0.1m）.

过程如下：设AD=x，在Rt△ABD中，∠BAD=45°，∴BD=AD=x.解：能；在Rt△ACD中，∠CAD=60°,∴CD=AD·tan60°=x.又∵BC=CD-BD，∴x-x=20.∴x≈27.3，BD≈27.3(m).因此，小山的高BD约为27.3m.状元成才路状元成才路1.锐角三角函数的概念【例1】

如图,BD是菱形ABCD的对角线,CE⊥AB于点E,交BD于点F,且E是AB中点,则tan∠BFE的值是(

)分析连接AC,根据菱形的性质与已知条件,易证△ABC是等边三角形,从而可知∠BFE=60°.解析:如图,连接AC.∵CE垂直平分AB,∴BC=AC.又四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∴∠ABD=∠ABC=30°,∴∠BFE=60°,∴tan∠BFE=.故选D.答案:D点拨除像该例恰好遇到特殊角外,解决该类问题的常用方法是设参数法,即先用含参数的代数式表示出各边长,再利用锐角三角函数的定义求锐角三角函数值.跟踪演练1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosA的值是(

)答案解析解析关闭答案解析关闭2.与特殊角的三角函数值有关的计算【例2】

(1)计算sin245°+cos30°tan60°,其结果是(

)(2)在锐角三角形ABC中,如果∠A,∠B满足分析(1)把特殊角的三角函数值直接代入计算即可.(2)根据绝对值与平方的非负性可以得到∠A的正切值与∠B的余弦值,进而可先求出两角的度数,再利用三角形内角和定理计算∠C的大小.又∠A,∠B都为锐角,∴∠A=45°,∠B=60°,∴∠C=180°-45°-60°=75°,故答案为75°.答案:(1)A

(2)75°点拨熟记特殊角的三角函数值与实数的运算法则是进行三角函数计算的关键.另外,由特殊锐角的三角函数值反求角的度数,常与“几个非负数的和为0,则这几个非负数的值分别为0”的性质密切联系.答案答案关闭3.解直角三角形【例3】

如图,已知△ABC.按以下步骤作图:①以A为圆心,AB长为半径画弧;②以C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;③连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.(1)求证:△ABC≌△ADC;(2)若∠BAC=30°,∠BCA=45°,AC=4,求BE的长.分析(1)根据尺规作图步骤直接利用“SSS”判定方法证得结论;(2)先证明AC⊥BE,得出Rt△ABE和Rt△BEC.设BE=x,先利用特殊角的三角函数表示相关线段长度,再利用AE+CE=AC构建方程求值.(1)证明在△ABC与△ADC中,由作图步骤,可知AB=AD,BC=CD.∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SSS).(2)解由(1)得AB=AD,∠BAC=∠DAC,∴AE⊥BD,即AC⊥BE.设BE=x,在Rt△ABE中,∵∠BAC=30°,点拨解直角三角形时,要结合图形,根据已知条件选择合适的关系式进行计算.另外,注意把解直角三角形与求锐角的三角函数值区别开来,前者是求直角三角形中未知的边和角,后者是计算锐角的正弦、余弦与正切值.跟踪演练3.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,D是边AB上一点,∠BDC=45°,AD=4,求BC的长.答案答案关闭4.解直角三角形的实际应用【例4】

“为了安全,请勿超速”.如图,一条公路建成通车,在某直线路段MN限速60km/h,为了检测车辆是否超速,交管部门在公路MN旁设立了电子探测点C,从电子探测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5s,已知∠CAN=45°,∠CBN=60°,BC=200m.此车超速了吗?请说明理由.(参考数据:分析过点C作CE⊥MN于点E,先在Rt△BCE中利用正弦函数和余弦函数求出CE和BE的长,