全品高考备战2027年数学一轮教师备用习题67第56讲圆锥曲线热点问题01第1课时长度、斜率、面积问题

第56讲圆锥曲线热点问题/第1课时长度、斜率、面积问题/【备选理由】例1考查与面积有关的问题;例2考查与斜率有关的问题;例3考查与斜率、面积有关的问题.例1[配例4使用][2025·四川攀枝花三模]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(1)求双曲线C的标准方程;(2)双曲线C在其右支上一点P处的切线l分别交其两条渐近线l1,l2于A,B两点,O为坐标原点,求△OAB的面积.解:(1)由题意可得8a2故双曲线C的标准方程为x24-y2(2)当直线l的斜率不存在时,易知此时P(2,0),直线l:x=2,不妨设A(2,1),B(2,-1),可得S△AOB=12×2×2=2当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,与双曲线的方程x2-4y2=4联立,可得(4k2-1)x2+8kmx+4m2+4=0,由直线与双曲线的右支相切,可得4k2-1≠0,Δ=(8km)2-4(4k2-1)(4m2+4)=0,故4k2=m2+1.设直线l与x轴交于点D,则D-m双曲线的渐近线方程为y=±12x不妨设l1:y=12x,l2:y=-12x.由y=12x,y故S△AOB=S△AOD+S△BOD=12|OD||yA-yB|=-m2k·|k|·|xA=-m2k·|k|·2m1+2k+2m1综上,△OAB的面积为2.例2[配例2使用][2025·甘肃白银模拟]已知椭圆M:x2a2+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上任意一点,PF1(1)求椭圆M的方程;(2)过点F2的直线l与椭圆M交于A,B两点,若A在x轴的上方,且2F2A+F2B=0,解:(1)由椭圆M:x2a2+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,可知b=1,c2=a2-1.设O为原点,则PF1·PF2=(PO+OF=PO2-OF12=PO2-c2≥b所以b2-c2=1-c2=0,所以c2=1,a2=2,所以椭圆M的方程为x22+y2(2)由2F2A+F2B=0,得F2B=-2F2A,又A设直线AB的方程为x=ky+1,则直线AB的斜率为1k(k设A(x1,y1),B(x2,y2),由x消去x化简得(k2+2)y2+2ky-1=0,所以y1+y2=-2kk2+2,y1由题意知y2=-2y1,代入y1+y2=-2kk2+2,y1y2=-1k2+2,消去y2,可得故-2(2k)2(k2+2)2=-1k例3[配例3、例4使用][2025·深圳期末]已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1)求椭圆E的方程.(2)设直线l:y=kx(k≠0)与椭圆E交于P,A两点,过点P作PC⊥x轴,垂足为点C,直线AC交椭圆E于另一点B.(i)证明:AP⊥BP;(ii)求△ABP面积的最大值.解:(1)由椭圆E的右焦点为F(1,0)可得c=1.由椭圆E过点1,22可得1又a2-b2=c2=1,整理得(2b2+1)(b2-1)=0,可得b=1,所以a=2,故椭圆E的方程为x22+y2(2)(i)证明:直线l:y=kx(k≠0)与椭圆E交于P,A两点,不妨设P在第一象限,P(x0,y0),如图,则点A的坐标为(-x0,-y0),点C的坐标为(x0,0).设B(xB,yB),由x022+y02两式相减整理得(y0-又kAB=y0+yBx0+xB,kBP=y0-yBx又kAB=kAC=y02x0=12·kPA=k2,所以kBP=-又kAP=k,所以kAP·kBP=k·-1k=-1,故AP(ii)由对称性不妨设k>0,P(x0,kx0)在第一象限,将y=kx代入x22+y2=1,消去y整理得(2k2+1)x所以x0=22k2+1,则|AP|=2|OP|=2设直线AP与AB的倾斜角分别为θ1,θ2,则tanθ1=k,tanθ2=k2所以tan∠PAB=tan(θ1-θ2)=k-k2由(i)知,S△ABP=12|AP|·|BP|=12|AP|2·tan∠PAB=令f(k)=4k(k2f'(k)=-8k6当k∈(0,1)时,